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文档简介

例3. 写出下列函数由哪些函数复合而成的？,解：,分析：拆分复合函数的关键是引入中间变量,是由,复合而成的；,是由,复合而成的.,注:引入中间变量不唯一，故复合函数的分解也不唯一.,思考：,且仅用一个式子表示的函数 ,由基本初等函数,否则称为非初等函数 .,经过有限次四则运算或有限次函数,复合而成 ,称为初等函数 .,为初等函数.,3. 初等函数,也为初等函数.,如果是, 请将其分解为几个基本初等函数的结构.,例4 判断下列函数是否为初等函数,解：,它是由函数,复合而成；,| x |,它是由函数,复合而成；,* 尽可能少地引进中间变量。,* 每一个分解式只能含基本初等函数的四则运算,而不能再含复合运算。,或,初等函数分解的要点：,如：,非初等函数举例:,1.符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,2.取整函数,当,第二节,极 限,一、函数的极限,本节内容 :,三、两个重要极限,二、极限的四则运算,则称A为函数 f (x),定义1. 设函数f ( x )在点x0的某一邻域内(点x0可除外),1. 函数极限的概念,故数列的极限是函数极限的一种特殊类型.,(1) 自变量xx0 时, f (x)的极限,函数极限的2种情形: (1) xx0 , (2) x,当xx0 时的极限,如果当xx0 时,有定义.,记作,一、函数的极限,注：,考察函数 y=x+1 ( xR )，,考察函数 （x1），,极限 y,当x1时，,极限y,2,当x1（但不等于1）时，,2 .,例1. 函数,解：,验证,例2. 求下列函数的极限,解：,验证,定义2 左极限与右极限,左极限 :,右极限 :,定理 .,当xx0 时的左极限,则称A为函数 f (x),记作,当xx0 时的右极限,则称A为函数 f (x),记作,例3. 给定函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用前述定理 .,因为,显然,所以,例4. 给定函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用定理 .,因为,显然,所以,不存在 .,(2) 自变量x 时, f (x)的极限,定义2. 若自变量x的绝对值|x|无限增大时,则称A为函数 f (x) 当x 时的极限,记作,或,类似地，,定理 .,例5.,例如，,解：,不趋向于,任何常数，,(1) 四则运算法则,设 且 ,则,2. 函数极限的运算法则,( n 为正整数, 当n为偶数时， A0 ),例6.求下列函数的极限,解：,例7 求极限,解：,例8.求极限,解：,(2)复合函数极限运算法则,又,则有,注：变量代换，令u=g(x),则 f g(x)=f (u),例9 . 求,解: 方法 1,则,令, 原式,方法 2,(1),(2),二、两个重要极限,注：,注：,例10.求极限,解：,例11.求极限,解：,解：,例12(续),内容小结,二、两个重要极限,(1),(2)
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