离散系统的Z域分析xg.ppt

第六章 离散系统的Z域分析,要点： 为什么要提出Z变换？ Z变换及其性质(Z变换、逆Z变换、性质、与拉氏变换的关系)； 离散系统Z域分析(解差分方程、离散系统函数)；,6.1 Z变换,1. 从抽样信号（离散）的拉氏变换引出Z变换,均匀冲 击抽样,拉氏 变换,积分求 和交换,令 得,2. Z变换的定义 序列x(n)的双边z变换 序列x(n)的单边Z变换,3. Z变换的收敛域,幂级数收敛,P271,z变换与拉氏变换的关系,s z 平面的映射关系 复变量关系 zs : z=esT, s=(1/T)lnz 坐标关系：s=+j, z=rej rej=e(+j)T, r=eT, =T , Ts=2,虚轴 =0 s=j,单位圆 r=1, 任意,左半平面 （0),单位圆内 r1,任意,右半平面 （0),单位圆外 r1,任意,S平面,z平面,负实轴 = r 任意,辐射线 =常数 r任意,正实轴 =0， r任意,实轴 =0 s=,平行直线 =常数,js/2 平行线,级数收敛的充要条件：绝对可和，即 |x(n)z-n| 正向级数收敛性判别法： 比值判别法：对于级数 |an|, 根值判别法：,1,发散 =1,收发,1,发散 =1,收发,例 已知,其中0a1, 求其双边z变换,x1,x2,单位圆,单位圆,a,a,收敛域,收敛域,例 求序列 x(n)=anu(n)-bnu(-n-1)的z变换,解 若|a|b|,收敛域：|a|z|b|, 若|a| |b|, 则序列的Z变换不存在,4. 典型序列的Z变换,(1) 单位脉冲序列 (n) (2) 单位阶跃序列u(n),(3) 斜变序列 nu(n) ,(4) 单边指数序列an u(n),同样,(5) 正余弦序列sin(0n)u(n)和 cos(0n)u(n),6.2 Z变换的性质,单边Z变换的性质 1. 线性 若 Zx(n)=X(z), Rx1|z|Rx2 Zy(n)=Y(z), Ry1|z|Ry2 则 Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z), R1|z|R2, 或 max(Rx1,Ry1)|z|min(Rx2,Ry2) 即两个收敛域的重叠部分,例1. 已知 x(n)=anu(n), y(n)= anu(n-1), 求x(n)-y(n)的z变换。 解 Zx(n)=X(z)=z/(z-a), |z|a| Zy(n)=Y(z)=y(n)z-n =anz-n=a/(z-a), |z|a| Zanu(n)- anu(n-1)=X(z)-Y(z)=1 |a|z| ,2. 序列位移特性,表明序列移动前后z变换之间的关系 (1) 双边z变换的位移特性 若 Zx(n)=X(z) 则 Zx(nm)=zmX (z) 可使z=0或z=处的零极点变化，但收敛域不会变化，双边X(z)的收敛域为Rx1|z|Rx2,(2) 单边z变换位移特性,若 x(n)为双边序列, 其单边z变换为 Zx(n)u(n)=X(z) 则 Zx(n+m)u(n)=zmX(z)- x(k)z-k Zx(n-m)u(n)=z-mX(z)+ x(k)z-k 如果x(n)为因果序列，则右移序列的z变换为 Zx(n-m)u(n)=z-mX(z) 而左移序列的z变换不变,例 2. 求宽度为N的方波序列N(n)的z变换 N(n)=1， 0 n N-1, 其他为 0 解 N(n)=u(n)-u(n-N) Zu(n)=z/(z-1), |z|1 根据位移性质有,3. 时域卷积定理,若 Zx(n)=X(z), Rx1|z|Rx2 Zh(n)=H(z), Rh1|z|Rh2 则 Zx(n)*h(n)=X(z)H(z) x(n)*h(n)= Z-1X(z)H(z) max(Rx1,Rh)|z|min(Rx2,Rh2),例3 求两个指数序列的卷积 x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n) 解 X(z)=z/(z-a), |z|a| H(z)=z/(z-b), |z|b| Y(z)=X(z)H(z)=z2/(z-a)(z-b), 收敛域：两收敛域重叠部分(|z|b|),b,a,J Imz,Rez,例4 求任意因果序列x(n)与单位阶跃序列 u(n)卷积和的z变换。 解 设 Zx(n)=X(z), |z|r Zu(n)=z/(z-1), |z|1,于是利用定理： Zx(n)*u(n)=z/(z-1)X(z), |z|max(r,1) 序列和的z变换： x(n)*u(n)= x(i), i=0n, Z x(i)=z/(z-1)X(z)，因果序列累加和的z变换，由此反变换可求序列累加和,4. 序列线性加权(z域微分):将nx(n)称为对序列x(n)进行线性加权,例5：已知Zu(n)=z/(z-1), 求nu(n)的z变换。,同理,5. 序列指数加权(z域尺度变换)：anx(n)称为对x(n)进行指数加权,若,则,尺度 扩展,尺度 压缩,翻转,例6 已知Zcos(0)u(n), 求ncos(0)u(n) 的z变换。 解,已知,ROC:,|z/|1,6. 初值定理与终值定理,若 x(n) 是因果序列，已知,初值,终值,任意值,6.2 逆Z变换,序列x(n)的Z变换及逆Z变换为,jImz,Rez,R,(1) 幂级数展开法（长除法） 按定义 X(z)= x(n)z-n 若在收敛域内把X(z)展成幂级数，其系数就是序列x(n) X(n)一般为有理分式,即 X(n)=N(z)/D(z),求逆变换的方法,例 求 X(z)=z/(z-1)2 的逆变换 x(n), (|z|1) (如果是因果序列，则按z的降幂排列） 解: D(z)=(z-1)2=z2-2z+1 N(z)=z z-1+2z-2+3z-3+ z2-2z+1 z z- 2 + z-1 2 - z-1 2-4 z-1+2 z-2 3 z-1-2 z-2 X(z)= z-1+2 z-2+3 z-3+= nz-n (0n ) x(n)=nu(n),(2) 部分分式法：先将X(z)/z 展成部分分式之和Am/(z-zm)，再乘以z，则有 zmX(z)/z的极点，对每一项作逆Z变换，即可得 x(n)。如X(z)/z 中有高阶极点,例 求X(z)=z2/(z2-1.5z+0.5) 的 逆变换x(n),|z|1,解,由阶跃和指数序列 Z变换关系可知：,连续时间 信号 x(t),拉式变换 X(t),傅氏变换,离散时间 信号 x(n),Z变换 X(z),DTFT,抽样,DTFT,IDTFT,Z域、S域、频域之间的关系,离散时间系统的频率响应,1. 离散时间系统的频率响应,以=s/2为轴半周对称 低通、高通、带通和带阻根据 (0， s/2)内的幅值特性来确定,连续系统与离散系统的各种频幅响应的对比,0,0,0,0,0,0,0,0,|H(j)|,|H(j)|,|H(j)|,|H(j)|,|H(ej)|,|H(ej)|,|H(ej)|,|H(ej)|,s/2,s/2,s/2,s,s/2,s,s,s,2. 频率响应的几何确定,S-平面,z-平面,Zr, pk:j(0),Zr, pk:z=ej(逆时针),如:D11, D22, N11, N22,|H(ej)|=N1N2/D1D2,|()|=(1+ 2)- (1+ 2),|H(ej)|=N1( )N2() /D1()D2(),|()|=(1()+2() )-(1() + 2(),说明,H(ej)|的重复频率: s=2/Ts; 对称性:在第一周期, |H(ej)|以= s/2为 对称轴(偶对称); |()|以s/2为对称点(奇对称) 极点为0,不影响|H(ej)| ,但会改变|()| 极零点在单位圆附近时, |H(ej)|将出现峰值与谷值,频率响应的几何确定法 用几何作图法求例的频率响应,=0,jIm(z),-1,(b),(a),Re(z),1,Z2 p2 Z1 p1,2 2 1 1,ej,jIm(z),-1,Re(z),1,p2,1,ej,Z2,Z1,p1,N2 D2 N1 D1,D2,N2,N1,D1, 1,2,2,例 设系统的差分方程为 y(n)+0.2y(n-1)-0.24y(n-2)=x(n)+x(n-1) 求其频率响应。 解 已求得H(z)=z(z+1)/(z-