2010薛定谔方程(第二章).ppt

第二章 薛定谔方程,一.自由粒子薛定谔方程的建立,自由粒子波函数,微分,得到方程,由,得自由粒子的薛定谔方程,推广到势场U(x,t)中的粒子，薛定谔方程为,二物理启示,定义能量算符,动量算符和坐标算符,三. 哈密顿量,粒子的总能量,若,称 为能量算符,用哈密顿量表示薛定谔方程,定态薛定谔方程,则薛定谔方程可分离变量。,一.定态薛定谔方程,三.能量算符的本征值问题,本征值取分立值时的本征值问题,E1，E2，.，En，.能量本征值谱,是能量取Ei时的本征态,本征函数系,n 量子数,二.定态,能量取确定值的状态,定态波函数,力学量算符的本征值问题,一. 力学量用算符表示,基本假定：力学量用算符表示。通过对相应经典力学量算符化得到,算符化规则：,例如：,二.本征函数的性质,构成“正交”、“ 归一”的“完备”函数系,正交,归一,完备,任一物理上合理的波函数(x),展开系数的意义,若(x)是归一化的波函数,则,为(x)中包含本征态的概率,势阱中的粒子和一维散射问题,一.一维无限深势阱中的粒子,1.粒子在这种外力场中的势函数,，,2.哈密顿量,3.定态薛定谔方程,令,得,阱内：,阱外：,4.分区求通解,A和B是待定常数,5.由波函数自然条件和边界条件定特解,，（B 0）,阱外：,阱内：,(1)能量本征值,得,能量取分立值（能级）能量量子化,当 时，量子化连续,最低能量(零点能) 波动性,(2)本征函数系,(3)本征函数系的正交性,可证,(4)概率密度,当 时，量子经典,(5)能级-能量的离散值，在公式：,能量值称为能量本征值，n为量子数,能量本征函数,全部波函数为：,能量本征波函数,能量本征值-每个本征波函数所描述的粒子的状态。,无限深方势阱中粒子的能量本征函数和概率 密度与坐标的关系（见图） 1 在各处概率密度与粒子的能量有关。 在经典理论中，粒子在阱内来回自由运动，在各处概率密度应该相等，与粒子的能量无关。 2 量子粒子的最小能量不等于零， 解释：由不确定关系，因为量子粒子在有限空间内运动，速度不为零，而经典粒子可能处于静止的能量为零的最低状态。,无限深方势阱中粒子的动量为： 粒子的德布罗 意波长为：,例题：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒子的状态为,多次测量其能量。问,每次可能测到的值和相应概率？,能量的平均值？,解：已知无限深势阱中粒子的,则,多次测量能量(可能测到的值),能量的平均值,概率各1/2,例题1：设原子的线度约为 ，原子核的线度约为 ，已知电子的质量为 ，质子的 质量为 估计原子中电子的能量和原子 核中质子的能量。 解：把电子看作是局限于原子大小的无限深势井中，按 能级公式有：,例如：,把质子看作是局限在原子核大小的无限深势井中，按 能级公式：,例题2：设一个电子处于宽 的无限深势井中， 当电子从第一激发态(n=2)跃迁回基态(n=1)时发射出一个 光子，求此光子波长。 解：由公式：,二.隧道效应（势垒贯穿）,半无限深方势阱的势能函数为：,U,U0,E,-a/2,a/2,O,x,在xa/2的区域,粒子的波函数. 在阱内部，粒子具有小于U0的能量E0 薛定谔方程 式中 此式的解 在xa/2的区域，薛定谔方程可写成,其中,解应为 其中C，D为常数。为了满足之一 时，波函数有限的条件，必须D=0。于是得 为了满足此波函数在x=a/2处连续 此外， 在x=a/2处也应连续（否则 将变为无限大）,因而又有：,（1）,（2）,（1）式和（2）式将给出：对于束缚在阱内的粒子（即EU0），其能量也是量子化的，不过其能量的本征值不能用上节 式表示。（因为解出其能量很复杂，略去）,和 式还给出在x=a/2处，0，波函数随x的增大而按指数规律减小。 粒子处于可能的基态和第1，2激发态（U0太小时，粒子不能被束缚在阱内）的波函数如图中的实线所示，虚线表示粒子的概率密度分布。,量子力学给出的结果与经典力学给出的不同： 1 处于束缚态的粒子的能量量子化了。 2 在Ea/2的区域，因为在这一区域粒子的动能Ek(Ek=E-U0)将为负值。 但是，量子力学理论给出，在其势能大于其总能量的区域内，粒子仍有一定的概率密度，即粒子可以进入这一区域。,3.粒子的动能可能为负值 -不确定关系。根据 式，粒子在EU0的区域概率密度为 , 可以看做粒子进入该区域的典型深度，在此处发现粒子的概率已降为1/e。这一距离可以认为是在此区域内发现粒子的位置不确定度，即 根据不确定关系，粒子在这段距离内的动量不确定度为,粒子进入的速度可认为是 于是粒子进入的时间不确定度为 由此，按能量-时间的不确定关系式，粒子能量的不确定度为 这时，粒子的总能量将为E+E，而其动能的不确定度为,粒子在到达的区域内，其动能的不确定度大于其名义上的负动能的值。因此，负动能被不确定关系“掩盖”了，它只是一种观察不到的“虚”动能。 由于粒子可以进入 的区域，如果这一高势能区域是有限的，即粒子在运动中为一势垒所阻，则粒子就有可能穿过势垒而到达势垒的另一侧。这一量子力学现象 叫做势垒穿透或 隧道效应。,*一维谐振子,一.势函数,m振子质量，固有频率，x位移,二.哈密顿量,三.定态薛定谔方程,1.能量本征值,能量量子化,能量间隔,最低能量