MATLAB数值计算(4).ppt

第2章 MATLAB数值计算,2.1 变量 2.2 矩阵及数组的创建、保存和访问 2.3 矩阵和数组的运算 2.4 关系运算及逻辑运算 2.5 多项式的表达与计算 2.6 数值分析（补充）,2.1.1 变量的命名,在MATLAB中，变量均以矩阵的形式表示。 在MATLAB中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多65个字符。 在MATLAB中，变量名区分字母的大小写。 MATLAB提供的标准函数名以及命令名必须用小写字母。 全局变量最好用大写。 MATLAB 固定（特殊）变量（P3 表1-2）,2.1 变量,2.1.2 内存变量的管理,1. 内存变量的显示与删除 who和whos这两个命令用于显示在MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单。 clear命令用于删除MATLAB工作空间中的变量。 clear Var 或者clear all 注意，预定义变量不能被删除。 2. 工作空间浏览器(Workspace) (1) 工作空间浏览器的启动 (2) 工作空间浏览器的操作,2.2.1 矩阵（数组）的创建,A. 直接输入法 将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔或直接回车。例如 A=1 2 3;4 5 6;7 8 9 利用“：”表示元素序列非常方便： B=1:0.5:5;,B. 利用M文件建立矩阵 对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。 例2.1 利用M文件建立MYMAT矩阵。 (1)启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑器，并输入待建矩阵. (2)把输入的内容以纯文本方式存盘(设文件名为mymatrix.m)。 (3)运行该M文件，就会自动建立一个名为MYMAT的矩阵，可供以后使用,C. 利用MATLAB函数建立矩阵 几个产生特殊矩阵的函数：zeros、ones、 eye、rand、randn、magic、vander、linspace、logspace。 这几个函数的调用格式相似，下面以产生零矩阵的zeros函数为例进行说明。其调用格式是： zeros(m) 产生mm零矩阵 zeros(m,n) 产生mn零矩阵。 zeros(size(A) 产生与矩阵A同样大小的零矩阵 相关函数：size(A)给出A的行数和列数；length(A)给出行数和列数中的较大者，即length(A)=max(size(A)；ndims(A)给出A的维数。,D. 建立大矩阵 大矩阵可由方括号中的小矩阵拼接后建立起来。例如 A=1 2 3;4 5 6;7 8 9; C=A,eye(size(A); ones(size(A),A 注意：拼接时行数与列数是否合适！,E. 从外部的数据文件中装入 可以用“load”命令加载外部数据文件创建矩阵， 例如： 1 2 3 4 3 4 1 2 用户将该文本另存为A.mat， 然后在命令窗口中输入如下命令： load A.mat,2.2.2 矩阵中元素的访问及修改,A(m,n):访问矩阵A的第m行第n列元素； A(:,n):访问矩阵A的第n列元素； A(m,：):访问矩阵A的第m行元素； A(m,n1:n2):访问矩阵A的第m行第n1列至n2列元素； A(m1:m2,n): A(m1:m2,n1:n2):,C语言中是如何访问数组的？,矩阵元素的删除和矩阵的变形,利用空矩阵 代替矩阵中要删除的元素、某行、某列或者整个矩阵。 Reshape（A,m,n,k）,对数组变形,2.3 矩阵运算,2.3.1 算术运算符 2.3.2 矩阵运算 特殊矩阵 矩阵变换 矩阵的逆与秩 矩阵的范数 矩阵的特征值和特征相量,2.3.1 算术运算符,1. 基本算术运算 MATLAB的基本算术运算有：(加)、(减)、*(乘)、/(右除)、(左除)、(乘方)。 注意:(1)运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。(2) (乘方):在矩阵为方阵时方可使用！ 2. 点运算 点运算符有.* 、./ 、 .和 .。 两矩阵（数组）进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵（数组）的维参数相同。,主要操作指令： 矩阵结构变换指令 P32 表24； 矩阵计算指令：；inv；rank；norm；eig；diag； 常用矩阵函数见P46 表26,2.3.2 矩阵运算,A 矩阵的逆 方阵A的逆:调用函数inv(A) 例 用求逆矩阵的方法解线性方程组。,命令如下： A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; b=5,-2,6; x=inv(A)*b 一般情况下，用左除比求矩阵的逆的方法更有效，即x=Ab。,B. 矩阵的秩 求矩阵秩的函数是rank(A) 例 求矩阵D的秩： D=2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2; r=rank(D) D是一个满秩矩阵。,C. 向量3种常用范数的函数 (1)norm(V)或norm(V,2) 计算向量V的2范数 (2)norm(V,1) 计算向量V的1范数 (3)norm(V,inf) 计算向量V的范数 例 已知V，求V的3种范数。 命令如下： V=-1,1/2,1; v1=norm(V,1) %求V的1范数 v2=norm(V) %求V的2范数 vinf=norm(V,inf) %求范数,D 矩阵A的特征值和特征向量 常用的调用格式有3种： (1)E=eig(A) 求矩阵A的全部特征值，构成向量E。 (2)V,D=eig(A) 求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。 (3)V,D=eig(A,nobalance) 直接求矩阵A的特征值和特征向量。,例 用3种不同的格式求A的特征值和特征向量。 命令如下： A=1,2,2;1,-1,1;4,-12,1; E=eig(A) V,D=eig(A) V,D=eig(A,nobalance),E 矩阵的对角元素 diag 提取矩阵的对角线元素 设A为mn矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。 diag(A)函数还有更进一步的形式diag(A,k)，其功能是提取第k条对角线的元素。 构造对角矩阵 设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个mm对角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素,E 矩阵的对角元素 diag,例：先建立55矩阵A，然后将A的第1行元素乘以1，第2行乘以2，第5行乘以5。 命令如下： A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19 D=diag(1,2,3,4,5) D*A,Matlab中的所有 标点符号必须在 英文状态下输入,MATLAB一个表达式中可能包含多种运算符。 MATLAB的运算符主要有三类 算术运算符 关系运算符 逻辑运算符 各类运算符都有与之相对应的函数。 各类运算符具有不同的优先级。,2.4 MATLAB操作运算符,1 算术运算符,算术运算符说明,MATLAB由于基于数组/矩阵计算的，因此它的算术运算符比其他程序设计语言多。 MATLAB所有算术运算符是基于复数的 对于标量来说，算术运算符和点算术运算符是一致的。 矩阵算术运算的定义见第二章相关内容。 B/A，矩阵右除法粗略相当于B*inv(A),X*A=B方程的解。 AB，矩阵左除法粗略相当于inv(A)* B,A*X=B方程的解,MATLAB关系运算,比较大小，如果结论是 真 则返回 1 ，否则返回 0,注意 = 与 = 的区别,关系操作符能用来比较两个同样大小的数组，或用来比较一个数组和一个标量，在后一种情况，标量和数组中的每一个元素相比较，比较结果与数组大小一样。,MATLAB逻辑操作,标量可以同任意维数的数组逻辑运算，维数相同的数组间可以逻辑运算,同或的实现：not（xor（A，B）,all(x) 如果向量 X 中所有元素都非零，则返回 1，否则返回 0,若 x 为矩阵，则 any 和 all 按列运算，返回一个 0-1 向量,相关函数,any(x) 如果向量 X 中存在非零元素，则返回 1，否则返回 0,一些测试函数,更多相关函数见helpmatlabFunctions - Categorical ListProgramming and Data TypesOperators and Operations,高,低,赋值语句优先级最低,2.5.1 多项式的建立 a. 用多项式的全部系数建立多项式,使用向量; b. 用多项式的全部根X求取多项式的系数：poly(X)， 该函数返回以X为全部根的一个多项式f，当X是一个长 度为m的向量时，f是一个长度为m+1的向量。,2.5 多项式及其运算,注意：用向量表示多项式时，向量值由高到低依次填充、不能缺项。,如果X是矩阵呢？,2.5.2 多项式的运算,A 多项式求根 求多项式p(x)的根的函数是roots(P)，这里，P是f(x)的系数向量，该函数返回方程f(x)=0的全部根(含重根，复根)。,B 多项式求值 求多项式f(x)在某点或某些点的函数值的函数是polyval(f,x)。 若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。,例 已知一个多项式， (1)计算f(x)=0 的全部根。 (2)由方程f(x)=0根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。 (3)计算f(5)、f(7.8)、f(9.6)、f(12.3)的值。 命令如下： P=3,0,4,-5,-7.2,5; %输入多项式系数；缺项补0; X=roots(P) %求方程f(x)=0的根 G=poly(X) %求多项式g(x) X0=5,7.8,9.6,12.3; f=polyval(P,X0) %求多项式f(x)在给定点的值,C 多项式的四则运算,由于多项式是利用向量来表示，多项式的四则运算可以转化为向量的运算。 多项式的加减为对应项系数的加减，因此可以通过向量的加减来实现。但是在向量的加减中两个向量需要有相同的长度，因此在进行多项式加减时，需要将短的向量前面补0。 多项式的乘法实际上是多项式系数向量之间的卷积，用Conv函数。 多项式的除法为乘法的拟运算，可以通过反卷积函数deconv来实现。,命令如下： P1=3,0,4,-5,-6,7; P2=0,0,3,-2,-3,0; %输入多项式系数；缺项补0;补短; f1+f2=P1+P2 %多项式求和 f1+f2=P1+P2 %多项式求差 f1*f2=conv(P1,P2) %多项式乘 f1/f2=deconv(P1,P2) %多项式f1(x)除以f2(x),例 已知两个多项式，,试求：,D 多项式的导函数 对多项式求导数的函数是： p=polyder(P) 求多项式P的导函数 p=polyder(P,Q) 求P*Q的导函数,补充：2.6 数据统计与分析,1 求矩阵最大和最小元素 求向量的最大最小元素 y=max(X) 返回向量X的最大元素存入y。 y,I=max(X) 返回向量X的最大元素存入y，最大元素的序号存入I。 求矩阵的最大和最小元素 max(A) 返回一个行向量，向量的第i个元素是A矩阵的第i列上的最大元素。 Y,U=max(A) 返回两个行向量，Y向量记录A的每列的最大元素，U向量记录每列最大元素的行号。,两个向量或矩阵对应元素的比较 U=max(A,B) A,B是两个同型的向量或矩阵。结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。 U=max(A,n) n是一个标量。结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。 min函数的用法和max完全相同。,例 求矩阵A的每行及每列的最大和最小元素，并求整个矩阵的最大和最小元。 程序如下 A=13,-56,78;25,63,-235;78,25,563;1,0,-1; max(A,2) %求每行最大元素 min(A,2) %求每行最小元素 max(A) %求每列最大元素 min(A) %求每列最小元素 max(max(A) %求整个矩阵的最大元素 min(min(A) %求整个矩阵的最小元素,2 求矩阵的平均值和中值 求矩阵或向量元素的平均值的函数是 mean，求中值的函数是 median。 mean（X）返回向量 X 的算术平均值。 mean（A）返回一个行向量，其第 i个元素是矩阵 A 的第 i列的算术平均值。 mean（A，dim） 当 dim 为 1 时，该函数等同于 mean（A），当 dim 为 2 时，返回一个列向量，其第 i个元素是矩阵 A 的第 i行的算术平均值。 median（X）返回向量 X 的中值。 median（A）返回一个行向量，其第 i个元素是矩阵 A 的第 i列的中值。 median（A，dim）当 dim 为 1 时，该函数等同于 median（A），当 dim 为 2 时，返回一个列向量，其第 i个元素是矩阵 A 的第 i行的中值。,中间值就是将数组按大小顺序排列，取中间的那个数作为中值，如果数组有偶数个，那么就取中间那两个数的平均值,3 矩阵元素求和与求积 矩阵