高考数学总复习 2_4 幂函数与二次函数课件 文 新人教a版

2.4 幂函数与二次函数,知识梳理,考点自测,1.幂函数 (1)幂函数的定义:形如 (R)的函数称为幂函数,其中x是 ,是 . (2)五种幂函数的图象,y=x,自变量,常数,知识梳理,考点自测,(3)五种幂函数的性质,R,R,R,0,+),x|xR,且x0,R,0,+),R,0,+),y|yR,且y0,增,x0,+)时,增, x(-,0)时,减,增,增,x(0,+)时,减, x(-,0)时,减,知识梳理,考点自测,2.二次函数 (1)二次函数的三种形式 一般式: ; 顶点式: ,其中 为顶点坐标; 零点式: ,其中 为二次函数的零点.,f(x)=ax2+bx+c(a0),f(x)=a(x-h)2+k(a0),(h,k),f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0),x1,x2,知识梳理,考点自测,(2)二次函数的图象和性质,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,1.幂函数y=x在第一象限的两个重要结论: (1)恒过点(1,1); (2)当x(0,1)时,越大,函数值越小;当x(1,+)时,越大,函数值越大.,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,2.(教材习题改编P39A组T1(1)已知函数y=x2+ax+6在 内是增函数,则a的取值范围为( ) A.a-5 B.a5 C.a-5 D.a5,C,3.如图是y=xa;y=xb;y=xc在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为( ) A.abc B.abc C.bca D.acb,D,解析:根据幂函数的性质,可知选D.,知识梳理,考点自测,A.bac B.abc C.bca D.cab,A,1或2,考点一,考点二,考点三,幂函数的图象和性质 例1(1)若幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( ),(2)已知幂函数 (nZ)的图象关于y轴对称,且在(0,+)内是减函数,则n的值为 ( ) A.-3 B.1 C.2 D.1或2,C,B,考点一,考点二,考点三,(2)因为f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1, 解得n=1或n=-3. 又幂函数f(x)在(0,+)内是减函数, 所以n2-3n0. 所以舍去n=-3,得n=1.当n=1时,n2-3n=-2,满足题意.故选B.,考点一,考点二,考点三,思考幂函数与指数函数有怎样的区别?幂函数有哪些重要的性质? 解题心得1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量. 2.幂函数的主要性质: (1)幂函数在(0,+)内都有定义,幂函数的图象都过定点(1,1). (2)当0时,幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0),且在(0,+)内单调递增. (3)当1时,曲线下凸;当01时,曲线上凸;当0时,曲线下凸.,考点一,考点二,考点三,acb,考点一,考点二,考点三,求二次函数的解析式 例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求f(x)的解析式.,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,思考求二次函数的解析式时如何选取恰当的表达形式? 解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,选择规律如下: (1)已知三个点的坐标,宜选用一般式. (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式. (3)已知图象与x轴的两个交点坐标,宜选用交点式.,考点一,考点二,考点三,对点训练2已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1,则f(x)的解析式为 .,f(x)=x2+2x,解析:因为f(x)有两个零点0和-2,所以可设f(x)=ax(x+2)(a0), 此时f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a. 因为f(x)有最小值-1,因此f(x)的解析式是f(x)=x(x+2)=x2+2x.,考点一,考点二,考点三,二次函数的图象与性质(多考向) 考向1 二次函数在闭区间上的最值问题 例3(1)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上有最大值2,则a的值为 ; (2)若函数y=x2-2x+3在区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为 .,-1或2,1,2,考点一,考点二,考点三,解析: (1)函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a. 当a1时,f(x)max=f(1)=a,则a=2. 综上可知,a=-1或a=2. (2)作出函数y=x2-2x+3的图象如图所示. 由图象可知,要使函数在区间0,m上取得最小值2,则10,m,从而m1. 当x=0时,y=3;当x=2时,y=3, 所以要使函数取得最大值为3,则m2.故所求m的取值范围为1,2.,思考如何求二次函数在含参数的闭区间上的最值?,考点一,考点二,考点三,考向2 与二次函数有关的存在性问题 例4已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是 .,考点一,考点二,考点三,思考如何理解本例中对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0)?,考点一,考点二,考点三,考向3 与二次函数有关的恒成立问题 例5(1)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立,则k的取值范围为 .,(-,1),考点一,考点二,考点三,解析:(1)作出二次函数f(x)的草图,对于任意xm,m+1,都有f(x)0,(2)由题意得x2+x+1k在区间-3,-1上恒成立. 设g(x)=x2+x+1,x-3,-1,则g(x)在-3,-1上递减. g(x)min=g(-1)=1. k1.故k的取值范围为(-,1).,思考由不等式恒成立求参数取值范围的解题思路是什么?,考点一,考点二,考点三,考向4 与二次函数有关的零点分布问题 例6已知方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,则实数k的取值范围是 .,思考已知与二次函数有关的零点分布,如何求参数的取值范围?,考点一,考点二,考点三,解题心得1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考虑对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.,考点一,考点二,考点三,3.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键: (1)一般有两种解题思路:一是分离参数,将问题归结为求函数的最值;二是不分离参数,通常结合函数图象寻求使不等式恒成立的条件. (2)两种思路都比较简便,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离. 4.已知与二次函数有关的零点分布求参数的取值范围,主要采取数形结合的方法,通过二次函数的图象的开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值等列出满足题意的不等式,解不等式得参数的取值范围.,考点一,考点二,考点三,对点训练3(1)若函数f(x)=x2-ax-a在0,2上的最大值为1,则实数a等于( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 (2)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在-1,1上的值恒小于零,则a的取值范围为 ; (3)已知f(x)=x2-2x+4,g(x)=ax(a0,且a0),若对任意的x11,2都存在x2-1,2,使得f(x1)g(x2)成立,则实数a的取值范围是 ; (4)若关于x的方程ax2+(a+1)x+a2-4=0的两根满足一个根大于1,另一个根小于1,则a的取值范围是 .,B,(-,-3)(0,1),考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,(4)设f(x)=ax2+(a+1)x+a2-4, 关于x的方程ax2+(a+1)x+a2-4=0的一个根大于1,一个根小于1, 则a0,f(1)0. 当a0时,由f(1)=a+(a+1)+a2-40,得a-3. 综上所述,实数a的取值范围是(-,-3)(0,1).,考点一,考点二,考点三,1.幂函数y=x(R)的图象的特征: 当0时,图象过原点和点(1,1),在第一象限内从左到右图象逐渐上升; 当0时,图象过点(1,1),但不过原点,在第一象限内从左到右图象逐渐下降. 2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表示形式. 3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x