机械优化设计.第三章.ppt

2 机械优化设计的基本术语和数学模型 2.2 机械优化设计的基本概念和术语 二、目标函数 三、设计约束 四、可行域与非可行域 五、目标函数的等值（面） 2.3 优化设计的数学模型 2.4 优化问题的几何描述,上一讲主要内容回顾,约束优化问题中，不等式约束的极限条件：,可行域：,非可行域：可行域以外的区域,其数学表达式：,等值线（面）： 具有相同目标函数值的点集在设计 空间形成的曲线和曲面, 在极值处，函数的等值线聚成一点，并位于等值线 族的中心。 当该中心为极小值时，离中心线愈远，函数值愈大。 当目标函数值的变化范围一定时，等值线越稀疏， 说明函数值的变化愈平缓,总结：(2维问题3维、n维）,2.3 优化设计的数学模型,数学模型的一般表达式,第三讲 内容提要,机械优化设计的基本术语和数学模型 2.5 优化设计的基本方法 3 优化方法的数学基础 3.1 函数的二次型与矩阵的正定,一、函数的二次型 二、正定矩阵及其判别法,1、了解优化方法的类型 2、掌握 “数值迭代法”的基本原理 3、熟悉正定二次函数的2个性质及其意义 4、明确数值迭代法的常用终止准则,一、优化方法的类型 1、单目标优化方法和多目标优化方法 2、一维优化方法和多维优化方法 3、无约束优化方法和约束优化方法 4、按求优途径： 直接法 按已有信息和再生信息进行试探及迭代求优 的数值法 间接法 利用函数性态、通过微分或变分求优的解析法 图解法 在设计空间内，画出目标函数、约束函数的图 形找到最优解 实验法 由实验直接找出最优解,2.5 优化设计的基本方法,二、优化设计的数值迭代计算法 1、迭代过程与格式,步步下降， 步步逼近， 最终极其靠 近最优点!,迭代格式：,(*)式使用条件： 1、适用性要求 2、可行性要求,2、数值迭代算法的收敛性和终止准则,、无约束优化问题 1、点距准则 2、函数下降量准则 3、梯度准则, 约束优化问题的终止准则,3 优化方法的数学基础 3.1 函数的二次型与矩阵的正定,若令：,若令： 则按矩阵运算法则，上面函数的矩阵表达式：,式中：A一对称方阵（ ）,（）,（）式同样也是多元二次函数的矩阵表达式,一、函数的二次型： 对于二元函数的二次型：,上式写成矩阵形式：,此式也是“多元函数的二次型”的矩阵形式,式中：An阶对称方阵,函数的二次型:,二、正定矩阵及其判别法,A与f一一对应！,1、正定的概念 设有二次型 ，若对于任意不为“ 0 ”的矢量 ，恒有 ，则相应的系数对称矩阵A称为正定矩阵,相应的函数 为“正定二次型函数”,类似地，若对于任何矢量 ,总有 ，则称A为负定矩阵。相应的函数 为“负定二次型函数”,2、正定性的判别 （1）若对称矩阵 正定，其充要条件是矩阵行列式 的各阶主子式值均大于0,如对于某些矢量 有 ，另一 些矢量 又有 ，则称矩阵A 为不定 矩阵，相应的函数 为“不定二次型函数”,（2）、若矩阵A负定，其充要条件是矩阵行列式 的各阶主子式值负、正相间。即：,三、正定二次型函数的性质,（坐标平移变换）,1、正定二元二次型函数的等值线是同心椭圆族，椭圆的中心就是以该函数为目标函数的极小点 设: 二元二次型函数,时，矩阵 正定,椭圆抛物面,“正定二元二次型函数的这个概念完全可以推广到n = 3及多维的设计问题的分析中去” 只不过对于3维问题,在设计空间对应的应是目标函数的“等值面” “同心椭球面族”；椭球面的中心正好是极值(小)点 高于3维的问题（n 3）,在设计空间中将是“超椭球面”（多维正定二次函数的超等值面），无法用三维图形表示，是一个抽象的概念。,总结:,2、过同心椭圆族中心,作任意直线与椭圆族中任 意两椭圆相交，通过交点所作的椭圆的切线必相互平行,根据这一性质，如果沿两条与给定方向平行的直线,求出两直线与椭圆族中某两椭圆的切点 、 , 过此两点的直线必通过椭圆族的中心，即函数的极小点 换句话说：若沿着 、 两点连线方向搜索,就可以找到 的极小点。这一特性在建立了共轭方向的概念之后就知道,它对产生某些优化算法有着重大意义。,意 义:,思考题: 1、矩阵正定的概念是如何引出的？如何判定矩 阵的正定性？ 2、正定“二元（n元）”二次函数的两个重要性质是什么？它与我们研究寻找最优点（最小点）有何联系？,优化方法的数学基础