2019版高考数学复习三角函数3.4两角和与差的三角函数讲义.docx

3.4两角和与差的三角函数考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.两角和与差的三角函数的基本运用1.求三角函数值2.化简三角函数式C8题5分5题5分填空题解答题2.公式的综合运用1.求三角函数值2.研究三角函数性质C填空题解答题分析解读本节内容是高考的重点.主要考查三角函数求值及公式的变形运用.五年高考考点一两角和与差的三角函数的基本运用1.(2017江苏,5,5分)若tan=16,则tan =.答案752.(2015江苏,8,5分)已知tan =-2,tan(+)=17,则tan 的值为.答案33.(2015四川,12,5分)sin 15+sin 75的值是.答案624.(2014课标,14,5分)函数f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)的最大值为.答案15.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cos xsin-3cos2x+34,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=cos x12sinx+32cosx-3cos2x+34=12sin xcos x-32cos2x+34=14sin 2x-34(1+cos 2x)+34=14sin 2x-34cos 2x=12sin.所以f(x)的最小正周期T=2蟺2=.(2)因为f(x)在区间-蟺4,-蟺12上是减函数,在区间-蟺12,蟺4上是增函数,f=-14, f=-12, f=14,所以函数f(x)在闭区间上的最大值为14,最小值为-12.6.(2013安徽理,16,12分)已知函数f(x)=4cos xsin(0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)讨论f(x)在区间0,蟺2上的单调性.解析(1)f(x)=4cos xsin=22sin xcos x+22cos2x=2(sin 2x+cos 2x)+2=2sin+2.因为f(x)的最小正周期为,且0,所以2蟺2蠅=,故=1.(2)由(1)知, f(x)=2sin+2.若0x蟺2,则蟺42x+蟺45蟺4.当蟺42x+蟺4蟺2,即0x蟺8时, f(x)单调递增;当蟺22x+蟺45蟺4,即蟺8x蟺2时, f(x)单调递减.综上可知, f(x)在区间0,蟺8上单调递增,在区间上单调递减.教师用书专用(7)7.(2014福建,16,13分)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-12.(1)若0蟺2,且sin =22,求f()的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析解法一:(1)因为0蟺2,sin =22,所以cos =22.所以f()=2222+22-12=12.(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-12=12sin 2x+1+cos2x2-12=12sin 2x+12cos 2x=22sin,所以T=2蟺2=.由2k-蟺22x+蟺42k+蟺2,kZ,得k-3蟺8xk+蟺8,kZ.所以f(x)的单调递增区间为,kZ.解法二: f(x)=sin xcos x+cos2x-12=12sin 2x+1+cos2x2-12=12sin 2x+12cos 2x=22sin.(1)因为0蟺2,sin =22,所以=蟺4,从而f()=22sin=22sin3蟺4=12.(2)T=2蟺2=.由2k-蟺22x+蟺42k+蟺2,kZ,得k-3蟺8xk+蟺8,kZ.所以f(x)的单调递增区间为,kZ.考点二公式的综合运用1.(2016课标全国理改编,9,5分)若cos=,则sin 2=.答案-7252.(2015重庆改编,9,5分)若tan =2tan 蟺5,则=.答案33.(2014课标改编,8,5分)设,且tan =,则2-=.答案蟺24.(2013课标全国理,15,5分)设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos =.答案-2555.(2016天津理,15,13分)已知函数f(x)=4tan xsincos-3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解析(1)f(x)的定义域为.f(x)=4tan xcos xcos-3=4sin xcos-3=4sin x12cosx+32sinx-3=2sin xcos x+23sin2x-3=sin 2x+3(1-cos 2x)-3=sin 2x-3cos 2x=2sin.所以, f(x)的最小正周期T=2蟺2=.(2)令z=2x-蟺3,易知函数y=2sin z的单调递增区间是,kZ.由-蟺2+2k2x-蟺3蟺2+2k,得-蟺12+kx5蟺12+k,kZ.设A=,B=,易知AB=.所以,当x时, f(x)在区间-蟺12,蟺4上单调递增,在区间-蟺4,-蟺12上单调递减.6.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=3sin(x+)的图象关于直线x=蟺3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值;(2)若f伪2=34蟺6伪0,所以=2蟺T=2.又因为f(x)的图象关于直线x=蟺3对称,所以2蟺3+=k+蟺2,kZ.由-蟺2蟺2得k=0,所以=蟺2-2蟺3=-蟺6.(2)由(1)得f伪2=3sin=34,所以sin=14.由蟺62蟺3得0-蟺6蟺2,所以cos=1-142=154.因此cos=sin =sin伪-蟺6+蟺6=sincos蟺6+cossin蟺6=1432+15412=3+158.7.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若是第二象限角, f伪3=45coscos 2,求cos -sin 的值.解析(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为,kZ,所以由-蟺2+2k3x+蟺4蟺2+2k,kZ,得-蟺4+x蟺12+,kZ.所以,函数f(x)的单调递增区间为,kZ.(2)由已知,有sin=45cos(cos2-sin2),所以sin cos蟺4+cos sin蟺4=(cos2-sin2).即sin +cos =45(cos -sin )2(sin +cos ).当sin +cos =0时,由是第二象限角,知=3蟺4+2k,kZ.此时,cos -sin =-2.当sin +cos 0时,有(cos -sin )2=54.由是第二象限角,知cos -sin 0,此时cos -sin =-52.综上所述,cos -sin =-2或-52.教师用书专用(8)8.(2013四川理,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2A-B2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-35.(1)求cos A的值;(2)若a=42,b=5,求向量在方向上的投影.解析(1)由2cos2A-B2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-35,得cos(A-B)+1cos B-sin(A-B)sin B-cos B=-35,即cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35.则cos(A-B+B)=-35,即cos A=-35.(5分)(2)由cos A=-35,0Ab,则AB,故B=蟺4.根据余弦定理,有(42)2=52+c2-25c-35,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为|cos B=22.(12分)三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一两角和与差的三角函数的基本运用1.(2017江苏苏州期中,5)已知tan =-43,则tan=.答案72.(2017江苏苏州学情调研,10)已知,cos =13,sin(+)=-35,则cos =.答案-4+62153.(苏教必4,三,1,变式)若cos =-12,sin =-32,则sin(+)的值为.答案324.(2017江苏泰州中学质检,15)已知函数f(x)=3sin xcos x-cos 2x.(1)求f(x)的值域和最小正周期;(2)若f(x)=-1,求cos的值.解析(1)f(x)=3sin xcos x-cos2x=32sin 2x-1+cos2x2=32sin 2x-cos2x2-12=sin-12,所以f(x)的值域为-32,12,最小正周期T=.(2)因为f(x)=-1,所以sin-12=-1,即sin=-12,所以cos=cos=sin=-12.5.(2016江苏淮安高中段测,16)已知,cos 2=-79,sin(+)=79.(1)求cos 的值;(2)求sin 的值.解析(1)因为,所以cos 0.又cos 2=2cos2-1=-79,所以cos =-13.(2)根据(1),得sin =1-cos2尾=223.而,所以+,又sin(+)=79,所以cos(+)=-=-429.故sin =sin(+)-=sin(+)cos -cos(+)sin =79-13-429223=13.考点二公式的综合运用6.(苏教必4,三,1,变式)函数y=sin+sin的最小值为.答案-27.(苏教必4,三,1,变式)若0蟺2,-蟺20,cos=13,cos=33,则cos=.答案8.(2017江苏淮阴中学期中,5)(1+tan 22)(1+tan 23)=.答案29.(2017江苏南京高淳质检,11)设为锐角,若cos=35,则sin的值为.答案21010.(2018江苏南通中学阶段练习)函数f(x)=2sincos x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=23,f(C)=12,若sin B=2sin A,求边a、b的值.解析(1)因为f(x)=2sincos x=32sin 2x-1+cos2x2=sin-12,所以函数f(x)的最大值f(x)max=12,最小正周期T=.(2)因为f(C)=sin-12=12,所以sin=1,因为0C,所以-蟺62C-蟺6,于是2C-蟺6=蟺2,所以C=蟺3.因为sin B=2sin A,所以b=2a,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos 蟺3,即a2+b2-ab=12,由b=2a,a2+b2-ab=12,解得a=2,b=4.11.(2018江苏如东中学学情检测)已知,都是锐角,且sin =35,tan(-)=-13.(1)求sin(-)的值;(2)求cos 的值.解析(1)因为,所以-蟺2-蟺2,又因为tan(-)=-130,所以-蟺2-0.结合sin2(-)+cos2(-)=1,且=-13,得sin(-)=-1010.(2)由(1)可得,cos(-)=31010.因为为锐角,sin =35,所以cos =1-sin2伪=1-925=45.所以cos =cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)=4531010+35-1010=91050.12.(2018江苏扬州中学月考)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x0,蟺2.(1)求f(x)的值域;(2)若ABC的面积为332,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f(C)=12,c=7,求ABC的周长.解析(1)f(x)=1-cos2x2-=1212cos2x+32sin2x-12cos 2x=34sin 2x-14cos 2x=12sin.x0,蟺2,2x-蟺6,故f(x)-14,12.(2)由已知得,12absin C=332.由f(C)=12,得C=蟺3,所以ab=6.在ABC中,由余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以a+b=5.所以ABC的周长为5+7.B组20162018年模拟提升题组(满分:50分时间:25分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(2017江苏仪征中学高三期初检测,11)已知3tan伪2+tan2伪2=1,sin =3sin(2+),则tan(+)=.答案-43二、解答题(共45分)2.(2017江苏泰州中学期中,15)已知0蟺2513.解析(1)将tan 伪2=12代入tan =,得tan =43,由及,得cos =35.(2)证明:易得蟺2+513.3.(2017江苏海安中学质检,15)已知向量m=(cos x,-sin x),n=(cos x,sin x-23cos x),xR.设f(x)=mn.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若f(x)=2413,且x蟺2,求sin 2x的值.解析(1)f(x)=cos2x-sin x(sin x-23cos x)=cos2x-sin2x+23sin xcos x=3sin 2x+cos 2x =232sin2x+12cos2x=2sin,所以f(x)的最小正周期为.(2)由(1)及题意得sin=1213,由蟺6x蟺2得蟺22x+蟺676,所以cos=-1-sin22x+蟺6=-513,所以sin 2x=sin=sincos 蟺6-cossin 蟺6=121332+51312=5+12326.4.(2017南京高三学情调研,15)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角和钝角的终边分别与单位圆交于点A,B,若点A的横坐标是31010,点B的纵坐标是255.(1)求cos(-)的值;(2)求+的值.解析(1)由任意角的三角函数的定义得cos =31010,结合为锐角,得sin =1-cos2伪=1010.同理得sin =255,cos =-1-sin2尾=-55.则cos(-)=cos cos +sin sin =31010-55+1010255=