随机变量及分布课件_2

第二章 随机变量及其分布,例：试验E掷骰子，每次出现的结果与一个数值对应，我们可用朝上面的点数值来代表相应的事件（样本点），这样，可引进一个变量 X 代表朝上面的点数,X 的取值为1，2，3，4，5，6； ( X =i)代表相应的基本事件（样本点），任一事件都和 X 的取值落在一个范围对应。如事件A朝上的点数超过3，可用(X3)表示。,2.1 随机变量的概念,随机变量的概念,若随机试验的结果带有明显的数量标识，则可用数量值来表示事件,例：试验E检验产品质量，每次出现的结果虽不和数值对应，我们可以人为的定义一个数值来代表相应的一个基本事件（样本点），如“1”代表“合格品”，“0”代表“次品”这样，可引进一个变量 X ，它的取值为0，1。,例：试验E电话台单位时间内收到的用户呼唤次数。记呼唤次数为 X，则 X 是一个变量，取值为0，1，2，,( X =i)代表相应的基本事件（样本点）。,变量X的取值是变化的取决于试验的基本结果（样本点）事先不能确定，有随机性；但取任一值都有确定的概率。我们把具有上述性质的 X 称为随机变量。,随机变量的引入，使随机事件的表达在形式上非常简洁,把对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，从而可用 高等数学的方法研究随机试验,例：试验E某地区某段时间内的气温。记X表示任一时刻的气温值，则X的取值为a，b。（ X=i）即为一基本事件（样本点）。,随机变量的定义,定义2.1 设试验E的样本空间为，对于 的任一样本点 按照某种对应法则，都有唯一确定的实数 X()与之对应，即 X=X()是定义上的一个实值函数，且对于任意实数x, （ X() x)是一随机事件，有确定的概率，则称 X=X()为随机变量。,注：（1）随机变量是试验结果（即样本点）和实数之间的一个 对应关系。,与高等数学中的函数概念本质上是一回事。,随机变量X=X()是函数，其自变量是样本点 ，定义域是样本 空间, 值域是实数集或其子集。,（2） 随机变量通常用大写字母,或希腊字母 , 等表示而表示随机变量所取的值时，一般采用小写字母 x , y , z 等 。,例如：在 n 重贝努利试验概型中，记事件A出现的次数为X ，则X为一随机变量。则事件“在 n 重贝努利试验中，事件出现 k次”就可以简单地记作（ X = k），从而有：,X 所有可能取到的数值就是试验中事件可能出现的次数： X=0, 1, , n。,（4）引入随机变量后，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量表达出来。,（3）随机变量的取值有一定的概率。（随机变量与普通函 数的本质差异）由此可知：对随机变量的研究，不仅要搞 清楚随机变量取值的范围，还要搞清楚取相应值的概率。,例如：单位时间内某传呼台收到的呼叫次数用X表示，则“收到不少于一次呼叫”“X1”， “没收到呼叫” “X = 0”。,例如：E掷色子，随机变量X表示朝上面的点数。则： P（X1）=1/6， P（X2）=2/6， P（X5.7）=5/6， P（X0）=0， P（X6）=1， P（X13.3）=1， P（X-4.12）=0,此例中研究的都是形如 事件（X x）的概率，发现 事件（X x）的概率随着 x 的变化而变化，即 P（X x ） 是 x的函数 ，记为 F(x)=P(X x）- 分布函数,设X=X()为一个随机变量，对任意实数 x，函数 F( x )= P( X x) 称为随机变量 X=X() 的分布函数。,为了更好地研究随机变量的统计规律，引进随机变量的分布函数的概念。,定义2.2 分布函数的定义：,分布函数是刻划随机变量分布的一个重要工具。F(x) 表示随机事件 X x 发生的概率，它在点 x 处的函数值F(x)正是随机变量 X 的取值落入区间（-，x的概率。,随机变量的分布函数：(课本第53页）, 分布函数的性质,2) F(x)是不减函数，即对x1 x2，有F(x1)F(x2)； 这是因为事件 X x1包含于 X x2,3),4) F(x)是右连续的，且至多有可列个间断点。即：,1) 定义域： x ，值域：0F(x)1;,所以 P(x1 X x2) = P( X x2) P( X x1) = F(x2) F(x1) 其中x1，x2为任意实数，且 x1 x2 。,5） P(X x)= F( x )，P(X x)= 1-F( x ) P(x1 X x2)= F( x2 )- F( x1 ),因为 (x1 X x2)=(X x2) (X x1),6）,证明：因为,这就是说，若已知 X 的分布函数，我们就能知道X 落在任一区间的概率。分布函数完整地描述了随机变量的概率分布情况。,P(x1 X x2)= P(x1 X x2)- P(X= x2) P(x1 X x2)= P(x1 X x2)+P(X= x1) P(x1 X x2)= P(x1 X x2)+P(X= x1)- P(X= x2 ),例1：设随机变量 X 的分布函数为 (0), 求常数 a 的值。, 随机变量的分类,按照随机变量的取值情况可把其分为两类： 离散型随机变量：随机变量X的全部取值只有有限个或 无限可列个。 非离散型随机变量：随机变量X的全部取值不能一一列出。 其中最重要的是续型随机变量（随机变量X的取值连续地充满某个区间或整个数轴）。,离散型,连续型,为了描述离散型随机变量X的分布 ，不仅要知道X的所有可 能的取值，还要知道X取这些可能值的概率。,2.2.1. 离散型随机变量的概率函数 一、定义 若随机变量X只能取有限个数值 x 1 , x 2 , , x n 或无限可列个数值 x 1 , x 2 , , x n , ， 则称X为离散型随机变量。,2.2 2.3 离散型随机变量,例： 盒中有个球，其中有个白球，个黑球，从中 任取个球，则取到的白球数X是一个离散型的随机变量， 它可能取的值是，。,如上例,概率分布,若离散型 随机变量X 所有可能的取值为 x 1 , x 2 , , 对应的概率为 p 1 , p 2 , 。 即： P (X= x i ) = p i , i = 1, 2, (1) 则称式 (1) 为随机变量 X 的概率函数或概率分布或 分布律。,定义,概率分布常以（概率分布表）的形式表示：,二. 离散型随机变量的概率分布（概率函数或分布律）,概率分布具有以下性质：,(1) pi0， i = 1,2, ； (2),若离散型随机变量X的概率分布为：,由此表明：概率分布和分布函数的作用相同，全面地描述了 离散型随机变量的统计规律。,一般地有(57页）：,则：,证明：,由概率的可加性知：,若离散型随机变量X的概率分布为：,离散型随机变量的分布函数是阶梯形函数。,=,三、离散型随机变量的分布函数（56页）,会求离散型随机变量的概率分布（确定常数）；,已知离散型随机变量的概率分布或分布函数，会求随机变量的取值落在一个范围的概率；,例1：（课本P99第7 题）一批零件中有7个正品，3个次品。安装机器时从这批零件中任取一个，若取到正品，则停止抽取；若取到次品，则放在一边继续抽取，直到取出正品为止。求在取到正品前所取出的次品数的概率函数。,解：在取到正品前所取出的次品数记为X，则X=0，1，2，3,P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=,X的概率分布为：,要求：,已知离散型随机变量的概率分布，会求分布函数；,例2：随机变量的概率分布为：,解：(1)由概率分布知：,求:（1）常数C（2)分布函数F(x） (3)P(-0.22.5); P(2.3); P( 0); P( =-3);,0.1+0.26+C+0.3=1,得 C=0.34,(2)分布函数：,0,0.1,0.36,1,F（x）=P(x)=,0.7,P(2.3)=0.1+0.26+0.34=0.7; P( =-3)=0 P(0)=0.26+0.34+0.3=0.9,(3)P(-0.22.5)=P(=0)+(=2)=0.6; (F(2.5)-F(-0.2),若X所有可能的取值只有两个 x 0 和 x 1 ，其分布为 P (X = x 0 ) = p , P (X = x 1 ) = q 其中：0 p 1 , p + q = 1 ，则称 X 服从两点分布。,特别地，若仅取的两个值为 0 和，则称 X服从 0 -分布,抛掷硬币的试验中，设随机变量 X 表示一次试验中正面向上的次数，则X服从“0 - 1”分布。,例：,2.2.2 常见的离散型随机变量分布：,1 两点分布：,若X的分布列为： P (X = x k ) = 1/n , k = 1, 2, , n 且当 i j 时， x i x j ，则称 X 服从离散型均匀分布。,例：,2 均匀分布：,在可列重贝努利试验中，随机变量X 表示 “事件A 首次发生所需的试验次数”， 则 X的概率分布为： P (X = k ) = (1-p)k - 1 p , k = 1, 2, 则称 X 服从参数为 p 的几何分布。,例:,设某批电子管的合格品率为0.75，不合格品率为0.25， 现对该批电子管进行有放回地测试，设第X次首次测到 合格品，求X的概率函数 。,X的可能取值为：1, 2, 。 事件 (X = k ) 表示“第 k 次才测到合格品”，则： P (X = k ) = 0.25 k - 1 0.75, k = 1, 2, ,解：,3 几何分布：,若随机变量X表示“n重贝努里试验中事件A出 现的次数”， X的可能取值为0,1,2, , n , 对应的概率分布为：,k = 0, 1, 2, , n,其中：0 p 1 , p + q = 1 ，这种分布称 为二项分布，记为X B(n, p)。,例：,一批产品共100件，其中有10件次品，进行有放回抽样 检查，每次从这批产品中任意取出 1 件，检查后放回， 连续抽取 5次，则被抽查的 5 件产品中的次品数 X 服从 二项分布 B(5, 0.1) 。,4 二项分布：,二项分布中 X 共有 n + 1 个可能的取值 0, 1, , n，使 P (X = k ) 取最大值的 k 记作 k 0，称 k 0 为二项分布的最可能值。 把 P (X= k ) 的最大值 P ( X = k 0 ) 称为二项分布的最大概率。,问题：如何求二项分布的最可能值？,答：由于 P (X = k 0 ) 最大，所以有以下不等式：,从而：k 0 ( n + 1 ) p,由第二个不等式可得： k 0 ( n + 1 ) p - 1，所以有： ( n + 1 ) p - 1 k 0 ( n + 1 ) p，即：,二项分布的最可能值与最大概率,由第一个不等式得：,某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，且每天用水量是 否正常相互独立。求：(1) 最近天内用水量正常的天数分布 (2) 在最近天内至少有天用水量正常的概率。 （3）最可能正常的天数。,例：,解：(1) 设最近天内用水量正常的天数为X, X B(6,3/4 )。其概率分布为,(2) 最近天内至少有天用水量正常的概率为： P (X 5 ) = P (X= 5 ) + P ( X = 6 ) = 0.3560 + 0.1780 = 0.5340,（3）最可能正常的天数：k0=(n+1)p=21/4=5,例：某批产品有的一等品，对它们进行重复抽样检验 共取出4个样品，求其中一等品数 X 的最可能值 k 0。,解： X B(4,0.8) 最可能值k 0=(n+1)p=4 或 (n+1)p-1=3,设 N个元素分成两类，第一类N1个元素，第二类有N-N1个元素。从中任取n个， X表示取出的n个元素中第一类元素的个数，则 X 的概率函数为：,称X服从超几何分布。,5 超几何分布,X 服从超几何分布，其概率函数为：,例：,一袋子中有 20 个球，其中有 5 个白球。现从中任取4个球 求被选到的白球数 X 的概率函数。,其概率分布表为：,解：,随机变量 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4。,可以证明，当 N 时，超几何分布以二项分布为极限， 即X 服从超几何分布，而N很大，n相对N较小，则X 近似地 服从参数为n，p=N1/N的二项分布。,设 X 表示发芽的种子数，则 X 近似服从二项分布 B(10, 0.9),10 粒种子是从一批种子中任取的(不重复），所以这 是 N 很大而n = 10 相对于 N 很小的超几何分布问题， 可用二项分布来近似计算。,一批种子的发芽率为 90%，从中任取 10 粒，求播种后： (1) 恰有 8 粒发芽的概率；(2) 不少于 8 粒发芽的概率。,(1),例：,(2),解：,其中 0 为常数，则称 X 服从参数为 的普哇松分布， 简记为X P( )。,随机变量 X的可能取值为 0, 1, 2, . ，取这些值的概率分别为：,普哇松分布常用于稠密性的问题中。如：炸弹爆 炸时的碎弹片数；显微镜下某种微生物的数目；某段时 间内到达公共汽车站的乘客数；某电话交换台单位时间 内收到的呼唤次数；宇宙中单位体积内星球的个数；耕 地上单位面积内杂草的数目，害虫数；织机上断头的数 目；原子放射离子数等，都服从或近似服从泊松分布。,6 普哇松（Poisson）分布,普哇松分布的有关计算可查表。,例：,某电话交换台每分钟收到的用户呼唤次数X服从参数=3的 普哇松分布，写出X的概率函数，并求一分钟内呼唤5次的概率,解：,X的概率函数为,每月的销售数量为X，则X P(10 )。,例（P100 17）：,由某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数量 可以用参数=10的普哇松分布来描述，为了以95以上的 把握保证不脱销，问商店在月初至少应进该商品多少件？ （假定上个月没有存货）,解：,事件“不脱销”即（ XN）,查表知，N=15,设商店在月初至少应进该商品N件。,现已知P(XN）95%,二项分布的泊松逼近,在实际应用时，当X B(n,p)时，若 n 充分大，事件A 在一次 试验中出现的概率 p 充分小， = n p大小适中，则事件 A 在 n 次 试验中出现的次数 X可以近似地服从参数为 = n p 的泊松分布：,电话站为300个电话用户服务。在一小时内每一电话用户使用 电话的概率是0.01,求在一小时内使用电话的用户不超过4户的概率。,解：设在一小时内使用电话的用户为X，则X B(300,0.01),P(X4）=,此时，X可以近似地服从参数为 = n p=3 的泊松分布,P(X4）,例（P99 16）：,如何描述这类随机变量呢？,2.4 连续型随机变量,问题：,随机变量可以取得某一区间内的所有实数，这些实数不能逐个列举出来。取任一确定值的概率等于0,1 连续型随机变量的定义,例：考察某一段时间内某地区的气温变化，此时间段内的气温是一随机变量，它的分布如何。,例：考察某批元件的使用寿命。,例：考察旅客等车的时间。,例：考察测量引起的误差。,连续型随机变量的定义,则称X为连续型随机变量，称 f (x)为X的概率分布密度函数， 简称为概率密度或密度函数或密度。记作 X f ( x )。,定义2.3 若随机变量X 所有可能 取值是某一区间上的所有实数，且存在 非负可积的函数 f ( x )，x （-，+） 使得对任意实数x， X的分布函数 F( x )可以写成 ：,概率密度函数的含义：,f ( x ) 在点 x 的函数值反映了随机变量X 在 x点 附近取值 的概率的大小，即x点概率分布的密集程度。,概率密度函数的性质：,(1) f ( x ) 0 x （-，+）,(2),因为：,具有上述两条性质的函数必定是某个连续型随机变量 的密度函数。,连续型随机变量分布函数的性质：,f ( x )在 x （-，+）内是可积函数,因为：,连续,(2) 若 f ( x ) 在点 x 处连续，则 F ( x )在x 点可导，且 F (x) = f (x),（1） F( x )在 x （-，+）内是连续函数,（1）对任意实数 a ，连续型随机变量 X取该值的概率为 0， 即 P (X = a ) = 0,这是因为，,连续型随机变量有关事件的概率计算：,这是连续型随机变量与离散型随机变量截然不同的一个 重要特点。它说明，用概率分布描述连续型随机变量毫无意义。,上述结果还说明，一个事件的概率等于零，该事件不一定 是不可能事件；同样地，一个事件的概率等于，该事件并 不一定是必然事件。,解：,（1）,（2）分布函数,求：(1)常数k (2) 分布函数F(x) (3) p(X1),p(1.5 X2.5),例（59页例1）：已知随机变量X 的密度函数,（3） p(X1)= 1-p(X 1)=1-F(1)=1-3/4=1/4,p(1.5 X2.5)=F(2.5)-F(1.5)=1-0.9375=0.0625,p(X1)=,p(1.5 X2.5),注：由概率密度f(x)求分布函数 F(x) ，利用 需注意当f (x) 是分段表示时，则要分段求出 F(x) 的表示式， 然后合并写出 F(x) 。,练习：已知连续随机变量 X 的概率密度为：,所以,求 常数a及X 的分布函数 F(x)，P（-2X0) 。,解：,已知连续随机变量 X 的分布函数为：,例（100页18）：,求:(1)常数a，b （2） X 的密度函数 （3）P(0X2） 。,解：(1)因F( x)在x = -1， x = 1点连续，则,即：a+arcsin(1)=a+b/2 =1,得：a=1/2 =1/,（3）P(0X2)=F(2)-F(0) =1-1/2=1/2,即: a+arcsin(-1)=a-b/2 =0,连续型随机变量 的 常 见 分 布,定义：若连续随机变量X 的密度函数为,则称X服从区间 a，b上的均匀分布。,对任意满足 a c d b 的 c , d 有:,该式说明，随机变量 X 落入 a , b 中任一小区间的概率与该区 间的长度成正比，而与小区间在 a , b 上的具体位置无关，即 它落入区间a , b 中任意等长度的子区间内的可能性是相同的， 这就是均匀分布的概率意义。,其分布函数为,1 均匀分布,注意：同样可以定义其他区间上的均匀分布，如开区间等。,某公共汽车站从上午7时起,每隔15分钟来一辆车，若某乘客从7点到7点30分内到达车站是等可能的 ，试求他候车少于5 分钟的概率,例：课本100页24题,设乘客于7点过X分钟到站,则X服从0, 30上的均匀分布。 X的密度函数为,所求概率为：,解：,例：,解：,设每人的候车时间为，则服从0, 5上的均匀分布。 的密度函数为,设某人的候车时间不超过2分钟的概率为,设三人中等车时间不超过2分钟的人数为X，则XB(3,0.4),所求概率为：,定义：若连续随机变量X 的密度函数为,其中 0 为常数，则称X服从参数为 的指数分布。,指数分布常可作为各种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机服务系统中的服务时间等都常被假定服从指数分布。,其分布函数为,2 指数分布,设某日光灯管的使用寿命X服从参数为 = 1/2000的指数分布。 (1) 任取一根这种灯管，求能正常使用1000小时以上的概率； (2) 有一根这种灯管，求正常使用了2000小时后，还能使用 1000 小时以上的概率。,例：,X的密度函数，分布函数分别为,(1) P(X 1000) =1- P(X 1000)=1- F(1000) = e -1000 = e -1/2 0.607,解：,(2), 0.607,从本例可看出，一根灯管能正常使用1000小时以上的概率 为0.607，在使用2000小时后还能使用1000小时以上的概率仍 为0.607。这是指数分布的一个有趣的“无记忆性”或无后效性。 即只要X服从指数分布，便有P (X s + t| X s ) = P (Xt )， 这表明：如果已知寿命长于 s 年，则再活 t 年的概率与年龄 s 无关，故风趣地称指数分布是“永远年轻”的分布。,定义：若连续随机变量X 的概率密度为,其中 为常数， 0 为常数，则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布，记为 X N( , 2)。,正态分布满足密度函数的两个性质：,其分布函数为,3 正态分布,例如 X N(1，4） 则 =1, =2,正态分布 N ( , 2 )的密度函数图形如右图所示，正态密度曲线呈古钟形曲线。,(1) (x) 图形关于直线 x = 对称。,(4) 参数 决定曲线 (x)的位置，参数 决定曲线 (x)的形状。固定 而改变 值，则曲线左右位置不同但形状不变，即此时 (x)图形沿着 x 轴平行移动；固定 而改变 值，则曲线形状改变而位置不 变。 值越大时曲线越平缓， 值越小，曲线越陡峭。,(3) 在 x = 处， (x)取得最大值：,其特点如下：,(2) (x)在 x 轴上方，且以 x 轴为渐近线。,参数 = 0, =1的正态分布称为标准正态分布 其密度函数为：,标准正态分布,记为X N(0,1)。,0 (x)的性质,(1) 0(x) 是偶函数，即有 0(- x) = 0 (x)。 曲线0 (x)是关于 纵轴对称的古钟型曲线；,(2)在x=0处0 (x) 取得最大值,(3) 0(x) 在（-，0）内单增，在（0，+）内递减。,(4) 0(x)在x=1，-1点取得拐点，且以x轴为渐近线。,有关 0(x)的结论：,(3) P ( |X| x) = 0(x) - 0(-x)= 20 (x) - 1 ；,(4) P ( |X| x) = P ( X x) +P ( X -x)= 21- 0(x),(1) 对于 0(x)，有 0(- x) = 1- 0(x) 0 (0) = 0.5,其分布函数为：,0(x)的几何意义：曲线 0(x)与x轴之间在直线t=x左边图形的面积,若 X N(0,1)，密度函数为,(2) P (aXb) = 0(b) - 0(a),标准正态分布的密度函数 0(x)和分布函数 0(x)值有表查,例：已知X N(0,1)，求：(1) P(X 0.68)；(2) P(X 1.74)； (3) P( | X | 1.96)；(4) P( | X | 1.84) (5) P(X 5.18)； (6) P(X - 8.7)；,有关标准正态分布的概率计算,解：,(1) P(X 0.68) = P(X 0.68) = 0 (0.68) = 0.7517,(2) P(X 1.74)=1-P(X 1.74)=1- 0(1.74)=1-0.9591=0.0409,(3) P( |X| 1.96) = P(-1.96X 1.96)=0(1.96)- 0(-1.96) =20(1.96)-1= 20.975 - 1= 0.95,(4) P( | X | 1.84) = 21 - 0(1.84) = 0.0658,(5) P(X 5.18) = 0 (5.18) 1,(6) P(X-8.7)=0(-8.7)=1-0(8.7) 0,注： 当x 5时 0(x) 1 ，当x - 5时 0(x) 0，当 0x 5时查表 当 -5x 0时 0(x)=1- 0(-x),一般正态分布与标准正态分布的关系,结论：若 X N( , 2)，Y N(0 , 1)，它们的密度函数 分别记为 (x)和 0(x) ，分布函数分别记为 (x) 和0 (x) ，则,证：,若随机变量 X N ( , 2)，则随机变量 X 落在区间 (a , b 内的概率可以转化成标准正态分布来计算，即 P(a X b) = (b)- (a)=,例：设X N (1, 4)，求：P (0 X 1.6)，P (| X | 2)。,P(|X | 2)=P(-2 X 2)= (2)- (-2)= = 0 (0.5) - 0 (- 1.5)= 0(0.5) - 1 - 0 (1.5) = 0.6247,例：(101页28题)测量到某一目标的距离时发生的误差X(米)具有密度函数, 求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率.,P(|X | 10)=P (-10 X 10 )= (10)- (-10)= = 0 (0.25) -0 (- 0.25)= 2 0(0.25) - 1 = 0.1974,解: X N(0,1600)， 一次测量误差的绝对值不超过10米的概率为,三次测量中误差的绝对值不超过10米的次数为Y, YB(3,0.1974),P(Y1)=1-P (Y=0 )=1-(1-0.1974)3 =0.8728,例：若 X N(, 2)，有：,P (| X - | ) = ( +）- ( -） = 2 0(1) -1 = 0.6826,显然 |X - | 3 的概率是很小的，因此可以认为X 取的值几乎全部 集中在 -3 , +3 区间内。这在统计学上称作“3 准则”,P (| X - | 2 ) = ( +2）- ( -2） = 2 0(2) -1 = 0.9545,P (| X - | 3 ) = ( +3）- ( -3） = 2 0(3) -1 = 0.9973,正态分布的应用：1 测量的误差；炮弹的弹落点的分布；人体生理特征的数量指标（身高、体重等）；产品的数量指标（直径、长度、重量、体积等）；飞机材料的疲劳应力等，都服从或近似服从正态分布。可以说，正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布。进一步的理论研究表明，一个变量如果受到大量微小、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般是一个正态随机变量。,2、正态分布有非常重要的理论价值：一方面，有些分布（如二项分布、泊松分布）的极限分布是正态分布；另一方面，有些分布（如 2 分布、t 分布）又可通过正态分布导出。,定义：设X是随机变量, y=g(x)是连续函数。Y = g(X)也是随机 变量,称Y = g(X)为随机变量X的函数。,2.5一维随机变量函数的分布,随机变量函数的分布,有些随机变量的分布往往难于直接得到，但与它们有关的另 一些随机变量的分布却容易得到。这就要研究随机变量之间的关 系，通过它们之间的关系，由已知随机变量的分布求出另一个随 机变量的分布。,如何根据X 的分布求出 Y=g(X)的分布？,2.5.1 离散型随机变量函数的分布,设随机变量X 的概率函数为P(X =x k)=p k (k=1, 2, ),1) 若对于X 的所有可能取值 x k， Y的取值 y k=g(x k) (k=1, 2, ) 全不相同，则Y=g(X)的概率函数为 P(Y =y k)=P(X =x k)=p k (k=1, 2, ),例：测量一个正方形的边长，其结果是一个随机变量 X 的分布为,求：周长Y和面积Z 的分布。,解：,显然， Y=4X ， Z= X 2,事件(Y=28) 与事件 (X=7) 相等，,P(Y=28)=P(X=7)=0.1,依此计算可得 Y的概率函数如表 2 所示,同理随机变量 Z 的概率函数，如表 3 所示。,例：已知 X 的概率函数如表 4 所示。,求： X 2 的概率函数。,解：,令 Y = X 2，则 Y 所有可能的取值为 0, 1, 4。,事件 (Y=0) 与事件 (X=0) 相等，事件 (Y=4)与事件 (X=2) 相等,所以 P(Y=0)=P(X=0)=0.3， P(Y=4)=P(X=2)=0.2,而事件 (Y=1) 是两个互不相容事件 (X= -1) 与 (X=1) 的和，,所以 P(Y=1)=P(X= -1)+P(X=1)=0.5,Y 的概率函数如表 5 所示,2) 若X 的所有可能取值 x k中至少有两个值 x i x j ，其对应 Y 的取值 y i = g(x i ) = y j = g(x j )，此时应将这些相等的函数值 作为Y的一个取值，Y取该值的概率是X取相应值的概率之和。,第一步，建立Y 的分布函数 FY ( y) 与X 的分布函数FX( x) 之间的 关系，求出Y 的分布函数 FY( y),若连续型随机变量X的密度函数为fX(x),y=g(x)及一阶导 数都连续。Y=g(X)是连续型随机变量,求： Y的密度函数 fY ( y)。,第二步，对FY ( y)关于y求导数得fY ( y),2.5.2 连续型随机变量函数的分布,例：已知X服从0，4上的均匀分布，求Y=3X+1的密度函数,3X+1服从1,13上的均匀分布,解：,当 y 0 时，FY( y)=P(Y y)=0,当 时，,当 时，,Y 的分布函数为：,结论：若X服从a，b上的均匀分布，kX+s服从ka+s，kb+s 的均匀分布,当y 0时,Y 的密度函数为：,解：,例：设XN( , 2),Y=(X- )/ ,求 Y 的密度函数 fY ( y)。,结论：若X N( , 2),则aX+b Na +b ,a2 2,则： Y N( 0 ,1),结论： 若X N( , 2)， 则Y N (0 , 1)。,我们称 是X 的标准化随机变量。,定理表明，一般正态分布的随机变量X （简称正态变量） 经标准化变换 后得到的是一个标准正态变量。,例：射击弹着点的位置。须由平面直角坐标系的两个坐标确定,定义2.4：设E为随机试验，样本空间为，X和Y是定义在 上的 两个随机变量，向量（ X，Y）称为二维随机变量,由于这些随机变量共处于同一随机试验中，它们是相互 联系的，因此单独研究某一个是不够的，必须考虑各个变量 的相互关系，把其作为一个整体（即随机变量）来讨论。,同时掷两枚骰子出现的点数。须由两个随机变量来描述,2.6.1 二维随机变量及及其分布函数,对于二维随机变量（ X，Y），既要研究（ X，Y）作为 整体的分布及相互关系，又要研究它们自身的分布 。,2.6 二维随机变量,一 二维随机变量的定义,二 二维随机变量的分布,1 二维随机变量的联合分布,定义2.5 设（ X，Y）为二维随机变量，对于任意的x，y， 二元函数 F(x ,y)=p(Xx ,Yy) 称为（ X，Y）的分布函数。或称为 X与Y的联合分布函数,联合分布函数的几何含义： 联合分布函数在点(x , y)处的函数值F(x , y) 就表示随机点落在以(x ,y)为顶点的左下方的无穷矩形区域 (- u x , - v y) 内 的概率。,联合分布函数的性质：,(1) F(x ,y)是变量 x 或 y 的单调不减函数。即：,对任意固定的y，当x2 x1时，F(x2 , y) F(x1 , y),对任意固定的 x，当 y2 y1时，F(x , y2) F(x , y1),(2) 对任意的 x 和 y 都有：,0 F(x , y) 1,(3) 对 x 和 y ， F(x , y) 都是右连续的,(4) 当 x1 x2 ， y1 y2 时，有,P(x1X x2 , y1Y y2) = F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1),定义：二维随机变量 (X,Y ) 中，随机变量X（或Y）自身的 分布称为(X ,Y )关于X （或Y）的边缘分布。,结论：设(X , Y ) 的联合分布函数为 F(x , y)，则有,2 边缘分布,边缘分布函数：X的分布函数 FX (x) 和 Y的分布函数FY ( y),边缘分布函数可由联合分布函数确定。,边缘分布从某种意义看，就是一维随机变量的分布，它 具有一维分布的性质。只不过边缘分布在二维空间考虑。,3 条件分布(84页),定义：二维随机变量 (X , Y ) 中，已知随机变量X 取定值x时， 随机变量Y的分布称为在(X=x）条件下Y的条件分布 。,4 随机变量的独立性（90页）,定义：二维随机变量 (X , Y ) 中，联合分布函数和边缘分布 函数分别为F(x，y)， FX (x)，FY ( y）。若满足 F(x，y)=FX (x)FY ( y） 则称随机变量 X 和 Y 相互独立。,已知随机变量Y取定值y时， 随机变量X的分布 称为在(Y =y）条件下X 的条件分布 。,二维离散型 随 机 变 量,定义2.6：如果二维随机变量 (X , Y ) 所有可能取的数对是 有限个或可列个，则称 (X , Y ) 为二维离散型随机变量。,2.6.2 二维离散型随机变量,1 二维离散型随机变量的联合分布,设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的数对为 (x i , y j ) (i , j = 1, 2, ) 则 P (X = x i ，Y = y j ) = p i j (i , j = 1, 2, ) 称为二维离散型随机变量(X , Y )的联合概率函数或联合分布。,例：同时掷两枚色子，朝上面的点数记为X , Y ，则 二维随机变量(X , Y )为离散型。,(X , Y )的联合概率函数表：,(1) pi j 0 , i , j = 1 , 2 , ,联合概率分布的性质,(2),（ X , Y）的可能取值为：（i，j）， i，j=1，2，3,例：,盒中装有标号1，2，2，3的4个球，从中任取一个并 且不再放回，然后再从盒中任取一球。以X , Y分别记为第一， 二次取到球上的号码数，求（ X , Y）的联合分布。,解：,0,0,（ X , Y）的联合概率分布表：,(X , Y )的联合分布函数,设二维随机变量(X , Y )的联合分布律为 P (X = x i ，Y= y j ) = p i j (i , j = 1, 2, ),1,则,2 二维离散型随机变量的边缘分布,称为二维随机变量(X , Y )关于X , Y的边缘分布,注意：联合分布唯一确定边缘分布，边缘分布不能唯一地 确定联合分布。,二维随机变量(X , Y )关于X , Y的边缘分布,例：（X , Y）的联合概率分布,求：X , Y的边缘分布,解：X , Y的边缘分布,那么其边缘分布函数为：,3 条件分布,设 (X , Y ) 的联合分布律为：P(X = x i , Y = yj ) = p i j (i , j = 1, 2, ),边缘分布：,现考虑在事件 (Y = y j ) 已发生的条件下，事件 (X = x i ) 的条件概率 P ( X = x i |Y= y j )。,定义：,设 (X , Y ) 是二维离散型随机向量，对于固定的 j ,若 P (Y= y j ) 0，则,称为在Y=y j 条件下随机变量X的条件分布（或条件概率函数）,同样，对于固定的 i ，若 P (X = x i ) 0，则,称为在X=x i 条件下随机变量Y的条件分布（或条件概率函数）,在 X =2的条件下,Y的条件分布为：,=1/3,例：（ X , Y）的联合概率分布,P(X=2)=1/6+1/6+1/6=1/2,在Y =1时 , X 的条件分布,解：,=1/3,=1/3,求：在X =2时 , Y 的条件分布,在Y =1的条件下, X的条件分布为,4 随机变量X , Y的独立性,离散型随机变量X , Y 独立的充要条件是对一切 i , j = 1, 2, 都有 pi j = pi（1） pj（2）,如上例：随机变量 X , Y不相互独立。,即： P(X = x i ,Y= y j )=P (X = x i ) P(Y= y j ) (i , j = 1, 2, ),因： P(X=1,Y=1)=0,P(X =1 )=1/4, P(Y=1 )=1/4 P(X=1,Y=1) P (X =1 ) P(Y=1 ),二维连续型 随 机 变 量,定义2.7： 设二维随机向量(X ,Y)的分布函数为 F(x , y)。 如果存在非负可积函数 f (x , y)，使得,2.6.3 二维连续型随机变量,则称 (X , Y) 为二维连续型随机变量，f (x, y) 称为 (X , Y ) 的联合 概率密度函数，或简称联合密度。,1 联合密度函数,二维连续型随机变量的联合密度的基本性质,(1) f (x, y) 0 x , y R,(2),给出联合密度 f (x, y) 后，事件 (X ,Y) G的概率都可用 二重积分表示，然后化为累次积分计算,当 G 为长方形时，,将“”改为“”上式仍然成立。,例：(均匀分布)设二维随机向量(X ,Y)具有概率密度：,求： 常数 c,解,例：设二维随机向量(X ,Y)具有概率密度：,求：(1) 常数 c ; (2) 联合分布函数 F(x , y) ; (3) (X ,Y)落入右上图所示三角形区域 G 内的概率。,解,c = 9,(2),当 0 x + , 0 y + 时,当 x , y 不都大于0 时,解：,(3),1- x,0,0,1,设二维连续型随机变量(X ,Y)联合密度为 f (x , y) ，则其边缘 分布函数为,若记,则显然 fX (x) 0，并且对任意实数 x，都有 f X (x) 是 X的密度函数，称 fX (x) 是 (X ,Y)关于X 的边缘密度函数。,2 边缘密度函数,解：边缘密度函数,当x 0时,当x 0时,解：,关于 X 的边缘密度函数为,同理，关于 Y 的边缘密度函数为,当 x R时,当 x R时,二维正态分布,若二维连续型随机向量 (X,Y) 的联合密度为,其中 1 , 2 , 10, 20 ,| |1均为常数，则称 (X , Y) 服从参数 为 1 , 2 ,1 , 2 , 的二维正态分布， 记作 (X , Y) N ( 1 , 2 , 12 , 22 , ) 。,可求出边缘密度函数为：,表明，二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。,X N ( 1 , 12 ),Y N ( 2 ,22 ),称为在Y=y 条件下X 的条件分布（或条件密度函数）。,3 条件密度函数,称为在X =x 条件下Y的条件分布（或条件密度函数）。,设二维连续型随机变量(X ,Y)联合密度为 f (x , y) ， 边缘密度函数为fX (x) , fY (y),解：,对于满足 y 0，则：,0 其他,对于满足 x 0，则：,4 连续型随机变量的独立性,设二维连续型随机变量(X ,Y)联合密度为 f (x , y) ， 边缘密度函数为fX (x) , fY (y) ，若f (x , y)= fX (x) fY(y) ，则X ,Y独立,解：,f (x , y) fX(x) fY(y) ，则X，Y不独立,f (x , y)= fX (x) fY (y) ，则X ,Y独立,例：,因为随机变量 X 与 Y 独立，所以对任意实数 x , y 都有,设随机变量 X 与 Y 独立，且都服从正态分布，其密度函数为,求：(X ,Y) 的联合密度函数。,解：,(X,Y)N( 1, 2, 12, 22 , 0),此例说明：若X N( 1,12)，Y N( 2,22)，且X 与Y 独立，则 (X,Y) N( 1, 2,12,22 ,0)；若(X,Y) N( 1, 2,12,22,0)， 则X 与Y 独立。所以，二维正态随机变量 X 与Y 独立的充要条件是 = 0。,2.6.5 二维随机变量函数