离散傅里叶变换(DF.ppt

1,2.1 离散傅里叶变换(DFT) 2.2 快速傅里叶变换(FFT) 2.3 离散卷积 2.4 FFT应用,第2章 离散傅里叶变换(DFT),2,2.1 离散傅里叶变换(DFT),2.1.1 DFT定义 2.1.2 DFT推导 2.1.3 DFT性质 2.1.4 DFT的矩阵计算,3,2.1.1 离散傅里叶变换的定义,1. 定义 设x(n)是一个长度为N的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为,X(k)的离散傅里叶逆变换为,(3.1.2),式中， ，N称为DFT变换区间长度，通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。,4,证明IDFTX(k)的唯一性。 证明：把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有,为整数,为整数,所以， 在变换区间上满足下式： IDFTX(k)=x(n), 0nN-1 由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。,5,例 3.1.1 x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT。 解：设变换区间N=8， 则,设变换区间N=16， 则,n,6,2. DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隐含了周期性，且周期为N。对任意整数m， 总有,均为整数,所以(3.1.1)式中， X(k)满足,同理可证明(3.1.2)式中 x(n+mN)=x(n),7,实际上，任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)则是 的一个周期， 即,为了叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示：,(3.1.7),8,图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓,9,2.1.2 DFT推导,1. 由Z变换推导 由Z变换可知，非周期序列x(n)的Z变换为 对于有限长序列x(n)(n=0,N-1)，X(z)的收敛区域总包括单位圆。若在单位圆的N个均分点上计算Z变换，得周期序列为,10,上式两边乘以 ，再对k从0N-1求和，得 这说明，长度小于或等于N的有限时宽序列可以用它的Z变换在单位圆上的N个取样精确地表示，或有限时宽序列的DFT相当于其Z变换在单位圆等间隔点上的取样。,11,图 3.1.1 X(k)与X(e j)的关系,X(z)X(ej)X(k),12,2. 由离散傅里叶级数推导 如果x(n)的长度为N，且 ，则可写出 的离散傅里叶级数为,(3.1.8),(3.1.9),式中,(3.1.10),13,3. 由连续傅里叶变换推导 设xa(t)与Xa(j)构成傅立叶变换对，则 (1)时域采样：将xa(t)离散化 其频谱为X(ej)，是以2为周期的周期函数，即,14,(2) 时域截断：将xa(nT)由无限变为有限时宽x(n) x(n)= xa(nT)w(t) 其中 且N=T0/T 也即 此时频谱为 X(ejT)*W(j) ，是的连续周期函数。,15,(3) 频域采样：将频谱离散化 为周期序列，其时域函数为 显然， 是以T0（T0=NT）为周期的序列，故其一周内恰好为原信号xa(t)的N个采样值。,16,将上述 求解，得 令 显然 完全由X(k)确定，而X(k)是以N为周期的序列，且在0N-1区间上xa(nT)可用x(n)表示，于是,17,同样，可推导出 显然，当时域采样满足时域采样定理时，频域不会发生混叠，这时，在0N-1区间上定义的X(k)恰好表示Xa(j)在带限区域内的采样值；而当频域采样满足频域采样定理时，时域才不会发生混叠，在0N-1区间上定义的x(n)才能代表x(t)的有效采样值。 上述推导说明，离散傅立叶变换与连续傅立叶变换有密切关系。,18,2.1.3 DFT性质,DFT有许多性质与连续、序列傅里叶变换相似，但也有其独特性，这主要源于它所隐含的周期性，即循环性。 1. 线性性 如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 0nN-1 式中a、b为常数，N=maxN1, N2，则y(n)的N点DFT为 Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k), 0kN-1 (3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。 该性质说明，DFT适用于离散线性系统。,19,2. 循环位移性质 若x(n) X(k)成立，则 x(n-n0) X(k) 称为时间位移性 (1) 或 x(n) X(k-k0) 称为频率位移性 (2) (1)说明时域信号的加载时刻，对信号DFT的幅度不产生任何影响，只在频域引入一线性相移。 (2)说明用特定频率的余弦（或正弦）对信号进行调制，其结果是信号的频谱发生了位移（以调制频率为中心）。 由于x(n)与X(k)的周期性，使DFT的位移呈现循环特性。,20,图 3.2.1 循环位移过程示意图,21,3. 对称性 若x(n) X(k)成立，则 x*(n) X*(-k)（复共轭序列的DFT ） 或 x*(-n) X*(k) 或 (1/N)X(n) x(-k) 说明DFT的时域与频域具有对偶关系。,22,证明： 根据DFT的唯一性,由X(k)的隐含周期性，有X*(N-k)=X*(-k)，X(N)=X(0)。 用同样的方法可以证明 DFTx*(N-n)=X*(k) (3.2.8),23,4. DFT的共轭对称性 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样，任何有限长序列x(n)也可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和， 即 x(n)=xep(n)+xop(n), 0nN-1 (3.2.11) 将式中的n换成N-n，并取复共轭，得到 x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n) =xep(n)-xop(n) (3.2.12) xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n) (3.2.13) xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) (3.2.14),24,(1) 如果 x(n)=xr(n)+jxi(n) 其中 xr(n)=Rex(n)=1/2x(n)+x*(n) jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n) 则 DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n) =1/2X(k)+X*(N-k)=Xep(k) DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n) =1/2X(k)-X*(N-k)=Xop(k) 由DFT的线性性质可得 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) (3.2.16) 其中 Xep(k)=DFTxr(n)，X(k)的共轭对称分量 Xop(k)=DFTjxi(n)，X(k)的共轭反对称分量,25,(2)如果 x(n)=xep(n)+xop(n)， 0nN-1 (3.2.17) 其中 xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n)，x(n)的共轭对称分量 xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n)，x(n)的共轭反对称分量 则 DFTxep(n)=1/2DFTx(n)+x*(N-n) =1/2X(k)+X*(k)=ReX(k) DFTxop(n)=1/2DFTx(n)-x*(N-n) =1/2X(k)-X*(k)=jImX(k) 因此 X(k)=DFTx(n)=XR(k)+jXI(k) (3.2.18) 其中 XR(k)=ReX(k)=DFTxep(n) jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n),26,有限长实序列DFT的共轭对称性说明： 设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFTx(n)，则 (1) X(k)共轭对称，即 X(k)=X*(N-k),0kN-1 (3.2.19) (2) 如果 x(n)=x(N-n)，则X(k)实偶对称，即 X(k)=X(N-k) (3.2.20) (3) 如果x(n)=-x(N-n)， 则X(k)纯虚奇对称，即 X(k)=-X(N-k) (3.2.21),27,利用DFT的共轭对称性， 通过计算一个N点DFT， 可以得到两个不同实序列的N点DFT。 设x1(n)和x2(n)为两个实序列，构成新序列x(n)如下： x(n)=x1(n)+jx2(n) 对x(n)进行DFT，得到 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) 由(3.2.16)式、 (3.2.13)式、(3.2.14)式得到 Xep(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) Xop(k)=DFTjx2(n)=1/2X(k)-X*(N-k) 所以 X1(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) X2(k)=DFTx2(n)=-j1/2X(k)-X*(N-k),28,2.1.4 DFT的矩阵计算,DFT计算也可以采用矩阵计算法，这样可以利用计算机中的矩阵乘法子程序。,29,1. DFT的矩阵计算 根据DFT定义有 用一组线性方程表示为,30,令 x(n)=x(0)， x(1)， x(2)， x(N-1)T X(k)=X(0)， X(1)， X(2)， X(N-1)T 则方程组可用矩阵表示为 X(k)=ANx(n),31,2. IDFT的矩阵计算 根据IDFT定义有 类似地，可将逆变换表示为 其中AN*是AN的共轭矩阵，即,32,显然，当N确定时， AN与AN*为常数矩阵，只要给定x(n)或X(k)就可以通过矩阵计算出X(k)或x(n)。 用计算机程序实现时，可以事先将AN与AN*存储在内存中。 AN与AN*中各元素由旋转因子 组成，利用旋转因子的周期性，可将AN与AN*简化。即AN与AN*中实际只包含N个不相同的元素： ， ， ， 或 ， ， ， 因此，只要确定出上述N个值，即可确定AN或AN*。,33,有两种确定方法： (1) 定义计算 (2) 几何计算 将单位圆从正实轴开始N等分，等分点在Z平面上的坐标即确定了 的值。 对于AN， 按i=0N-1在单位圆上顺时针取点； 对于AN*， 按i=0N-1在单位圆上逆时针取点。,34,以N=8为例计算AN与AN*。 显然有，,35,于是,36,例：计算x(t)=cos(2t)的频谱。 解:(1)对x(t)采样 根据采样定理，余弦信号一周至少采3个点，取N=4， 则 x(n)=1,0,-1,0T (2)求X(k) (3)将X(k)的观察区间位移到-N/2N/2-1，得 X(-2)=0, X(-1)=2, X(0)=0, X(1)=2, (4)离散频谱与连续频谱的对比 频域采样间隔f=1/T0=1/TP=1 由图中可看出 X(f)=(1/N)X(k) (f=kf) 该结论证明略。,37,时域 频域 非周期，连续 x(t) X(j)或X(f) 非周期，连续 无限长序列 x(n) X(ej) 周期，连续 周期N(T0)，序列 x(n) X(k) 周期N (1/T=fs) ,离散 时域采样间隔T t=nT f=k(1/T0) 频域采样间隔1/T0 = kf f X(f)=(1/N)X(k) (f=kf) =2f =T,38,2.2 快速傅里叶变换(FFT),频谱分析作为信号处理的基本工具已在多学科领域得到应用。然而DFT运算量大，使应用受到限制。 1965年，库利图基(Cooley-Tukey)发表了快速计算DFT的方法，使DFT得到实际应用，并由此发展成为称之为快速傅立叶变换(FFT)的一类算法。 FFT仅是DFT的一类特殊计算方法。它的价值在于：将DFT的计算时间减少12个数量级（甚至性能改善达100倍之多）。它的重要性在于：明显地证明了采用数字方法进行频谱分析较之用模拟方法更经济。,39,2.2.1 FFT原理 长度为N的有限长序列x(n)的DFT为 考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，直接按(4.2.1)式计算X(k)值需要N次复数乘法、(N-1)次复数加法，N点DFT的复乘次数为N2，复加次数为N(N-1)。,(4.2.1),40,FFT的基本原理是：把N点序列的DFT逐次分解为若干个较短序列DFT的线性组合。 分解的效果是：DFT的乘法和加法次数大大减少。 分解的方法不同，导致不同的FFT算法。 在FFT算法中，普遍利用了旋转因子WNm的周期性和对称性。即周期性为 对称性为,(4.2.2),41,以一种序列分解法-时间抽取法为例说明FFT原理。 设N为合数，即N=ML，则N点序列可分解为M个L点的新序列，即 x(n)=x(0), x(1), x(2), , x(N-1) 分解为 x(iM)=x(0),x(M), x(2M), , x(L-1)M) x(iM+1)=x(1), x(M+1),x(2M+1), , x(L-1)M+1) x(iM+M-1)=x(M-1), x(2M-1),x(3M-1), , x(L-1)M+ M- 1),42,由此，DFT可写为 式中，复数乘法次数：ML2+NM=N(M+L) 复数加法次数：ML(L-1)+N(M-1)=N(M+L-2) 当L、M均大于1时，有 N(M+L)N2 N(M+L-2)N(N-1) 即分解减少了计算次数。,43,若L也为合数的话，则上述分解可继续，从而使计算次数进一步降低。 当N=P1P2 P3 Pk时，按上述逐次分解方法可得计算次数为 复数乘法：N(P1+P2 + P3 + + Pk) 复数加法：N(P1+P2 + P3 + + Pk-k) 当Pi各不相同时，按上述逐次分解方法得到的FFT算法称为混基FFT；当Pi=r (即N=rk)时，得到的FFT算法称为基r FFT； 当r=2时，得到常用的基2 FFT。,44,2.2.2 基2 FFT 1. 时间抽取法 设序列x(n)的长度为N，且满足 按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列,为自然数,45,则x(n)的DFT为 其中,kr,46,由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 所以X(k)又可表示为,图4.2.1 蝶形运算符号,47,图4.2.2 N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8),48,与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4长的子序列x3(l)和x4(l)，即 那么，X1(k)又可表示为 同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和Wm N/2的对称性得：,1,(4.2.9),(4.2.10),49,用同样的方法可计算出 其中,(4.2.11),50,图4.2.3 N点DFT的第二次时域抽取分解图(N=8),51,图4.2.4 N点时域抽取FFT运算流图(N=8) 蝶形运算，同址计算，序列倒序，系数WNr确定,52,算法复杂度： 设P(N)表示N点DFT所需复数乘法计算次数，Q(N)表示N点DFT所需复数加法计算次数，则按时间抽取法得到 当将DFT最终分解为2点时，P(2)=1，Q(2)=2。将此初始条件带入上式递归求解得 取N=1024，基2FFT速度 比DFT提高200倍。,53,图4.2.5 FFT算法与DFT定义计算之间乘法次数比较曲线,54,2. 频率抽取法 设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：,55,将X(k)分为偶数与奇数组，当k取偶数(k=2r,r=0,1,N/2-1)时 当k取奇数(k=2r +1, r =0,1,N/2-1)时,56,将x1(n)和x2(n)分别代入(4.2.14)和(4.2.15)式，可得,(4.2.16),图4.2.10 DIFFFT蝶形运算流图符号,57,图4.2.12 DIFFFT二次分解运算流图(N=8),58,图4.2.13 DIFFFT运算流图(N=8),59,3. DFT程序 #include #include #include #include “msp.h“ void mcmpdft(complex x, complex y, int n, int isign) /*- Routinue mcmpdft: Directly to Compute the DFT/IDFT of Complex Data x(n) By DFT definition. If ISIGN=-1: For Forward Transform; ISIGN=1 : For Inverse Transform. -*/,complex t,ts,z; float pi2; int m,k; pi2=8.*atan(1.); t.real=0.;t.imag=isign*pi2/n; ts.real=0.0; for(m=0;mn;m+) ym=x0; for(k=1;kn;k+) ts.imag=t.imag*k*m; z=cexp(ts); ym.real+=xk.real*z.real-xk.imag*z.imag; ym.imag+=xk.real*z.imag+xk.imag*z.real; if(isign=1) ym.real/=n; ym.imag/=n; ,60,4. FFT程序 #include #include #include #include “msp.h“ void mcmpfft(complex x,int n,int isign) /*- Routine mcmpfft : to obtain the DFT of Complex Data x(n) By Cooley-Tukey radix-2 DIT Algorithm . input parameters: x : complex array. input signal is stored in x(0) to x(n-1). n : the dimension of x and y. isign: if ISIGN=-1 For Forward Transform if ISIGN=+1 For Inverse Transform. output parameters: x : complex array. DFT result is stored in x(0) to x(n-1). Notes: n must be power of 2. -*/,complex t,z,ce; float pisign; int mr,m,l,j,i,nn; for(i=1;i16) printf(“ N is not a power of 2 ! n“); return; z.real=0.0; pisign=4*isign*atan(1.); mr=0; for(m=1;m=n)l=l/2; mr=mr%l+l; if(mr=m) continue;,61,t.real=xm.real;t.imag=xm.imag; xm.real=xmr.real;xm.imag=xmr.imag; xmr.real=t.real;xmr.imag=t.imag; /*-*/ l=1; while(1) if(l=n) if(isign=-1) return; for(j=0;jn;j+) xj.real=xj.real/n; xj.imag=xj.imag/n; return; ,for(m=0;ml;m+) for(i=m;in;i=i+2*l) z.imag=m*pisign/l; ce=cexp(z); t.real=xi+l.real*ce.real -xi+l.imag*ce.imag; t.imag=xi+l.real*ce.imag +xi+l.imag*ce.real; xi+l.real=xi.real-t.real; xi+l.imag=xi.imag-t.imag; xi.real=xi.real+t.real; xi.imag=xi.imag+t.imag; l=2*l; ,62,2.2.3 利用FFT计算IDFT DFT和IDFT的运算公式为： 由于 对上式两边同时取共轭，得 可见，利用FFT也可计算IDFT。,63,2.3 离散卷积,由于卷积运算可以描述线性时不变系统，因此它在信号处理中具有重要作用。离散系统中的卷积用离散卷积计算。 2.3.1 定义 若x1(n)与x2(n)是宽度为N的有限时宽序列，则 定义为x1(n)与x2(n)的离散卷积，记作x1(n)*x2(n)。 因为离散信号（有限时宽序列）被看作周期序列，因此y(n)也具有周期特性，且周期为N，故离散卷积又称作循环卷积。,64,2.3.2 循环卷积定理 若x1(n) X1(k)， x2(n) X2(k)，则 x1(n)*x2(n) X1(k)X2(k) 或 x1(n)x2(n) 1/N(X1(k)*X2(k) 。 卷积定理指出了相乘与卷积运算的关系，同时给出了卷积运算的另一途径，即 由卷积定理也可以推论出x1(n)*x2(n) 的周期为N。,65,2.3.3 循环卷积与线性卷积的关系 设x1(n)与x2(n)是宽度分别为N1、N2的有限时宽序列，则 循环卷积： 线性卷积： 其中，循环卷积长度 N3=maxN1，N2 线性卷积长度 N4=N1+N2-1 显然，N3 N4 可以证明 也即循环卷积是线性卷积以循环卷积长度进行周期化并叠加（时域混叠）的结果。,66,2.3.4 利用循环卷积求解线性卷积 实际信号处理中，特别是分析处理模拟系统时，我们经常需要获得线性卷积，而利用计算机这类数字设备只能实现循环卷积，所以需要解决用循环卷积求解线性卷积的问题。,67,两个有限长序列的线性卷积 从循环卷积与线性卷积的关系可知，如果将循环卷积的长度定义为线性卷积有效结果的长度，即取 N3N4=N1+N2-1 则循环卷积一个周期内的序列值与线性卷积完全相同。这样，通过周期扩展，就可以用循环卷积的计算结果表示线性卷积，称此为扩展周期法。 这可以理解为：将时域x1(n)与x2(n)补零至N4长度，导致其频谱采样间隔变小，采样精度提高，从而减小(消除)了由频谱X1(k)X2(k)确定的时域卷积序列x1(n)*x2(n)中的混叠现象，使得循环卷积与线性卷积结果一致。,68,因此，对两个有限长序列计算线性卷积的方法为： . 确定循环卷积的计算长度，即 NN1+N2-1 其中， N1与N2分别为序列x1(n)与x2(n)长度(即周期)； . 将x1(n)与x2(n)分别补零至长度为N； . 对x1(n)与x2(n)分别求出N点的DFT为X1(k)与X2(k)； . 计算X1(k)X2(k)； . 求X1(k)X2(k)的N点IDFT为x1(n)*x2(n)，该结果即为线性卷积。 注：算法中的DFT与IDFT均可利用FFT求解； 也可以通过直接计算N长度的离散卷积所替代。,69,例：已知h=1,2,-1,1， x=1,1,2,1,2,2,1,1， 求y=h*x。 解： y=1,3,3,5,3,7,4,3,3,0,1 Ly=8+4-1=11,70,71,图 3.4.2 线性卷积与循环卷积,72,2.4 FFT应用,DFT快速算法FFT的出现， 使DFT在数字通信、 语言信号处理、 图像处理、 功率谱估计、 仿真、 系统分析、 雷达理论、 光学、 医学、 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。,73,2.4.1 利用FFT进行分段卷积 在实际信号处理中，被卷积的两个序列之一可能是无限长序列或长度比另一序列长很多。利用扩展循环卷积周期的方法，可能不是有效的和实际的。 . 扩展周期法意味着，整个较长的序列在进行卷积之前必须完全出现； . 由于整个序列完全出现之前不进行卷积处理，导致输出有较长的延迟； . 如果N1+N2-1太大，因需要大量的存储单元及对FFT算法实际的考虑，使卷积计算已不现实；如果N1+N2-1无穷大，卷积计算已不可能。,74,有两种方法用来解决上述问题：重叠相加法，重叠保留法。 重叠相加法 设序列h(n)长度为N，x(n)为无限长序列。将x(n)均匀分段， 每段长度取M， 则 于是， h(n)与x(n)的线性卷积可表示为,(3.4.4),k=0,75,若每段卷积yi(n)按线性卷积长度计算，则yi(n)结果相加即为线性卷积y(n)。该方法归纳为： . 将序列x(n)以M为长度顺序分段为xi(n) （M的经验选择： MN且与N数量级相同）； . 对h(n)与xi(n)分别作L(N+M-1)点的DFT，得到H(k)与Xi(k) ；(用FFT) . 对H(k)Xi(k)求出L点IDFT得h(n)*xi(n)=yi(n)；(用FFT) . 对各段卷积求和，即 注：该方法中，各段yi(n)是以线性卷积计算的。,76,图 3.4.4 重叠相加法卷积示意图,77,重叠保留法 仍然采用分段求卷积再组合的方法。 该方法与重叠相加法的区别为： . 对序列x(n)以M为长度重叠分段为xi(n) ，其后段与前段有N-1个重叠点； . 每段以M为周期计算循环卷积 ；(用FFT) . 将每段得到的循环卷积结果的前N-1个点去掉(这是循环卷积中的混叠部分)，然后将各段剩余部分(对应线性卷积结果)首尾衔接起来，即得到最终结果。,78,重叠保留法卷积示意图,79,2.4.2 利用FFT对连续信号作频谱分析 所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机系统实现，使其应用受到限制。 DFT(FFT)是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。 作为DFT的重要应用之一，就是利用FFT对连续信号作频谱分析。,80,实现流程为: 频率采样间隔为 模拟域 f=1/T0=1/NT (T为时域采样周期) =2/(NT) 数字域 =2/N 所以，频率分辨率即为 f=1/NT， f越小分辨率越高。,81,利用FFT分析连续信号频谱的好处是可以用计算机进行高速频谱计算，但有可能造成误差，主要有三方面原因： 1. 混叠失真 利用抗混叠模拟低通滤波器进行预滤波，使xa(t)频谱中最高频率分量不超过fh。设S/H或A/D的采样频率为fs，为了不产生频域混叠，按照采样定理，必须满足 fs2 fh 否则将产生频谱混叠，称为混叠失真。消除混叠误差是以引入频谱截断误差为代价的。,82,由频率分辨率 f=1/NT2fh/N 可看出，信号最高频率fh(又称高频容量)与频率分辨率f是相互矛盾的。在N一定时，增加fh，使f增加，即分辨力下降；提高分辨力(即减小f)，则需减小高频容量fh。所以，对fh和f，保持一个不变而提高另一个性能的唯一方法是增加采样点数N。 增加采样点数N的有效途径： (1)增加观察窗口宽度(记录长度)T0，当T不变时，N=T0/T增加； (2)在一定记录长度T0内，提高采样频率(减小T)，使N=T0/T增加。,83,例：用频谱分析仪对模拟信号进行谱分析， 要求谱分辨率f5Hz，信号最高频率fh=2.5kHz，试确定最小记录时间T0min，最低采样频率fsmin，最少采样点数Nmin。如果fh不变，要求谱分辨率提高一倍，最少采样点数和最小记录时间是多少? 解： T0=1/f1/5=0.2(s) ， T0min=0.2s fs2fh=22.5=5(kHz)， fsmin=5kHz N2fh/f=22.5103/5=103， Nmin=103 频率分辨率提高一倍，即f=5Hz/2，则 Nmin= 2fh/f=5103/2.5= 2103 T0min=1/f=1/2.5=0.4s,84,2. 频谱泄露 对时宽无限或长时宽信号的DFT(FFT)处理，一般需在时域加窗将其转换成有限时宽信号。 x(n)w(n) X(ej)*W(ej) 频域卷积造成：窗谱主瓣使信号频谱加宽，窗谱旁瓣使信号频谱出现波纹(皱波)，这