函数的单调性与最值(理课件).ppt

按Esc键退出,返回目录,2.2 函数的单调性与最值,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,(1)单调函数的定义.,知识梳理,1.函数的单调性,按Esc键退出,返回目录,(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是 或 ,则称y=f (x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.,答案：(1)f(x1)f(x2) 逐渐上升的 逐渐下降的 (2)增函数 减函数,按Esc键退出,返回目录,2.函数的最值,答案：f(x)M f(x0)=M f(x)M f(x0)=M,按Esc键退出,返回目录,基础自测,1.下列函数中,在(0,3)上是增函数的是( ).,A.f(x)= B.f(x)=-x+3,C.f(x)= D.f(x)=x2-6x+4,答案：C,按Esc键退出,返回目录,2.下列函数f(x)中满足“对任意x1,x2(0,+),当x1f(x2)”的是( ).,A.f(x)=ex B.f(x)=,C.f(x)=(x-2)2 D.f(x)=ln(x+3),答案：B,3.若函数f(x)=x2-2x+m在3,+)上的最小值为1,则实数m的值为( ).,A.-3 B.-2,C.-1 D.1,答案：B,按Esc键退出,返回目录,4.已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f f(1)的实数x的取值范围 是 .,5.函数f(x)= +2在3,4上的最大值为 ,最小值为 .,答案：(-1,0)(0,1),答案：,按Esc键退出,返回目录,1.已知函数y=f(x)定义域为I,若函数在区间a,b(a,bI)上单调递增 (递减),能否说函数在定义域I上单调递增(递减)?,提示:函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子区间上 的单调性,是局部的特征.在某个区间上单调,在整个定义域上不一定 单调.,2.函数y= 的单调递减区间为(-,0)(0,+),这种表示法对吗?,提示:首先函数的单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式的 形式表示;一个函数如果有多个单调区间应分别写,分开表示,不能用 并集符号“”联结,也不能用“或”联结.,思维拓展,按Esc键退出,返回目录,3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征?,提示:函数的单调性反映在图象上是上升或下降的,而最大(小)值反映 在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值.,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,一、函数单调性的判断,【例1-1】 下列四个函数中,在(0,+)上为增函数的是( ).,A.y=,B.y=-log2x,C.y=x2-2x,D.y=,解析:画出各函数图象,由图象可知,选D.,答案：D,按Esc键退出,返回目录,【例1-2】 讨论函数f(x)= (m0)的单调性.,解:函数定义域为x|x2,不妨设x1,x2(-,2)且x1x2,f(x2)-f(x1)= - =,= .,m0,x1,x2(-,2),且x1x2,按Esc键退出,返回目录,x1-x20., 0,即f(x2)f(x1),故函数f(x)在区间(-,2)上是增函数;,同理可得函数f(x)在区间(2,+)上也是增函数.,综上,函数f(x)在(-,2),(2,+)上均为增函数.,按Esc键退出,返回目录,方法提炼1.判断或证明函数的单调性,最基本的 方法是利用定义或利用导数.,利用定义的步骤是:设元取值作差(商)变形确定符号(与1比较大 小)得出结论;,利用导数的步骤是:求导函数判断导函数在区间上的符号得出 结论.,2.两个增(减)函数的和函数仍是增(减)函数,但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定,同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定.,按Esc键退出,返回目录,3.对于复合函数y=fg(x),如果内、外层函数单调性相同,那么y=fg(x)为增函数,如果内、外层函数单调性相反,那么y=fg(x)为减函数,即“同增异减”.,请做针对训练5,按Esc键退出,返回目录,二、求函数的单调区间,【例2-1】 定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x20,+)(x1x2),有 0,则( ).,A.f(3)f(-2)f(1) B.f(1)f(-2)f(3),C.f(-2)f(1)f(3) D.f(3)f(1)f(-2),解析:由题意得,在0,+)上 210,得f(3)f(-2)f(1),故选A.,答案： A,按Esc键退出,返回目录,【例2-2】 求函数y=lo (x2-4x+3)的单调区间.,按Esc键退出,返回目录,又u=x2-4x+3的对称轴x=2,且开口向上,u=x2-4x+3在(-,1)上是单调减函数,在(3,+)上是单调增函数.而 函数y=lo u在(0,+)上是单调减函数,y=lo (x2-4x+3)的单调减区间为(3,+),单调增区间为(-,1).,解:令u=x2-4x+3,原函数可以看作y=lo u与u=x2-4x+3的 复合函数.,令u=x2-4x+30,则x3.,函数y=lo (x2-4x+3)的定义域为(-,1)(3,+).,按Esc键退出,返回目录,方法提炼1.求函数的单调区间与确定单调性的方法:,(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数, 求单调区间.,(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义.,(3)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.,(4)图象法:如果函数是以图象形式给出的,或者函数的图象易作出,可 由图象的直观性写出它的单调区间.,按Esc键退出,返回目录,2.求复合函数y=fg(x)的单调区间的步骤:,(1)确定函数定义域;,(2)将复合函数分解成两个基本初等函数;,(3)分别确定两基本初等函数的单调性;,(4)按“同增异减”的原则,确定原函数的单调区间.,请做针对训练1,按Esc键退出,返回目录,三、求函数的最值,【例3-1】 函数y=x+2 在区间0,4上的最大值M与最小值N的和为,.,解析:函数y=x+2 在其定义域上是增函数,所以x=0时有最小值N=0,x=4时有最大值M=8,M+N=8.,答案：8,按Esc键退出,返回目录,【例3-2】 已知定义在区间(0,+)上的函数f(x)满足f =f(x1)-f(x2), 且当x1时,f(x)0.,(1)求f(1)的值,并判断f(x)的单调性;,(2)若f(4)=2,求f(x)在5,16上的最大值.,按Esc键退出,返回目录,解:(1)令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.,任取x1,x2(0,+),且x1x2,则 1,由于当x1时,f(x)0,所以f 0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+)上是单调递增函数.,按Esc键退出,返回目录,(2)f(x)在(0,+)上是单调递增函数,f(x)在5,16上的最大值为f(16).,由f( )=f(x1)-f(x2),得f( )=f(16)-f(4),而f(4)=2,所以f(16)=4.,f(x)在5,16上的最大值为4.,按Esc键退出,返回目录,方法提炼1.求函数值域与最值的常用方法:,(1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.,(2)图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高、最低点, 求出最值.,(3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法 求解.,(4)换元法:对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应 的方法求值域或最值.,(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的,条件后,再用基本不等式求出最值.,按Esc键退出,返回目录,(6)导数法:先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出 值域或最值.,2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目 所给性质和相应条件,对任意x1,x2在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大 小,或 与1的大小(f(x)0).有时根据需要,需作适当的变形:如x1=x2 或x1=x2+x1-x2等.,请做针对训练2,按Esc键退出,返回目录,四、函数的单调性与不等式,【例4】 (2011四川宜宾一诊)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y) =f(x)+f(y)+1,当x0时,f(x)-1.,(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数;,(2)若f(1)=1,解关于x的不等式:f(x2+2x)+f(1-x)4.,按Esc键退出,返回目录,(2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5.,由f(x2+2x)+f(1-x)4得f(x2+x+1)f(3),又函数f(x)在R上是增函数,故x2+x +13,解之,得x1,故解集为x|x1.,解:(1)令x=y=0得f(0)=-1.,在R上任取x1x2,则x1-x20,f(x1-x2)-1,又f(x1)=f(x1-x2)+x2=f(x1-x2)+f(x2)+1f(x2),所以,函数f(x)在R上是增函数.,按Esc键退出,返回目录,方法提炼1.函数的单调性是与不等式有直接的联系,对 函数单调性的考查常常与解不等式、求函数值域、图象等相结合.,2.解有关抽象函数不等式问题的步