高中数学导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版.pptx

主题1 平均变化率 1.写出气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的关系式.然后将球半径r表示为球体积V的函数.,提示：体积V与半径r之间的关系式为V(r)= .将 半径r表示为体积V的函数为r(V)= .,2.当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了多少？此时气球的平均膨胀率是多少？当空气容量V从1 L 增加到2 L呢？,提示：当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了 r(1)- r(0)0.62(dm). 气球的平均膨胀率为 0.62(dm/L). 当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了 r(2)-r(1)0.16(dm). 气球的平均膨胀率为 0.16(dm/L).,3.若运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则运动员在0t0.5这段时间里的平均速度是多少？运动员在1t2这段时间里的平均速度是多少？,提示：在0t0.5这段时间里的平均速度是 =4.05(m/s). 在1t2这段时间里的平均速度是 -8.2(m/s).,结论：平均变化率概念 我们把式子_ 称为函数y=f(x)从_到_ 的平均变化率.,主题2 导数的概念 1.物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？,提示：不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与 起跳时间t的函数关系h(t)4.9t26.5t10，易 知 h(0)， 0，而运动 员依然是运动状态.,2如何精确描述物体在某一时刻的运动状态？,提示：可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的 运动状态.如求t2时的瞬时速度，可考察在t2附近 的一个间隔t，当t趋近于0时，看平均速度 的变 化趋势，用式子 表示，这就是物体 在t2时的瞬时速度.,3导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 提示：函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.,结论:函数在某点处的导数 函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 _ ,我们称它为函数 yf(x)在xx0处的导数，记作_ 或 _ ，即f(x0) _,f(x0),【微思考】 1.观察函数y=f(x)的图象,平均变化率 的几何意义是什么?平均变化率绝对值的大小与曲线的 陡峭程度是否存在关系？,提示：平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢，它表示割线的斜率. 函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间x1,x2上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.,2.如何理解导数定义中的x，y， ? 提示：x表示自变量的增量,其值可正可负不能为 零，y表示函数值的增量,其值可正可负可为零, 表示平均变化率,其极限存在,则函数yf(x)在某一 点处可导，否则不可导.,【预习自测】 1当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A在x0，x1上的平均变化率 B在x0处的变化率 C在x1处的变化率 D以上都不对,【解析】选A.由平均变化率的定义知当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在x0，x1上的平均变化率.,2.质点运动规律s=t2+3,则在时间3,3+t中,相应的平均速度等于( ) A.6+t B.6+t+ C.3+t D.9+t,【解析】选A. =6+t.,3.设函数f(x)在x0处可导，则 ( ) Af(x0) Bf(x0) Cf(x0) Df(x0),【解析】选C. - ,4.已知函数f(x)=A(A为常数)，则f(2)=_. 【解析】因为y=f(2+x)- f(2)=A-A=0, 所以 =0，f(2)= =0. 答案：0,5.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,则第二年婴儿体重的月平均变化率是_.,【解析】由题图可知,第二年婴儿体重的月平均变化率为 = =0.25(千克/月). 答案：0.25千克/月,6.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),求质点M在t=2时的瞬时速度,并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较.,【解析】(1)瞬时速度 = = (8+2t)=8 cm/s. (2)因为s=2t2+3=s0+v0t+ , 所以v0=0 cm/s,因为 a=2,所以a=4 cm/s2, 所以瞬时速度v=4t=42=8 cm/s. 结论：用两种方法求得的结果相同.,类型一 求平均变化率 【典例1】试求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化 率. 【解题指南】先计算yf(-1x)f(-1),再利用 = 求解.,【解析】 = =,【延伸探究】1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及邻近一点B(-1+x,-2+y)，则 =_ .,【解析】 = = =3-x. 答案：3-x,2.设函数f(x)在x0附近有定义，且有f(x0+x)-f(x0)=ax+b(x)2(a,bR)，则函数f(x)在x0附近的平均变化率为_.,【解析】由 =a+bx.可得f(x)在x0附近的平均变化率为a+bx. 答案：a+bx,【方法总结】 (1)计算函数值的改变量y=f(x2)-f(x1). (2)计算自变量的改变量x=x2-x1. (3)得平均变化率 .,【补偿训练】求函数y=f(x)=3x2+2在区间x0,x0 +x上的平均变化率，并求当x0=2,x=0.1时平均变化率的值.,【解析】函数y=f(x)=3x2+2在区间x0,x0+x上的 平均变化率为 = = = 6x0+3x. 当x0=2，x=0.1时,函数y=3x2+2在区间2,2.1上的平均变化率为 62+30.1=12.3.,类型二 求瞬时变化率 【典例2】(2017沈阳高二检测)若一物体的运动满足 函数 , 0t3, , t3 , (路程单位：m，时间单 位：s).,求:(1)物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均速度. (2)物体在t=1 s时的瞬时速度.,【解题指南】(1)先求增量，再求平均速度.(2)先求增量，再求平均速度，再求极限，进而得出瞬时速度.,【解析】(1)s=s(5)-s(3)=352+2-(332+2)=48. = =24(m/s). (2)因为s29+3(1+t-3)2-29+3(1-3)2 =3(t)2-12t,所以 = =3t-12， 所以= = -12. 即物体在t=1 s时的瞬时速度为-12 m/s.,【方法总结】 (1)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系： 平均变化率 ，当x趋于0 时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率.,(2)共同点：它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快. (3)逼近法求瞬时变化率：求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.,【巩固训练】一质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位：m,时间单位:s)，若该质点在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.,【解析】因为s=s(2+t)-s(2) =a(2+t)2+1-a22-1 =4at+a(t)2, 所以 =4a+at, 故在t=2 s时，瞬时速度为,s(2)= =4a(m/s). 由题意知,4a=8,所以a=2.,【补偿训练】一物体的运动方程为s=7t2+8,则其在t =_时的瞬时速度为1. 【解析】 = =7t+14t0, 当 =1时,t0= . 答案:,类型三 求函数在某点处的导数 【典例3】根据导数的定义求下列函数的导数. (1)求函数y=x2+3在x=1处的导数. (2)求函数y= 在x=a(a0)处的导数.,【解题指南】(1)利用导数定义 进行变形. (2)本题是根据定义求函数的导数，因此可先求 ，再求其极限值，即可得出导数值.,【解析】(1)y=f(1+x)-f(1)=(1+x)2+3- (12+3)=2x+(x)2, 所以 = =2+x. 所以y|x=1= =2.,(2)y=f(a+x)-f(a) = = = - . 所以 =- = - . 所以y|x=a= = - .,【方法总结】用导数定义求函数在某一点处的导数的 三个步骤 (1)作差yf(x0x)f(x0). (2)作比 . (3)取极限f(x0) . 简记为一差、二比、三极限,【巩固训练】已知函数y=f(x)=ax2+c且f(1)=2,求 a的值. 【解析】 f(1)= =,= = = =2a=2. 所以a=1.,【补偿训练】求函数y=3x2在x=1处的导数. 【解题指南】先求y=f(1+x)-f(1)=6x+3(x)2， 再求 =6+3x,再求 =6.,【解析】y=f(1+x)-f(1)=6x+3(x)2. = =6