恒定平面势流(20121107).ppt

重庆交通大学水利水电工程专业基础课程,第14章 恒定平面势流,Steady two-dimensional potential flow,重庆交通大学港口航道与海岸工程专业基础课程,第14章 恒定平面势流,本章重点：,2.流网法解平面势流.,1.恒定平面势流流函数与势函数的性质及关系;,重庆交通大学港口航道与海岸工程专业基础课程,流速势函数存在，因此称为势流。,平面势流理论的应用领域：孔口、管嘴、闸孔出流、 底孔进口、波浪、渗流及高坝溢流。,对势流流动：,而根据连续方程：,第14章 恒定平面势流,平面势流的求解问题就是求解势函数；势函数确 定后，即可求出各流速分量和流速场；再利用能量方 程即可求解压强场。,于是，问题实质是求解拉普拉斯方程。此处介绍流网法。,第14章 恒定平面势流,14.1.1 流函数及其性质,在x-y平面上的流线方程为：,第14章 恒定平面势流,14.1 恒定平面势流的流速势及流函数,恒定平面势流流函数与势函数的性质及关系,而：,由此可知，流函数存在的充分必要条件为：,由上式有：,第14章 恒定平面势流,14.1 恒定平面势流的流速势及流函数,该式即平面流的连续性方程：,可知，流函数存在的充分必要条件是不可压缩液体的连 续性方程。不可压缩液体作平面连续流动就有流函数存在。,流函数的性质：,同一流线上各点的流函数为常数，或流函数相等的点连成 的曲线即是流线。,两流线间所通过的单宽流量等于该两流线的流函数值之差。,平面势流的流函数是一个调和函数。,第14章 恒定平面势流,14.1 恒定平面势流的流速势及流函数,证明第一个性质：流函数相等的点连成的曲线即是流线。,即：,反之，也易证明！,第14章 恒定平面势流,14.1 恒定平面势流的流速势及流函数,证明第二个性质：两流线间通过的单宽流量等于 该两流线流函数值之差。,第14章 恒定平面势流,14.1 恒定平面势流的流速势及流函数,通过ds段的微小流量为：,通过曲线ab的流量为：,结论：任何两条流线之间通过的单宽流量等于该两条流线的流函数值之差。,第14章 恒定平面势流,14.1 恒定平面势流的流速势及流函数,证明第三个性质：平面势流的流函数是一个调和函数。,当平面流为势流时：,即：,而：,第14章 恒定平面势流,14.1 恒定平面势流的流速势及流函数,14.1.2 流速势及等势线,对平面势流：,而：,故：,对等势线：,不同的常数代表不同的等势线。,第14章 恒定平面势流,14.1 恒定平面势流的流速势及流函数,【例14.1】 图示为一平行于x 轴的均匀等势流，其流速 为均匀分布，各点为U。 (1)证明该平面流为势流； (2)求流线方程； (3)求等势线方程；,第14章 恒定平面势流,14.1 恒定平面势流的流速势及流函数,第14章 恒定平面势流,14.1 恒定平面势流的流速势及流函数,(3)由于,积分得：,在同一等势线上,故：,上式即为等势线方程。,第14章 恒定平面势流,14.1 恒定平面势流的流速势及流函数,14.1.3 流函数与流速势的关系,1、流函数与流速势为共轭函数,由前面知识有：,第14章 恒定平面势流,14.1 恒定平面势流的流速势及流函数,2、等流函数线与等流速势线正交，即流线与等势线正交。,等流函数线即是流线，其方程为：,流线上任一点的斜率为：,等势线的方程为：,同一点上等势线的斜率为：,第14章 恒定平面势流,14.1 恒定平面势流的流速势及流函数,14.2.1 流网原理,不同的C值代表不同的流线；不同的D值代表不同的等势线。,平面势流的流网,第14章 恒定平面势流,14.2 流网法解平面势流,流网法解平面势流,需要解决的两个问题：,流网中流函数与势函数的增值方向如何确定？,应按照什么原则绘制流网？,第14章 恒定平面势流,14.2 流网法解平面势流,A点流速u的方向为该点流线的切线方向，亦即该点等势线法线方向。,若以流速u的方向作为n的增值 方向，将n的增值方向逆时针旋转90度作为m的增值方向，有：,故：,因此，流速势的增值方向与n的增值方向一致。,第14章 恒定平面势流,14.2 流网法解平面势流,(1)流函数及势函数的增值方向,同理：,因此，流函数的增值方向与m的增值方向一致。,儒可夫斯基法则：在平面势流的流速场中，流速势的增 值方向与流速u的增值方向一致；将流速u方向逆时针旋转 90 所得的方向即为流函数的增值方向。,第14章 恒定平面势流,14.2 流网法解平面势流,(2)绘制流网时流线及等势线选择的原则,在实用上，取差分形式进行绘制，即：,第14章 恒定平面势流,14.2 流网法解平面势流,即每个网眼为正交网格。,若边界轮廓已知，使每一网眼接近正交曲线网格，用手 试描几次即可绘出流网，此即是近似法绘制流网的原理。,第14章 恒定平面势流,14.2 流网法解平面势流,14.2.2 流网绘制,1、有压平面势流流网的绘制,图示有压平面势流，边界轮廓已知。可根据每个网眼 接近正交曲线方格的原则，试描几次即可绘出流网。,第14章 恒定平面势流,14.2 流网法解平面势流,第14章 恒定平面势流,14.2 流网法解平面势流,(2)沿边界质点的流速方向必与边界相切，上下边界都是 流线，所有等势线应与边界相正交。,(3)折点C处为驻点，网格并非方格。,(4)先绘C点两侧的等势线，然后再分别向上下游描绘其 它等势线。,(1)一般先绘流线，后绘势线。,图示流线有5根，流线间间隔 为4个，若流量为q，则有：,因此，各流线流函数的值为：,而a可取任意值；显然令a0最为简单。,第14章 恒定平面势流,14.2 流网法解平面势流,同理可得到其流速势的数值。,设第一根等势线为：,流网绘出后，即可得到任一点的流速。如：,第14章 恒定平面势流,14.2 流网法解平面势流,2、有自由表面的平面势流流网的绘制,第14章 恒定平面势流,14.2 流网法解平面势流,有自由表面的平面势流流网的绘制关键在于自 由表面边界的确定。对二元矩形薄壁堰流，则自由 表面上任意一点的能量方程为：,令 则Hu为自由表面线上任意点 自总水头线降落的铅垂距离。,而有,第14章 恒定平面势流,14.2 流网法解平面势流,式中 可由流网中量得，因此先试描 自由表面的边界，并绘出其流网，在流网中量出 ， 即可求得 的数值，然后检验自由表面上各点至 总水头线的铅垂距离的平方根与 的乘积是否等于 ，若不相等则