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第二章 几何光学 3.根据反射定律推导球面反射镜的物像距公式。 解：入射角 i，反射角 i，入射光线 QM，反射光线 MQ，球面半径 CM 由图知，ui=， , ui+= 在傍轴条件下， r h ， s h u ， , , s h u 反射定律 , ii = , uu r h s h s h r h = , 物像距公式 rss 211 , =+ 令和，联立待入物像距公式得到 = = fs s, = = s fs , 2 , r ff= 15.某透镜用 n=1.5 玻璃制成，在空气中焦距为 10 厘米，求在水中焦距。 （水折射率 4/3） 解：薄透镜的焦距公式 ) 11 )(1( 1 210 rrn n f L =，为透镜折射率，为周围介质折射率 L n 0 n 1 1 = water L L air water n n n f f cmfwater40= 17.用曲率半径为 20cm 球面玻璃和一平面玻璃粘合成空气透镜，浸于水中，壁厚忽略，求透 镜焦距，发散还是会聚？ f 解：薄透镜焦距公式 ) 11 )(1( 1 210 rrn n f L =，1= L n，3/4 0 =n，cmr20 1 =， = 2 r cmf80=，此为发散。 25.一光学系统由一焦距为 5cm 的会聚透镜 L1 和一焦距为 10cm 的发散透镜 L2 组成， L2 在 L1 之右 5cm， 在 L1 之左 10cm 处放一小物， 求经此光学系统后所成像的位置和横向放大率。 用作图法验证。 解： 这是个二次成像问题， 设 L1 的物距和像距分别是和， L2 的物距和像距分别是和 ，QL2 在 L1 的右方， 1 s , 1 s 2 s , 1 s ，d是 L2 在 L1 右方的距离。 )( , 12 dss= 把数据带入高斯公式， = + =+ 10 1 )( 11 5 1 10 11 , 1 , 2 , 1 dss s ， cms10 , 1 =cms10 , 2 =cms5 2 = 此光学系统成像在 L1 之右 10cm 处。 横向放大率分别为1 10 10 1 , 1 1 = s s V，2 5 10 2 , 2 2 = = s s V， 总放大率 2 21 =VVV 27.用作图法求本题各图中的 Q 像。 （a） （b） （c） （d） 35.（1）用作图法求图中光线 1 共轭线 （2）在图上标出光具组节点 N，N位置 36.已知 1-1是一对共轭光线，求光线 2 的共轭线。 第三章 干涉 1.在杨氏双孔实验中，孔距为 0.1mm，孔与屏幕的距离为 3m，对下列三条典型谱线求出干 涉条纹间距。 F 蓝线（486.1nm） D 黄线（589.3nm） C 红线（656.3nm） 解： d D x =，代入得 mmxF 6 . 14=，mmxD7 .17=，mmxC 7 . 19= 5.设菲涅尔双镜的夹角为 20 分，缝光源离双镜交线 1cm，接受屏幕与光源经双镜所成的两 个虚像联线平行，幕与双镜交线的距离为 210cm，光波长 600nm。 （1）求干涉条纹间距 （2）在幕上能看到几根干涉条纹？ （3）如果光源到两镜交线的距离增大一倍，干涉条纹变化如何？ （4）如果光源与两镜交线距离保持不变，而在横向有所移动，干涉条纹的变化又是怎样？ （5）如果要在幕上出现一定衬比度的干涉条纹，允许缝光源的最大宽度是多少？ 解： （1） d D x=，aBd2=CBD+= mm aB CB x13 . 1 2 + = （2）因幕上两光束的最大交叠区宽度为aCl2 22 = x l N （3）QB远小于C BB2时， DCBDCBD+=+=2 , daBdaBd242 , = 2 , x xx ， NN2 , 条纹密集一倍 （4）若点光源横向移动s，则虚像、分别随之在半径 B 的圆弧上移动、，且 ，从而保持两虚像间距 d 不变，因此条纹间距保持不变；但是，双像中垂线 与屏幕交点（零级）随之移动，即以 M 为中心转了角 , 1 S , 2 S , 1 s , 2 s sss= , 2 , 1 Bs/，反映在屏幕上零级位移 为s B C Cx=，即幕上条纹总体发生一个平移。 （5）设扩展光源 b，即其边缘两点间隔bs =，若这两套条纹错开的距离（零级平移量） xx=，则幕上衬比度降为零，据此有， b B C x=， aB CB x 2 + = 令xx=， 得到光源的极限宽度mmab05. 02/ 1 6.一点光源置于薄透镜的焦点，薄透镜后放一个双棱镜，设双棱镜的顶角为，折射率 为 1.5，屏幕与棱镜相距 5m，光波长 500nm，求幕上条纹间距，幕上能出现几根条纹？ 30 3 解：点光源置于薄透镜的焦点时，经透镜成为一束平行光正入射于棱镜，经双棱镜偏转，成 为两束平行光对称斜入射于屏幕，利用折射定律，作小角近似，斜入射平行光的倾角为 an) 1( =，为棱镜顶角 a sin2 =xQmm an x49 . 0 ) 1(2 105001. 02 = x l Nmmllrad 9.本题所示一种利用干涉现象测定气体折射率的结构,在孔后面放置一长度为 的透明容 器,当待测气体注入容器而将空气排出的过程中幕上的干涉条纹会移动,有移过条纹的根数即 可推知气体折射率。 1 Sl （1）设待测气体折射率大于空气，干涉条纹如何移动。 （2）设，条纹移过 20 根，光波长 589.3nm，空气折射率为 1.000276，求气体折射 率。 cml2= S S1 S2 l O P 解： （1）光程差变小，所以原来光程差小的点向 P 点移动，零级位置向 上移动，整体条纹向上移动。 )()( 12 PSLPSL （2）NlnnlPSLPSL= 012 )()( 0008653 . 1 0 += l N nn 11.用钠光灯做杨氏双缝干涉实验，光源宽度被限制为 2mm，双缝屏离光源 2.5m，为了在幕 上获得可见干涉条纹，双缝间距不能大于多少？ 解：根据光场空间相干性反比关系 1 b 在光源宽度 b 一定情况下，干涉孔径角（即双缝对光源所张的角间隔）必须满足 b 设入射光振幅为，经界面 A 一次反射光振幅为 0 A 01 ArA A =，经界面 B 反射回来的透射光 振幅为， 02 AtA A = , tr AB 在正入射情况下，%3 .42 2 2 = + = nn nn rA，%16 1 1 = + = nn nn rB %1 .82)1 ( 2 , = AAA rtt， 两束光相位差为，所以反射光强为 2 0 2 21 %5 . 8)(AAAI=%5 . 8 0 = I I R （4），所以同样可以增透 35. 2=n % 3 . 18 A r，% 3 . 40 B r， %7 .901 2 = A r %3 . 4= R 24.在迈克尔孙干涉仪中，反射镜移动 0.33mm，测得条纹变动 192 次，求光波长。 解： 2 Nh =m mm N h 438. 3 192 33. 022 = = = 第四章 衍射 2.在菲涅尔圆孔衍射实验中，光源离圆孔 1.5m，波长 630nm，接收屏与圆孔距离 6m，圆孔 半径从 0.5mm 开始逐渐扩大，求： （1）最先的两次出现中心亮斑时圆孔的半径； （2）最先的两次出现中心暗斑时圆孔的半径。 解：由菲涅尔圆孔衍射半波带半径公式 1 = + = bR Rbk k ， 2 , 1=k bR Rb + = 1 2 k Rb bR k + =， R 是光源到圆孔距离，b 是观察点到圆孔距离 由上式知， k k 刚开始时，mm k 5 . 0=， 33. 0=k 所以 k=1 和 3 时出现两次亮斑，k=2 和 4 时出现两次暗斑 mmkk k 87. 0 1 = （1）mm87. 0 1 =，mm5 . 1 3 = （2）mm2 . 1 2 =，mm7 . 1 4 = 4.求圆孔中露出 1.5 个半波带时衍射场中心强度与自由传播时强度之比。 解： 做振动矢量圆，由图知场点振幅)(2)( 000 PAPA=， )(2)( 000 PIPI=，光强为自由传播时的 2 倍。 6.若一个菲涅尔波带片只将前 5 个偶数半波带挡住，其余地方都开放，求衍射场中心强度与 自由传播时之比。 解：由图可知，此时场点振幅 01 11 97531 , 115 . 5 2 AA A AAAAAA=+= 0 , 121II =，即为自由传播时的 121 倍。 8.菲涅尔波带片第一个半波带的半径mm5 1 = （1）用波长 1060nm 的单色平行光照明，求主焦距； （2）若要求主焦距为 25cm，需将此波带缩小多少？ 解： （1）菲涅尔波带片主焦距公式 mff6 .23/ 2 1 = （2） cmf25 , = 10 , 1 1 2 , 1 2 1 , = f f f f ，缩小到原来的 1/10 11.如图，平行光以 0 角斜入射在宽度为的单缝上，试证明： a （1）夫琅禾费衍射的强度公式基本不变 2 0 )/(sin II=， )sin(sin 0 = a （2）零级中心位置在几何光学像点处； （3）零级斑半角宽度 0 cos/a=； （4）如果考虑到单缝两侧并非同一介质，情况如何？ 证明： （1）斜入射时，光孔面上各点次波源相位不同，要考虑光程差 A、B 两点到达场点的相位差为)sin(sin 22 0 =al， 其他和正入射情况相同， 2 0 )/(sin II=)sin(sin 0 = a （2）零级出现在0=的地方，此时 0 = （3）令=，得到零级两侧第一暗点的衍射角 1 满足 a = 01 sinsin 设零级半角宽度为，则 a =+ 00 sin)sin(， 用微分运算近似可得， 0 cos a （4） 前场折射率为 n1， 后场为 n2， 则衍射强度分布函数形式不变， 仍为， 2 0 )/(sin II= 式中应为)sinsin( 012 0 nn a = 令0=，则也满足折射定律，为零级方位角 01 , 02 sinsinnn= , 0 零级半角宽度由下式确定： ann/sin)sin( 001 , 02 =+ 代入折射定律，即 ann/sin)sin( 0 , 02 , 02 =+ 做微分近似， 0 22 1 2 2 , 02sin cos nna an = 15.一对双星的角间隔为 0.05”，问： （1）需要多大口径的望远镜才能分辨它们？ （2）此望远镜角放大率应设计为多少才比较合理？ 解： （1）望远镜的最小分辨角公式 D m /22. 1= 取nm550=， rad m 7 104 . 2“05. 0 = mD8 . 2= （2）人眼分辨最小角度 rad e 4 109 . 2“ 1 1210 = m e M 17.一台显微镜， 已知其数值孔径 N.A.=1.32， 物镜焦距mmf91. 1=， 目镜焦距， 求： mmfe50= （1）最小分辨距离 （2）有效放大率 （3）光学筒长 解： （1）最小分辨距离公式，/61. 0ANym= 取nm550=，则mym25. 0 （2） mradcmSy ee 5 .72)109 . 2(25 4 0 = 290= me yyM （3）mmM S ffe 111 0 0 = 23.导出斜入射时多缝夫琅禾费衍射强度公式： 2,2, 0 )sin/(sin)/(sin NII= 式中，)sin(sin 0 , = a ，)sin(sin 0 , = d ， 0 为入射光线与光轴夹角 解： 单缝上下边缘 A、B 两点光程差)sin(sin 0 =al 相位差)sin(sin 22 0 , =al 由矢量图可得场点合振幅为 , , 0 , , , sin sin 2 2sin2 = BA R ) )sin(sin2/ 0 , = a 多缝夫琅禾费衍射为 N 个 相干叠加，相邻缝间对应眼射线之间的光程为 )sin(sin 0 =dl 相位差)sin(sin 2 0 , =d 如上图所示，总振幅为 , , , , 0 sin sin sin 2/ 2sin2 N NRA=， )sin(sin 2 0 , , = d 因此，强度分布公式为 2,2, 0 2 0 )sin/(sin)/(sin NIAI= 30.绿光 500nm 正入射在光栅常数为，宽度为 3cm 光栅上，聚光镜的焦