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第五章 傅里叶变换,1,5.1 傅里叶Fourier 级数 （一）周期函数的傅里叶展开 若函数 f(x)若满足 f(x+2l)f(x) 称为周期函数，2l 为周期.则可取三角函数族(都以2l为周期),作为基本函数族，将f(x)展开为傅里叶级数。,(5.1.3),2,三角函数族具有正交性,(5.1.4),3,因此 Fourier 展开系数 为：,a0:,an:,4,因此,此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周期函数。,其中,(5.1.5),5,函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致。,狄里希利定理(p70),若函数 f(x) 满足条件： (1) 处处连续，或在每个周期中只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期中只有有限个极值点，则级数 (5.1.3) 收敛，且,6,例 交流电压 E(t)=E0sint 半波整流后的傅立叶级数。,o,t,E(t),7,8,9,通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变化的性质，称作在时域中的表示的性质。而频谱表示这种性质在频域中的表示。,因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。,10,（二）奇函数及偶函数的傅里叶展开,11,（三）定义在有限区间(0，l )上的 函数f(x) 的傅里叶展开,f(x) 定义于 (0, l).,可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 这种做法叫延拓。,12,例（p72）5(1)：要求函数 f(x)= cosx 的值在它的定义区间(0, )的边界上为零，试根据这一要求将其展为傅里叶级数。 解：因为f(0)=f()=0，所以展开式中只有正弦项，而无余弦项，即 ak=0，所以,13,若要求f (0)= f (l)=0，应将函数对区间（0，l）的端点x=l作偶延拓，x=0作奇延拓，如图1，延拓后g(x)以4l为周期，将g(x)展开成正弦级数； 若要求f (0)= f (l)=0，如图2延拓（以4l为周期），将g(x)展开成余弦级数。,14,例(p73)7：在区间（0，l）上定义了函数 f(x)= x 。试根据条件f (0)= 0, f (l)=0 将 f(x) 展为傅里叶级数。,解：根据边界条件 f (l)=0 ，应将函数 f(x)对区间（0，l）的端点x= l 作奇延拓，又根据 f (0)= 0 ，将 f(x) 对端点x= 0 作偶延拓，延拓后的函数以4l为周期。故展开式为,15,所以,16,（四）复数形式的傅里叶级数,周期函数 f(x+2l)f(x) 也可取正交完备的复指数函数族,作为基本函数族，展成复数形式的傅里叶级数,对于实函数,其中,此处正交性是指,17,本节作业：第72页 第4题（3，5）； 第5题（2）； 第6题（2）； 第8题。,5.2 傅里叶积分与傅里叶变换,（一）实数形式的傅里叶变换,18,设 f(x)为定义在区间 -x+ 上的非周期函数，g(x)是由f(x)构造的周期函数，将 f(x) 看作周期函数 g(x) 于周期 2l时的极限情形，即,设g(x)是周期为2l 的函数，并满足狄里希利（Dirichlet）条件，由上节它可展成傅里叶级数,19,引入,则,（5.2.2）,（5.2.3）,将（5.2.3）代入上式，对各项分别取极限。,20,余弦部分,21,同理，正弦部分,傅立叶积分,傅立叶变换,(5.2.4),(5.2.5),22,傅立叶积分定理：若函数f(x)在区间( -,+ )上满足条件(1) f(x) 在任一有限区间上满足狄里希利条件，(2)f(x)在( -,+ )上绝对可积(即 收敛)，则 f(x)可表成傅立叶积分，且,(5.2.4)又 可改写为,23,偶函数,奇函数,24,例1 试将矩形脉冲 f(t)=h rect(t/2T) 展为傅里叶积分。,解 f(t)偶,定义矩形函数为,25,（二）复数形式的傅里叶积分,26,（5.2.14）,（5.2.15）,27,例3 求矩形脉冲 f(t)=h rect(t/2T) 的复数形式的傅里叶变换,28,（三）傅立叶变换的基本性质,（1）导数定理:,（2）积分定理:,记,因,故,29,（3）相似性定理:,(4)延迟定理:,30,(5)位移定理:,卷积：,31,交换积分次序,证：,在对x的积分中，令：y=x-,32,（四）多重傅立叶积分,x,y,z 相互独立，k1,k2,k3也相互独立,3 维:,n 维：,33,引入矢量表示,本节作业： 第82页 第3题；第4题。,34,5.3 函数 （一） 函数,物理学中经常使用质点、点电荷、瞬时力等抽象概念。只要这些点源的性质和作用弄清楚了，通过叠加原理，往往能得出一般的面分布或体分布的性质。,这些物理量，在无限小的范围内具有有限大小，即密度为无穷大，但是在整个空间，这个物理量的总量却为 有限。一般函数无法描写物理上的这些“点源”，所以引入 函数描述其密度。,35,考虑右图的一维线质量密度,全空间总质量,显然函数的积分为 m，并且与 l 无关,l0, 全空间总质量不变,密度,36,引入 ：,则前述质点的线质量密度可方便地用函数表示,37,引进 函数后， 位于xo处, 电量为q的点电荷的线电荷密度可表示为, 函数是广义函数，其确切意义应是在积分运算下来理解。 函数的量纲 (x)=1/x,q(x-x0),m(x-x0),作用于时刻 ，冲量为 K=f()d 的瞬时力为,K(t-),位于xo处,质量为m的质点的线质量密度为,38,（二） 函数的性质 1、从图形可以看出 是偶函数，导数是奇函数 (x)=(-x)，(x)=-(-x) 2、 研究积分 H(x)：阶跃函数 或亥维赛单位函数,39,3、对连续函数 f() (- ),证：,应用中值定理,40,4、连续物理量的 函数表示,例如，持续作用力 f(t), a t b,t= +d，力的冲量 K=f() d,前后相继的瞬时力的总和即是 持续作用力f(t),41,5、函数的 函数 若(x)=0 的实根 xk (k=1,2,3) 全为单根,证：,则,左边,右边等于cn,p84,42,5、函数的 函数 若(x)=0 的实根 xk (k=1,2,3) 全为单根,则,例,43,（三） 函数的Fourier 变换, 函数包含所有的频率成分,44,应在积分意义下理解以上三式。,（四） 函数是一种广义函数,（1）其它表示某种通常函数序列的极限,（5.3.10）,（5.3.11）,（5.3.12）,（2）极限,（5.3.10）,45,根据,（5.3.11）p85图,（5.3.12）,46,（3）积分验证,均符合 函数的定义。,47,（五）广义傅立叶变换例, 函数不满足傅里叶积分定理的条件，不存在傅里叶变换。 函数可看成某种通常函数序列的极限，而这些通常函数存在傅里叶变换。于是，将这些通常函数的傅里叶变换序列的极限说成是 函数的傅里叶变换，即为广义傅里叶变换。,例1,在数学上， 函数可以当作普