高等数学（三）第三章矩阵理论课件

1 矩阵及其运算,一、矩阵的定义,例1 设某物质有m个产地，n个销地，如果以 aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量，则这类物质的调运方案，可用一个数表表示如下：,1. 实际例子,销地,销量,产地,1,2,j, ,n,记,例2 解线性方程组,代替：,由mn个数aij ( i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n)有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表,称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)mn，通常用大写字母A，B，C，表示，m行n列的矩阵A也记为Amn，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。,2. 定义,注意：,(1) 只有一行的矩阵 A1n =(a1 a2 an) 称为行矩阵,(2) 两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称A、B是同型的。,(3) 若 A = (aij)mn, B = (bij)mn是同型的，且 aij = bij (i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n)则称A与B相等，记作AB。,(4) 元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作O，不同型的零矩阵是不相等的。,二、矩阵的运算,设 A = ( aij )mn , B = ( bij )mn,则矩阵 C = ( cij ) mn= ( aij + bij ) mn,称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B,1. 矩阵的加法,(1) 定义,设 A，B，C，O 都是 mn 矩阵,(1) A + B = B + A,(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ),(3) A + O = O + A = A,(2) 性质,2. 矩阵的减法,(1) 负矩阵,设 A = ( aij ) mn , 则称,( aij ) mn 为A的负矩阵，简记A,显然,A+ (A)= O ,(A) = A,(2) 减法：,设 A = ( aij ) mn , B = ( bij ) mn,AB = A + (B ) = ( aij bij ) mn,记为 A，即,设是常数， A = ( aij ) mn ，,3.数与矩阵的乘法,(1) 定义,设 A、B 为 m n 矩阵，、u为常数,(1) ( u ) A = ( u A) = u ( A );,(2) ( A + B ) = A + B,(3) ( + u ) A = A + u A,(2) 性质,例3：,设,求A2B,解：,设 A = ( aij ) ms , B = ( bij ) sn ,其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和,( i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n),4. 矩阵的乘法,(1) 定义,例4： 设矩阵,求乘积 AB 和 BA,解：,注：AB BA 即矩阵乘法不满足交换律,例 5： 设,试证： (1) AB = 0 ； (2) AC = AD,证：,(1),(2),故 AC AD,比较：,(1) 在数的乘法中，若ab = 0 a = 0 或 b = 0,两个非零矩阵乘积可能为O。,(2) 在数的乘法中，若ac = ad，且a 0 c = d (消去律成立),在矩阵乘法中，若AC = AD，且A O C = D (消去律不成立),(1) ( A B ) C = A ( B C ),(2) A (B + C ) = A B + A C,(3) ( B + C ) A = B A + C A,(4) ( A B ) = ( A ) B = A ( B ) (其中 为常数),(2) 性质,5. 线性方程组的矩阵表示,设方程组为,可表示为,简记为,AXB。,A称为由线性方程组的系数矩阵。,将矩阵 A mn 的行换成同序数的列， 列换成同序数的行所得的 nm 矩阵称为A的转置矩阵，记作 AT 或 A。,例如：,则,6. 矩阵的转置,(1) 定义,(1) ( AT ) T = A,(2) ( A + B ) T = A T + B T,(3) ( A ) T A T,(2) 性质,例6：,设,求 ( A B ) T。,解法一：,( A B ) T = B T A T,解法二：,三、方阵,1.定义,则：,(其中：k, l均为正整数),行数与列数相同的 n n 矩阵 A 称为方阵，n 称为它的阶数，简记 An 。,称为n阶单位矩阵，简记E,显然,1. 单位矩阵,2.几类特殊方阵,2. 对角矩阵,结论：,(2) k为正整数时,3. 上三角矩阵,下三角矩阵,4. 对称矩阵,(1) 若方阵A满足 AT = A，即 aji = aij，则称A为对称矩阵。,(2) 若方阵A满足 AT = A，即 aji = aij，则称A为反对称矩阵。这时 aii = 0 ( i = 1, 2, n),例7： 设A为任一方阵，证明 : A+AT为对称阵， AAT 为反对称阵,(1) 方阵 A 对应的行列式记为 |A |或 det A,若 |A| 0，则称方阵 A 是非奇异(非退化)的，否则，称 A 是奇异(退化)的。,3、比较方阵与行列式,(2) | A | = n | A |,(3) | A B | = | A | | B |,(3) | A B | = | A | | B |,例如：,有,而,(4) | A m | = | A | m,| A 1 A 2 A m | = | A 1| | A 2 | | A m |,推广：,四、分块矩阵,如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A分成若干小块，这样的小块称为矩阵A的子块或子矩阵，而A可以看成是以子块为元素的矩阵，称A为分块矩阵。,1. 定义,例如：,A11,A12,A21,A22,例8：设,利用分块矩阵求 A+B，AB。,解：将A、B分块成,则,而,而,故,考察： AT,对于,2. 分块矩阵的转置,注：设矩阵A = ( aij ) mn 分块为,则,若方阵A除主对角线上的子块外，其余子块都为O，且主对角线的子块均为方阵，,则称A为准对角矩阵。,3. 准对角矩阵,定义：,例如：,为准对角矩阵。,准对角矩阵与对角矩阵有类似的性质,例如：,( Ai 为方阵， i = 1,2,，m),2 矩阵的初等变换,一、矩阵的初等变换,定义 1,对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换,(1) 互换两行 ( 记作 ri rj );,(2) 以数 0 乘以某一行 ( 记作 ri );,(3) 将第 j 行各元素乘以数后加到第 i 行的对应元素上去 (记作 ri + rj ),相应地，矩阵的三种初等列变换的记号只需将 r 换成 c。,二、初等矩阵,定义2,由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。,(1) ri rj,ci cj 也得到 P (i, j),(2) ri, ci 也得到 P ( i (),0,0,第 i 行,(3) ri + rj,cj + ci 也得到 P ( i, j ( ) ),定理1,对A施行一次初等行变换，相当于在A的左侧乘以一个相应的初等矩阵；,对A施行一次初等列变换，相当于在A的右侧乘以一个相应的初等矩阵；,例如：,设A是一个 m n 矩阵,(1),A,P(1, 2) A,(2),A,A P(3, 4),三、矩阵的秩,1. k 阶子式,定义3,设 A 为 mn 矩阵，在 A 中任取 k 行 k 列 (1 k min (m, n)，由这 k 行，k 列的交叉处的 k2 个元素(按原来的前后顺序)所构成的 k 阶行列式，称为矩阵A的一个 k 阶子式。,例如：,一个2阶子式,例如：,一个2阶子式,一个3阶子式,(1) A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式,(2) 当 A 为 n 阶方阵时，n 阶子式即为 | A |,注：,2. 矩阵的秩,r(A) = 3,定义4,矩阵A的不为0的子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为r (A)。,( 显然 r (A) min (m, n) ),规定：,注：,(1) 非奇异矩阵A，有 | A | 0，A的秩就等于它的阶数，A又称为满秩矩阵。,(2) 奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。,定理2 若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为0，而所有 k+1 阶子式全为0，则 r ( A ) = k。,零矩阵的秩为0，即 r (O) = 0,3. 初等变换求矩阵的秩,定理4.3 对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变,例：,阶梯形,r ( A ) = 3,A,进一步：,A,称为A的标准形,注：若A为n阶满秩方阵，则A的标准形为n阶单位阵E。,3 逆 矩 阵,一、逆矩阵的定义,定义1,AB = BA = E,则称 B 为 A 的逆矩阵，并称 A 可逆。,设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B,使,显然A 为B 的逆矩阵，即 A 与B 互为逆矩阵。,例如：,有,所以 B 是 A 的逆阵，同时 A 也是 B 的逆阵。,例1 设 a11 a22 ann 0,由于：,例2 若方阵 A1 A2 Am 均可逆，可证,定理1 (唯一性),若方阵 A 的逆矩阵存在，则唯一，用 A1 表示,证：设B、C均是A的逆矩阵，则,B,所以A的逆矩阵唯一。,= BE,= B(AC),= (BA)C,= EC,= C,矩阵,称为 A 的伴随矩阵,定义2:,设 A = (aij)nn , Aij 是 |A | 中元素 aij 的代数余子式 ( i, j = 1, 2, , n );,二、矩阵可逆的条件,即：,定理2,方阵 A 存在逆矩阵,|A |,且,例3 求矩阵,的逆矩阵,解：,故 A 可逆，又,A115， A122，A212，A221,则,所以,比较：,(1) 在数的乘法中，若ab = 0 a = 0 或 b = 0,两个非零矩阵乘积可能为O。,(2) 在数的乘法中，若ac = ad，且a 0 c = d (消去律成立),在矩阵乘法中，若AC = AD，且A O C = D (消去律不成立),例4 设 A 是可逆阵，证明：,(1) 若 A X = A Y X = Y,(2) 若 A B = 0 B = 0,证：,A1 ( A X ) = A1 ( A Y ),( A1 A ) X = ( A1 A ) Y,EX = EY,X = Y,所以,(2),由 AB =0，有A1 (AB) = A1 0,所以 B =0,( A1 A ) B = 0,(1) 若A，B均为n阶方阵，且 A B = E (或 B A =E )，则 BA1,证：, |A| |B| = |E| = 1, |A| 0,A1存在，且A1 = A1E = A1(AB),= (A1A) B,= EB,= B,设 A B = E,同理可证 B A =E 的情形,三、逆矩阵的性质,(2) ( A1 )1 = A,(4) 若A，B 均为n阶可逆矩阵，则 (AB)1 = B1A1。,若A1，A2，Am均为n阶可逆矩阵，则 ( A1 A2 Am)1 = Am1 A21 A11,推广：,证明：,因为 (AB)(B1A1),= A E A1,= E,所以 (AB)1 = B1A1,= A ( B B1 ) A1,这是因为 | A1 | | A | = | E | = 1,四、初等行变换求逆矩阵 (方法二),1. 初等矩阵都是可逆矩阵，且其矩阵仍然是初等矩阵,定理3 若方阵A可逆，则存在有限个初等矩阵 P1, P2,Pm, 使 A = P1 P2 Pm,证：因为A可逆，则r(A) = n，标准形为En，,A = P1 P2 Pm,P1 P2 PsEPs+1 Pm = A,即,存在有限次初等变换使A化为En，,表示为：,A = P1 P2 Pm,E,A,E,A1,例4,设,求 A1.,解：,r1 + r2,r3 r2,故,对 A 也可通过初等列变换求 A1,A = P1 P2 Pm,注：,表示为：,E,A1,对于n元线性方程组,AX = B,五、逆矩阵的应用,1. 解线性方程组,例5：解方程组,x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1,2 x1 + 2 x2 + x3 = 1,3 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 3,解：方程组简记为,X = A1 B,由于 | A | = 2 0, A可逆，故,A X = B,其中