线性代数第四章矩阵的特征值(2).ppt

4.2 相似矩阵,一、相似矩阵及其性质,二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件,三、关于约当形矩阵的概念,定义43(相似矩阵) 设A B为n阶矩阵 如果有n阶非奇异矩阵P存在 使得 P1APB 成立 则称矩阵A与B相似 记为AB,所以 AB,一、相似矩阵及其性质,一、相似矩阵及其性质,一、相似矩阵及其性质,定义43(相似矩阵) 设A B为n阶矩阵 如果有n阶非奇异矩阵P存在 使得 P1APB 成立 则称矩阵A与B相似 记为AB,定理44(相似矩阵的特征值) 如果n阶矩阵A B相似 则它们有相同的特征值,证,因为P1APB,|IB|,|P1(I)P P1AP|,|IP1AP|,|P1(IA)P|,|IA|,|P1|IA|P|,所以它们有相同的特征值,所以A与B有相同的特征多项式,一、相似矩阵及其性质,一、相似矩阵及其性质,定义43(相似矩阵) 设A B为n阶矩阵 如果有n阶非奇异矩阵P存在 使得 P1APB 成立 则称矩阵A与B相似 记为AB,定理44(相似矩阵的特征值) 如果n阶矩阵A B相似 则它们有相同的特征值,相似矩阵的其它性质 (1)相似矩阵有相同的秩 (2)相似矩阵的行列式相等,这是因为,|A|B|,|P1|A|P|B|,|P1AP|B|,P1APB,一、相似矩阵及其性质,一、相似矩阵及其性质,定义43(相似矩阵) 设A B为n阶矩阵 如果有n阶非奇异矩阵P存在 使得 P1APB 成立 则称矩阵A与B相似 记为AB,定理44(相似矩阵的特征值) 如果n阶矩阵A B相似 则它们有相同的特征值,相似矩阵的其它性质 (1)相似矩阵有相同的秩 (2)相似矩阵的行列式相等,(3)相似矩阵或都可逆或都不可逆 当它们可逆时 它们的逆矩阵也相似,相似的矩阵具有许多共同的性质 因此 对于n阶矩阵A 我们希望在与A相似的矩阵中寻求一个较简单的矩阵 在研究A的性质时 只需先研究这一较简单矩阵的同类性质 一般 我们考虑n阶矩阵是否与一个对角矩阵相似的问题,二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件,二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件,定理45 n阶矩阵A与n阶对角矩阵diag(1 2 n)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量,讨论 根据定理证明 怎样取可逆矩阵 P及对角矩阵L?,提示 设 x1 x2 xn为A的n个线性无关特征向量 它们所对应的特征值依次为l1 l2 ln 则取 P=(x1 x2 xn) L=diag(l1 l2 ln),二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件,定理45 n阶矩阵A与n阶对角矩阵diag(1 2 n)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量,二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件,定理45 n阶矩阵A与n阶对角矩阵diag(1 2 n)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量,所以A,二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件,定理45 n阶矩阵A与n阶对角矩阵diag(1 2 n)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量,推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值1 2 n 则A与对角矩阵diag(1 2 n)相似,注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件 而不是必要条件,二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件,定理45 n阶矩阵A与n阶对角矩阵diag(1 2 n)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量,推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值1 2 n 则A与对角矩阵diag(1 2 n)相似,定理46 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对每一个ni重特征值i 矩阵iIA的秩是nni,三、关于约当形矩阵的概念,定义44(约当形矩阵) 如果分块对角矩阵,的所有子块Ji是形如,的约当块 则称J为约当形矩阵,如下矩阵是约当块,如下矩阵是约当矩阵,定理47 任意一个n阶矩阵A 都存在n阶可逆矩阵T 使得T1ATJ 即