2018版高中数学第1章解三角形1.2第3课时三角形中的几何计算学案新人教B版.docx

第3课时三角形中的几何计算1.掌握三角形的面积公式的应用.(重点)2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用.(难点)基础初探教材整理三角形面积公式阅读教材P10探索与研究P11，完成下列问题.1.三角形的面积公式(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；(2)Sabsin Cbcsin_Acasin_B；(3)S(abc)r(r为内切圆半径).2.三角形中常用的结论(1)ABC，；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin(AB)sin_C，cos(AB)cos_C，tan(AB)tan_C，sin cos ，cos sin .1.下列说法中正确的是_(填序号).(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S(abc)r；(2)在ABC中，若cb2，SABC，则A60；(3)在ABC中，若a6，b4，C30，则SABC的面积是6；(4)在ABC中，若sin 2Asin 2B，则AB.【解析】(1)错误.因为一个三角形可以分割成三个分别以a，b，c为底，以内切圆的半径为高的三角形，所以三角形的面积为Sarbrcr(abc)r.(2)错误.由三角形面积公式Sbcsin A得，22sin A，所以sin A，则A60或A120.(3)正确.因为三角形的面积Sabsin C64sin 306.(4)错误.因为在ABC中，若sin 2Asin 2B，则2A2B或2A2B，即AB或AB.【答案】(3)2.在ABC中，a6，B30，C120，则ABC的面积为_【解析】由题知A1801203030.，b6，S66sin 1209.【答案】93.在ABC中，ab60，SABC15，ABC的外接圆半径为，则边c的长为_.【解析】SABCabsin C15，sin C.由正弦定理2R，c2Rsin C3.【答案】34.若ABC的面积为，BC2，C60，则边AB的长度等于_.【解析】在ABC中，由面积公式得SBCACsin C2ACsin 60AC，AC2.BC2，C60，ABC为等边三角形.AB2.【答案】2小组合作型三角形面积的计算(1)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为()A.22B.1C.22D.1(2)在ABC中，SABC(a2b2c2)，则C_.(3)在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积SABC，则边BC的长为_. 【导学号：18082012】【精彩点拨】(1)利用正弦定理求边c，然后利用三角形面积公式求解.(2)由三角形面积Sabsin C与余弦定理cos C相结合求解.(3)由已知可先利用三角形面积公式Sbcsin A求出AC，然后利用余弦定理求BC.【自主解答】(1)由正弦定理及已知条件得c2，又sin Asin(BC).从而SABCbcsin A221.(2)由SABC(a2b2c2)得absin C(a2b2c2)，即sin C.sin Ccos C，即tan C1，C.(3)由SABC，得ABACsin A，即2AC，AC1.由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A22122213.BC.【答案】(1)B(2)(3) 1.由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用.2.如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算.再练一题1.已知在ABC中，cos A，cos B，BC5，求ABC的面积.【解】由cos A，得sin A.由cos B，得sin B.所以sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理得AC.所以ABC的面积为SBCACsin C5.三角形的证明问题在ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c.证明：.【精彩点拨】由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开.【自主解答】法一：由余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，a2b2b2a22bccos A2accos B，整理得：.依正弦定理有，.法二：.1.三角恒等式证明的三个基本原则(1)统一边角关系.(2)由繁推简.(3)目标明确，等价转化.2.三角恒等式证明的基本途径(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形.(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形.再练一题2.在ABC中，求证：.【证明】由正弦定理得右边左边.原等式成立.探究共研型三角形中的综合问题探究1如图1228所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，B是哪些三角形的内角？图1228【提示】在图形中共有三个三角形，分别为ABC，ABD，ADC；线段AD是ADC与ABD的公共边，B既是ABC的内角，又是ABD的内角.探究2在探究1中，若sin Bsin ADB，则ABD是什么形状的三角形？在此条件下若已知ABm，DCn，如何求出AC?【提示】若sin Bsin ADB，则ABD为等腰三角形，在此条件下，可在ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在ADC中求出AC，也可以在ABD中先求出BD，然后在ABC中，利用余弦定理求出AC.探究3在探究1的图形中若已知B与C的大小如何表示(或求)A，如何用B与C的正、余弦值表示A的正弦值？【提示】A(BC)，sin Asin(BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，bsincsina.(1)求证：BC；(2)若a，求ABC的面积. 【导学号：18082013】【精彩点拨】(1)先由正弦定理化边为角，再化简已知三角形即证.(2)结合第(1)问可直接求出B，C，再利用面积公式求值；也可以作辅助线导出b，c的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解.【自主解答】(1)由bsincsina，应用正弦定理，得sin Bsinsin Csinsin A，所以sin Bsin Csin Bcos B，整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1，因为0B，0Cb，所以AB，则B，所以C，SABCabsin C11.【答案】5.在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，已知c2，