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10.2 简单的一阶和二阶常系数线性差分方程的解法,一、齐次方程的通解,二、非齐次方程的特解与通解,三、二阶常系数齐次线性差分方程的解法,一、齐次方程的通解,一阶常系数线性差分方程一般形式为,这是等比数列所满足的关系式,由等比数列通项公式,可以得到,方程 变形后改写为,从而得到方程 的通解,有,二、非齐次方程的特解与通解,于是,要使方程恒等 , 则应设,则方程 为,代入方程 ,代入方程后,比较同幂次系数,可以解代数方程确定待定系数.,要使方程恒等,则应设,代入方程,比较同幂次系数,例1,解,代入原方程,有,比较系数得,所以,所给方程通解为,例2,解,代入原方程,有,比较系数得,所以得,从而所给方程的通解为,为,代入方程有,于是,从而得到,代入方程,这时方程,从而得到,代入方程 ,于是方程 的特解为,于是方程 的特解为,综上讨论,于是方程 的通解可表示为,例3,解,代入方程,有,从而解得,所给方程的通解为,于是所给方程满足条件的特解为,求解非齐次线性方程 的通解，除了利用线性方程解的结构定理，通过分别求出对应齐次方程通解和非齐次方程一个特解的方法实现外，还可以直接用迭代法计算，这时将方程 改写成迭代方程形式,则有,一般地,由数学归纳法可证,其中,为方程 的特解,例4,解,有,所以，所给方程的通解为,三、二阶常系数齐次线性差分方 程的解法,二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式为,特征方程的解称为特征根或特征值.,方程 称为方程 的特征方程,1. 特征方程有两个相异实根,方程 有两个相异实根,于是方程 有两个特解,根据二次代数方程 解的三种情况，可以仿照二阶常系数齐次线性微分方程，分别给出方程 的通解.,且由,从而得到方程 的通解,例1,解,特征方程为,解得两个相异实根,于是,所给方程的通解为,2. 特征方程有二重根,于是方程 有一个特解,方程 有二重根,可验证方程 有另一特解,且由,从而得到方程 的通解,例2,解,特征方程为,解得特征根为,于是,所给方程的通解为,3. 特征方程有两个共轭复根,通过直接验证可知,其中,方程 有两个共轭复根,方程 有两
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