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文档简介

Chapter 3(1),n维向量组及其线性相关性,教学要求：,1. 理解n维向量的概念;,2. 理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并 会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论;,3. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概 念，会求向量组的极大线性无关组和向量组的秩;,4. 了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵 秩的关系.,1. n维向量及其表示法,维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：,注意:,(1) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量;,(2) 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算;,(3) 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,2. 矩阵用行(列)向量组表示,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,1. 线性组合,考察方程组,看成向量有,定义1:,线性表示, 且 表示方式唯一.,Solution.,结论1.,任一向量可由同维的基本单位向量组线性表示, 其表出系数依次为该向量的各个分量.,结论2.,零向量可由任一向量组线性表示.,结论3.,向量组中任一向量可由该向量组线性表示.,结论4.,若 可由向量组 的部分向量线性表示, 则 可 由向量组 线性表示.,2. 线性相关与线性无关,定义2:,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,注意：,定理1.,证：,结论1.,一个向量线性相关.,结论2.,两个向量线性相关对应分量成比例.,结论3.,含有零向量的向量组线性相关.,结论4.,ex2. 证明n个n维基本单位向量是线性无关的.,Proof.,Proof.,另解,所以结论成立.,定义3.,向量组A与B等价具有反身性，对称性和传递性.,定理2.,证明从略.,结论1.,结论2.,等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.,结论3.,nk个n维向量必线性相关.,考察向量组,定义4.,结论1.,最大线性无关组不唯一.,结论2.,向量组与任一个最大线性无关组等价.,结论3.,向量组的任两个最大线性无关组等价.,结论4.,一个向量组中, 任意两个最大无关组所含向量 的个数相同.,定义5.,向量组T 中最大线性无关组所含向量的个数叫做 向量组T 的秩. 记为rank(T)或R(T).,如果向量组T 只含零向量, 规定rank(T).,注意：,(1) rank(T)是唯一的.,(2) 等价的向量组有相同的秩.,定理3.,证明从略.,结论.,求向量组的秩与最大无关组的方法:,将向量组的每一个向量写成列向量得一矩阵, 用初等 行变换求出其阶梯形矩阵, 矩阵的秩即为向量组的秩.,由观察法可得出阶梯形矩阵中的最大无关组,
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