河海大学材料力学第三章杆件横截面上的应力、应变分析第五节.ppt

35 梁平面弯曲时横截面上的正应力,梁平面弯曲时横截面上的应力的三个问题?,（1）应力形式？ （2）应力分布？ （3）应力大小？,(1)应力形式？,一般情况下，梁平面弯曲时，横截面上同时作用有弯矩M (bending moment)和剪力FQ(shear force)。,一、概述,如何设计车轮轴的横截面?,如何计算火车车轮轴内的应力?,1. 问题的提出,如何简化出火车车轮轴的计算模型?,纯弯曲( Pure Bending) M=常量， FQ=0 横力弯曲(Transverse Bending) 既有M ，又有FQ,二、纯弯曲时的正应力,从几何(变形)、物理、静力学三个方面分析 1、试验现象与平面假设 (1)试验现象,(1)纵向线都弯成弧线，上部纵向线缩短，下部伸长。 (2)横向线仍为直线，但相对转过了一个角度，且仍与纵向线正交。,(2)假设,平面假设:变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍与变形后的轴线正交。 设想梁由无数平行于轴线的“纵向纤维”组成。发生弯曲变形后，假定轴线发生凸向下的弯曲，则必然要引起靠近底面的纤维伸长，靠近顶面的纤维缩短。又因为横截面保持为平面，所以沿截面高度，纤维应由底面的伸长连续地变为顶面的缩短。 中性层：长度不变的一层纤维(neutral surface) 中性轴:中性层与横截面的交线(neutral axis) (横截面绕中性轴转动),纵 向 对 称 面,横截面,中性层,中性轴,z (中性轴),除平面假设以外，还假定梁的纵向纤维间无挤压 纵向纤维间无正应力。 在纯弯曲情况下，由于横截面保持为平面，且处处与纵向线正交，说明横截面各点处无切应变，也就不存在切应力，横截面上只可能有正应力。 根据以上假设得到的理论结果，在长期工程实践中，符合实际情况，与弹性力学的结果也一致。,2、纯弯曲时的正应力计算公式推导,从几何(变形)、物理、静力学三个方面分析,变形,应变分布,应力分布,应力 表达式,(1)变形几何关系,距中性轴y处 变形前长： ab=dx=rdq 变形后长： ab=(r+y)dq e = y /r,(2)物理关系 s = Ee s = Ey /r,结论:直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，与它到中性层的距离成正比。s = Ey /r 即沿截面高度，弯曲正应力按线性规律变化。 (3)静力学关系,FN = 0,My = 0,Mz = M,Sz = 0,z轴(中性轴)必通过横截面形心。,Izy = 0,y、Z 轴必为形心主惯性轴。,s = My / Iz,梁的抗弯刚度,梁纯弯曲时横截面上的正应力计算公式 s = My / Iz,s 沿截面高度的线性分布规律,公式适用于梁有一纵向面，且载荷作用在这个平面内计算任一点正应力时，M、y一般用绝对值代入。 (正应力的正负由弯矩来判定)。 最大应力发生在距离中性轴的最远处。,smax= Mymax / Iz= M / Wz,Wz = Iz / ymax 截面系数（抗弯截面模量）,截面系数（抗弯截面模量） Wz = Iz / ymax (section modulus in bending),矩形截面,实心圆截面,型钢的相关数据可查附录B,例1 悬臂梁，横截面直径为200mm(实心圆)，试计算梁内横截面上最大正应力。,分析：纯弯曲,smax= M / Wz,=,p 200 3,= 38.20 MPa,若采用d1 /D1=0.5 , d2 /D2=0.6 , s max不变，D1 =？ D2 =？,smax= M / Wz,D=200,(10.5 4),=204.35mm,=0.783,=209.47mm,=0.702,思考,从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽=？ 才能最有效利用材