理论力学牛顿动力学方程.ppt

理论力学 何国兴 东华大学应用物理系,第一章 牛顿动力学方程,1.1 经典力学基础原理 牛顿三大定律 1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 牛顿第二定律矢量表达式 F = dP/dt = d(mv)/dt 若m 为常数， F = mdv /dt = ma 1、直角坐标系 Fx = mdvx /dt = max Fy = mdvy /dt = may Fz = mdvz /dt = maz,例题：假设“和平”号宇宙空间站在接近地面摧毁时，有一质量为 m 的碎片以水平方向的初速 vo 抛出，已知空气阻力与速度成正比，即 f = - kv （ k 为常数），试求碎片的运动方程和轨迹方程。 解：牛顿第二定律：mg + f = mg - kv = mdv/dt 建立坐标系：x 轴 vo 方向; y 轴 垂直向下方向。 初始条件： t = 0， xo = 0 ， yo = 0 ， zo = 0； vxo = vo ， vyo = 0 ， vzo = 0; 运动微分方程： - kvx = mdvx /dt mg - kvy = mdvy /dt 0 = mdvz /dt,运动微分方程： - kvx = mdvx /dt mg - kvy = mdvy /dt 0 = mdvz /dt x方向： dvx / vx = - (k/ m) dt vx = vo e - kt/m y方向： - kdvy/(mg-kvy) = -(k/ m)dt vy = (mg/k)(1- e - kt/m ) z方向： dvz = 0 vz = vzo = 0 vx = vo e - kt/m vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) vz = 0,vx = vo e - kt/m ，vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) ，vz = 0 x - xo = ot vo e - kt/m dt = (mvo /g)( 1- e - kt/m ) y - yo = ot (mg /k)( 1- e - kt/m ) dt = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m ) z - zo = ot 0 dt = 0 运动方程: x = (mvo /g)( 1- e - kt/m ) y = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m ) z = 0 kt/m = - ln( 1-kx/mvo ) 轨迹方程: y = - g ln( 1-kx/mvo ) - mg x / kvo z = 0,1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式,2、平面极坐标系 (r,) 与直角坐标系关系: (1) (x , y) (r ,),x = r cos y = r sin,vx= vr cos-vsin vy= vr sin+ v cos,1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式,2、平面极坐标系 (r,) (2) ( vx , vy ) ( vr , v),(3) ( ax , ay ) ( ar , a),作 业,已知球坐标系与直角坐标系关系: x = r sin cos y = r sin sin z = r cos 推导球坐标系（r，）中的 （1）速度分量（ v r ，v，v ）； （2）加速度分量（ a r ，a，a ） 。,3、一般曲线坐标系中的速度、速率、加速度公式,x = x(q1, q2 , q3 ), y = y(q1, q2 , q3 ), z = z(q1, q2 , q3 ),例：求柱坐标中质点的速度、加速度分量表达式。,4、球坐标系（作业）,例：细杆 OL 绕 O 点以匀角速转动，并推动小环 C 在固定的钢丝 AB 上滑动，d 为常数。试求小环的速度及加速度的量值。,例：小船M 被水流冲走后，用一绳将它拉回岸A边点。假定水速 C1 沿河宽不变，而拉绳子的速度则为 C2 。如小船可以看成一个质点，求小船的轨迹。,例：求质量为 m 小球无摩擦从长轴的端点静止滑动到椭圆的最低点时，它对椭圆的压力 P。,5、自然坐标系(自学),1.2 动量定律,一、质心 RC = mi ri /mi = mi ri /M 质心