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18.7 Stokes公式 环量与旋度 一、斯托克斯(stokes)公式,斯托克斯公式,是有向曲面 的 正向边界曲线,右手法则,证明,如图,思路,曲面积分,二重积分,曲线积分,1,2,1,根椐格林公式,平面有向曲线,2,空间有向曲线,同理可证,故有结论成立.,Stokes公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.,二、简单的应用,解1,按斯托克斯公式, 有,解2,又按斯托克斯公式, 有,解,则,即,应用Stokes公式：可将型空间曲线积分化为二种情况计算（）化为型曲面积分（P232例4.7.1) （）化为型曲面积分（P233例4.7.2) 应用步骤： （）选定（被 所围的部分）并由 的方向指明 的侧向 （）利用Stokes公式时，可将型空间曲线积分化为化为两种曲面积分，一般以计算较简便的为宜。,定理：设空间开区域G是单连通域，P、Q、R在G内具有一阶连续偏导数，则以下四个命题彼此等价 在G内与路径无关 2沿G内任意闭曲线L的线积分 3在G内恒成立下列条件,三 空间曲线积分与路径无关的条件,4被积表达式是某三元函数u的全微分，即,其中 , 通 常取折线路径求u用下列公式计算,这时原函数u可用下列公式求出,例3 证明下列曲线积分与路径无关,并求积分值,解,故曲线积分与路径无关.下面求原函数u(x,y,z),所以,三、物理意义-环流量与旋度,1. 环流量的定义:,利用stokes公式, 有,2. 旋度的定义:,斯托克斯公式的又一种形式,其中,斯托克斯公式的向量形式,其中,Stokes公式的物理解释:,例3 求下列向量场的旋度,解,解,解,由力学知道点 的线速度为,观察旋度,由此可看出旋度与旋转角速度的关系
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