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文档简介

2019/5/27,1,第三节 格林公式及其应用,一 问题的提出,二 区域的连通性及分类,三 格林（Green）公式,四 格林（Green）公式的简单应用,五 曲线积分与路径的无关,六 二元函数的全微分求积,七 小结与思考判断题,2019/5/27,2,一 问题的提出,在一元函数的微积分中我们通过Newton-lebiniz公式可以把定积分和原函数联系起来.在曲线积分中，我们是否有相似的联系呢？下面的Green公式告诉我们，在曲线积分中，也有相似的联系。即二重积分与曲线积分的联系，这就是我们所要讲授的Green公式。,2019/5/27,3,二 区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,2019/5/27,4,三 格林公式,定理1,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,2019/5/27,6,证明(1),2019/5/27,7,同理可证,A,B,2019/5/27,8,证明(2),两式相加得,2019/5/27,9,2019/5/27,10,G,F,证明(3),由(2)知,2019/5/27,11,2019/5/27,12,L,1） 简化曲线积分,四、 应用,2019/5/27,13,2019/5/27,14,2）简化二重积分,2019/5/27,15,2019/5/27,16,解,2019/5/27,17,2019/5/27,18,(注意格林公式的条件),例4 计算,解: 为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L 所围,区域为D , 则,2019/5/27,20,3）计算平面面积,解：,2019/5/27,22,解,2019/5/27,23,2019/5/27,24,五 曲线积分与路径的无关,B,A,如果在区域G内有,2019/5/27,25,定理2,曲线积分与路径无关的条件,2019/5/27,26,两条件缺一不可,有关定理的说明：,2019/5/27,27,六 二元函数的全微分求积,定理3,2019/5/27,28,例7 验证,证:设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,。,。,说明:,根据定理2,若在某区域内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,2019/5/27,31,解,2019/5/27,32,解,2019/5/27,33,2019/5/27,34,七 小结与思考判断题,1）连通区域的概念;,2）二重积分与曲线积分的关系,3） 格林公式的应用.,格林公式;,2019/5/27,35,4）与路径无关的四个等价命题,2019/5/27
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