相似矩阵(课后微改).ppt

,几何与代数,主讲: 王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,讲座通知,12月15日(本周二)晚上6:30在教三205举办几何与代数讲座，欢迎参加 .,上机时间地点通知 12.19(本周六) 下午2:00到3:30 五楼一到四号机房 题目本周四上传至课程中心,答疑通知 从本周开始每周五上午一至四节课 地点：教八400，位于教八四楼西侧 楼梯口,第5章 特征值与特征向量,第1节 特征值与特征向量（回顾）,5.1 方阵的特征值和特征向量,特征值, 特征向量的概念,设A是n阶方阵, 若 A = 0 ( ), 则称0为A的特征值, 称为A的对应于0 的特征向量.,求方阵A的特征值和特征向量的一般步骤：,求解特征方程|EA|=0的根0,求解(0 EA)x = ( 或(A-0 E)x = )的非零解 (只需求出它的一个基础解系1 , 2 , , s),1 , 2 , , s 即为A对应于特征值0的特征向量,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,一个上(下)三角矩阵的特征值就是其主对角元素。 特别地，一个对角矩阵的特征值就是其主对角元素。,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,k是A的一个特征值 |kE-A|=0 kE-A不可逆,二. 特征值的性质,定理5.1.,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,推论 5.1 设矩阵A=(aij)nn 的特征值是1 , 2 , , n , 则,(2) 设0是方阵A的一个特征值, f 是一个 多项式, 则f(0)是方阵f(A)的一个特征值.,(3) 若A是一个方阵, f是多项式使 f(A) = O,(这时称f为A的一个化零多项式), 则 A 的任一特征值 0必满足f(0) = 0.,注: A的化零多项式的根未必都是A的特征值.,例如f(x) = x21,性质(1)设0是可逆矩阵A的一个特征值, 则 0 0，且0-1 是A-1的特征值.,第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,例 5 设A是3 阶方阵，E A , E+A , 2E-A不可逆. A* 是A的伴随矩阵. f(x)=x2 +x +3.试求 f(A*)的迹和行列式.,第一步 求出A*的特征值； 第二步 求出f(A*)的特征值. (与课本例5.5步骤稍有不同),第5章 特征值与特征向量,5.1特征值与特征向量,解：,第5章 特征值与特征向量,第2节 相似矩阵,5.2 相似矩阵,5.2 相似矩阵,一. 相似矩阵的定义和性质,设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使得 B=P 1AP , 则称矩阵A相似于B. 记为AB. P称为相似变换矩阵.,易见, 矩阵间的相似关系满足 反身性: AA; 对称性: AB BA; 传递性: AB, BC AC. 即矩阵间的相似关系是一种等价关系.,第5章 特征值与特征向量,1. AB A与B等价. 但反之未必.,注,2. AB, 并且 A可逆 A-1 B-1 .,3. AB, f是一个多项式 f(A) f(B).,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,命题: 设AB, f是一个多项式, 则f(A) f(B).,证明: 设P 1AP =B, f(x) = anxn+a1x+a0, 则,P 1f(A)P,= anP 1AnP+a1p 1AP+a0 P 1EP,= an(P 1AP)n+a1P 1AP+a0E,= P 1(anAn+a1A+a0E)P,= anBn+a1B+a0E,= f(B).,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,例1. 若先将n阶矩阵A的第i行第j行对换， 再将第i列第j列对换得到矩阵B，证明: A与B相似.,A,P(i, j) A,P(i, j) A P(i, j)=B,注意： P(i, j)-1 = P(i, j),5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,定理5.2. 设n阶方阵A与B相似, 则有相同的特 征多项式.(从而有相同的特征值,迹和行列式.),事实上, 设P 1AP = B, 则 |EA| = |P1|P|EA| = |P1|EA|P| = | P1 (EA) P | = |EB|.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,注: 特征多项式相同的矩阵未必相似.,例如,它们的特征多项式都是(1)2.,但是若有P 1AP = B, 则A = PBP 1 = E.,矛盾!,上述反例也告诉我们，已知两个矩阵的特征值相同，或迹相同，或行列式相同，并不能得到它们是相似的.,二. 方阵与对角矩阵相似的充要条件,定理5.3. n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A有n个线性无关的特征向量.,从定理5.3的证明中可看出，如果A相似于对角矩阵,那么任意调整的主对角元素，所得新的对角矩阵与A也是相似的.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,定理5.4. 假设1 , 2 , , s是n阶方阵A的属 于不同特征值 1 , 2, , s 的特征向量, 则 1 , 2 , , s 线性无关.,推论5.4. 若n阶方阵A有n个互不相同的特征值, 则A与对角矩阵相似.,注：推论5.4的逆命题不成立！,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,定理5.5. 假设值 1 , 2, , s是n阶方阵A的 互不相同的特征值, i1 , i2 , , i 是A相应 于特征值 i的线性无关的特征向量, 则向量组 11 , 12 , , 1 , 21 , 22 , , 2 , , s1 , s2 , , s 线性无关.,ti,ts,t2,t1,对应 1,对应 2,对应 s,注：对于特征值i ，其对应的线性无关特征向量的最大个数是ti . 称之为i的几何重数.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,定理5.6. n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A的每个k重特征值0有k个线性 无关的特征向量, 即 nr(A-0E) = k.,特征值0的重数k称为0的代数重数,定理5.6. n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A的每个特征值的代数重数等于 几何重数.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,三. 方阵的相似对角化,对于n阶方阵A, 求可逆矩阵P, 使P 1AP为 对角矩阵的这件事称为矩阵A的相似对角化.,步骤如下：,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,求|EA| = 0的根,A可以相似对角化,r(iEA) = ni的重数?,A不能相似对角化,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,例2. A =,1 0 0,2 4 3,分析： A是否相似于对角矩阵？如果相似于 对角矩阵，并求对角矩阵及相应的相似变 换矩阵.,4 -3 4,. 求A100 .,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,例3. A =,-1 2 3,0 2 2,问： x, y 取何值时A与B相似？,0 x 1, B =,0 0 0,0 0 y,0 3 0,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,例4. 假设2是矩阵A =,1 x -3,1 y 5,-1 4 -3,的二重特征值,若A相似于相似于对角矩阵，求 x, y 及可逆矩阵P，使得P-1 AP是对角矩阵.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,例5. A =,3 2 0,0 1 0,的特征多项式为,0 0 1,特征值 = 3, i中有两个是虚数,所以A不与实对角矩阵相似.,5.2 相似矩阵,第5章 特征值与特征向量,(3EA)x = 的基础解系: p1 = 5, 3, 1T,(iEA)x = 的基础解系: p2 = 0, i,