课件8-8多元函数的极值.ppt

第八节 多元函数的极值 及其求法,一、多元函数的极值,二、多元函数的最大（小）值,三、条件极值,有极大值；,一、多元函数极值（一元函数极值的推广）,有定义，,的某邻域,则称函数在,则称函数在,有极小值.,设函数,在点,1.极值的定义,极大值、极小值统称为极值 .,使函数取得极值的点称为极大值点 .,例1,例2,例3,极小值点,2、多元函数取得极值的条件,定理1（必要条件）,在该点的偏导数必然为零：,一元可导函数有极值的必要条件：,在 处有极值，则,证,必要条件,极大值,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,问题：,注意：,例如, 点,是函数,的驻点，,但不是极值点.,如何判定一个驻点是否为极值点？,定理2(充分条件),的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，,处是否取得极值的条件：,（1）,（2）,（3）,时，可能有极值,也可能,还需另作讨论,没有极值，,例4,求函数,解 第一步 求驻点:,得驻点: (1,0),(1,2),(3,0),(3,2) .,第二步 判别:,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,在点(3,0) 处,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2)处,在点(1,0)处,为极小值;,(1,0) (1,2) (-3,0) (-3,2),第一步,第二步 对于每一个驻点,求出实数解，得驻点.,求出二阶偏导数的值A、B、C.,第三步 定出,的符号，,再判定是否是极值.,解方程组,求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及 在D 的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.,与一元函数相类似,我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.,二、多元函数的最大、最小值,如图,先求函数在D内的驻点，,例5 求二元函数,在直线,所围成的闭区,域D上的最大值与最小值.,解方程组,区域D内唯一驻点,由(2)-(1)式,代入(2),得,即,一元函数 的极值,比较函数值后可知：,可取得最大收益？,每天的收益为,某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶,进价2元,外地牌子每瓶进价3元,店主估计，,若本地牌子的每瓶卖x元,外地牌子的每瓶卖,y元,则每天可卖出,瓶本地牌子,的果汁，,瓶外地牌子的果汁.,问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁,解,目标函数,例6,目标函数,求驻点：,令,解得,根据题意可知,最大值一定存在,内取得，,又函数在D内,只有唯一驻点,因此可断定本地的,饮料价格约定为4.85元,外地的约为4.46元时，,收益最大.,并在开区域,这200元以达到最佳效果,在条件 下的极值问题,实例：小王有200元钱,他决定用来购买两类,急需物品：参考书和录音磁带,设他购买x本,书, y 盒录音磁带达到最佳效果,效果函数为,设每本书20元,每盒磁带10元,问他如何分配,问题：,求,三、条件极值及拉格朗日乘数法,极值：对于变量仅限制了定义域.,条件极值：,除了定义域之外，对函数的自变量 还有附加条件的极值问题.,无条件,解决条件极值问题的方法-,拉格朗日乘数法,在条件 下的极值问题,求函数,拉格朗日乘数法,解出,其中x,y就是可能的极值点的坐标.,在条件,下的可能极值点.,要找函数,先构造函数,（称拉格朗日函数）,可由,分配这200元以达到最佳效果,例7 小王有200元钱，他决定用来购买两类,急需物品:参考书和录音磁带,设他购买x本书,y 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为,设每本书20元，每盒磁带10元，问他如何,效果函数,分析,最大.,构造拉格朗日函数,由(1),(2)得,代入(3),得,代入(4),得,得到唯一的驻点,根据题意，最佳效果是存在的，,故买5本书、10盒磁带可达到最佳效果.,目标函数：,约束条件：,利用拉格朗日乘数法时，,区分目标函数和约束条件.,关键是找到和,效果函数,例8,则问题为:,解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,问水箱长,宽,高等于多少时所用材料最省？,要设计一个容量为,的长方体开口水箱,水箱表面积,最小.,求 x , y , z，使在条件,下,水箱表面积：,最小.,设拉格朗日函数为,方法1,令,目标函数,解得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,所用材料最省.,因此 , 当高为,由,长、宽为高的 2 倍时，,（1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?,提示: 利用对称性可知,（2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数?,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,思考,长、宽、高尺寸如何?,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,方法2,将条件极值转化为无条件极值,的极值问题.,水箱表面积：,最小.,自行完成，并比较两种方法,即得极值点的坐标.,先构造函数,拉格朗日乘数法可推广到,两个以上约束条件的情况：,条件解出,求平面 和柱面,的交线上与xoy平面距离最短的点.,例,设M(x,y,z)为平面和柱面交线上的一点，,则M到xoy平面距离为,目标函数：,约束条件：,分析,拉格朗日函数,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件判别驻点是否为,如对二元函数,一、多元函数的极值,（取得极值的必要条件、充分条件）,小 结,极值点 .,设拉格朗日函数,如求二元函数,解方程组,求驻点 .,二、拉格朗日乘数法,分清目标函数和附加条件，,构造拉格朗日函数.,下的极值.,在条件,条件极值的两种求法：,将条件函数代入目标函数转化为无条件 极值；,2. 利用拉格朗日乘数法,三、多元函数的最大值和最小值,1.有界闭区域上连续函数的最大(小) 值,2.最值应用问题.,第二步 求出驻点，,比较驻点及边界点上函数值的大小.,根据问题