高考数学复习不等式推理与证明第36讲直接证明与间接证明优选学案.docx

第36讲直接证明与间接证明考纲要求考情分析命题趋势1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点.2017全国卷，92017北京卷，142016江苏卷，202016浙江卷，20直接证明与间接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数、三角函数为背景的证明问题.分值：710分1直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的！_推理论证_#，最后推导出所要证明的结论！_成立_#，这种证明方法叫做综合法框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)(2)分析法定义：从要证明的！_结论_#出发，逐步寻求使它成立的！_充分条件_#，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法框图表示：.2间接证明反证法：假设原命题！_不成立_#(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出！_矛盾_#，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾()(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()解析(1)正确(2)错误分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，不是充要条件(3)错误用反证法证明时，推出的矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾(4)正确2用分析法证明：欲使AB，只需CD，这里是的(B)A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由题意可知，应有，故是的必要条件3用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设(B)A三个内角都不大于60B三个内角都大于60C三个内角至多有一个大于60D三个内角至多有两个大于60解析“至少有一个不大于60”的反面是“都大于60”4在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为！_等边三角形_#.解析由题意2BAC，又ABC，B.又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC为等边三角形5下列条件：ab0；ab0；a0，b0；a0，b0且0，即a，b不为0且同号即可，故符合的条件有，共3个一分析法分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证【例1】 已知a0，求证：a2.证明 欲证a2，只需证2a，a0，故只需证22，即a244a2222，从而只需证2，只需证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立二综合法综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性【例2】 (1)设a，b，c，d均为正数，且abcd，若abcd，证明：；|ab|cd，得()2()2，所以.因为(ab)2(ab)24ab，(cd)2(cd)24cd，由题意可知abcd，abcd，所以(ab)24ab(cd)24cd，所以|ab|cd|.(2)a，b，c成等比数列，b2ac.又x，y分别为a与b，b与c的等差中项，2xab,2ybc，2.三反证法(1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证(2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的【例3】 等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解析(1)由已知得d2.故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20，pr，与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列1欲证a2b21a2b20，只需证明(D)A2ab1a2b20Ba2b210C1a2b20D(a21)(b21)0解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.故选D2若0a1a2,0b1b2，且a1a2b1b21，则下列代数式中值最大的是(A)Aa1b1a2b2Ba1a2b1b2Ca1b2a2b1D解析依题意有0a1，a21,0b1，b20，a1b1a2b2(a1b2a2b1)(b1b2)(a1a2)0，a1b1a2b2a1b1a2b2a1b1a2b2(a1b2a2b1) (b1b2)(a1a2)0，则a1b1a2b2的值最大故选A3设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明 (1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即1a2b2c22ab2bc2caabbcca2ab2bc2ca，所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.4已知a0，证明：关于x的方程axb有且只有一个根证明 由于a0，因此方程至少有一个根x.假设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1b，ax2b，由，得a(x1x2)0，因为x1x2，所以x1x20，所以a0，这与已知矛盾，故假设不成立所以当a0时，方程axb有且只有一个根易错点不熟悉反证法错因分析：有些结论，直接证明不易入手时，忽略使用反证法【例1】 设x，y，z都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数()A至少有一个不大于2B都小于2C至少有一个不小于2D都大于2解析若a，b，c都小于2，则abc6，而abcxyz6，显然与矛盾，所以C项正确答案C【跟踪训练1】 设a0，b0，且a2b2.证明：a2a2与b2b2不可能同时成立证明 假设a2a2与b2b2同时成立，则有a2ab2b0，b0，所以ab1.因为a2b22ab2(当且仅当ab1时等号成立)，ab22(当且仅当ab1时等号成立)，所以a2ab2b2ab24(当且仅当ab1时等号成立)，这与假设矛盾，故假设错误所以a2a2与b2bbc，且abc0，求证0Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)QBPQCPQD由a的取值确定解析不妨设PQ，欲证PQ，只需证P2Q2，只需证2a722a72，只需证a27aa27a12，只需证012，012成立，PQ成立4要使成立，则a，b应满足(D)AabbBab0且abCab0且a0且ab 或 ab0且ab0，且 ab1，若 0cqBp0，则三个数，(C)A都大于2B至少有一个大于2C至少有一个不小于2D至少有一个不大于2 解析因为x0，y0，z0，所以6，当且仅当xyz时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.故选C二、填空题7设a2，b2，则a，b的大小关系为！_ab_#.解析a2，b2两式的两边分别平方，可得a2114，b2114，显然.ab.8用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足abcd1，acbd1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是！_a，b，c，d全是负数_#.解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”9设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2 b22；ab1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是！_#(填序号)解析若a，b，则ab1，但a1，b1，故推不出；若ab1，则ab2，故推不出；若a2，b3，则a2b22，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1，故能推出三、解答题10若 abcd0 且 adbc, 求证：.证明 要证，只需证()2()2，即证ad2bc2，因为adbc，所以只需证，即证adbc，设adbct，则adbc(td)d(tc)c(cd)(cdt)0，故adbc成立，从而成立11如图，AB，CD均为圆O的直径，CE圆O所在的平面，BFCE，求证：(1)平面BCEF平面ACE；(2)直线DF平面ACE.证明 (1)因为CE圆O所在的平面，BC圆O所在的平面，所以CEBC.因为AB为圆O的直径，点C在圆O上，所以ACBC.因为ACCEC，AC，CE平面ACE，所以BC平面ACE.因为BC平面BCEF，所以平面BCEF平面ACE.(2)由(1)知ACBC，又因为CD为圆O的直径，所以BDBC.因为AC，BC，BD在同一平面内，所以ACBD.因为BD平面ACE，AC平面ACE，所以BD平面ACE.又BFCE，同理可证，BF平面ACE，因为BDBFB，BD，BF平面BDF，所以平面BDF平面ACE.因为DF平面BDF，所以DF平面ACE.12设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解析(1)分两种情况讨论当q1时，数列an是首项为a1的常数