离散时间系统的时域分析.ppt

第7章 离散时间系统的时域分析,注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。,学习方法,第7章 离散时间系统的时域分析,7.3 常系数线性差分方程的求解,7.1 离散时间信号,7.2 离散时间系统的数学模型,7.4 零输入响应与零状态响应,7.5 卷积,离散时间系统的优点 精度高 可靠性好 功能灵活 时分复用 保密性好 便于大规模集成,离散时间系统：激励与响应都是离散时间信号的系统。,连续时间系统与离散时间系统分析方法比较,频响特性,连续时间系统与离散时间系统分析方法比较：,微分方程,差分方程,数学模型,系统函数,时域分析,变换域分析,频响特性,7. 1离散时间信号序列,7.1.1离散时间信号的表示方法,离散时间信号：时间变量是离散的，只在某些不连续的规定瞬 时给出函数值，在其他时间没有定义。,波形图 数学表达式 各种变换域表示,ZT、DTFT、DFT,2. 有序序列表示,3. 解析式表示,（1）单位样值信号,7.1.2 典型离散信号（序列）,（2）单位阶跃序列,- 差分关系,- 求和关系,（3）矩形序列,（4）斜变序列,（5）单边指数序列,当 时序列是发散的， 时是收敛的 a0序列都取正值 a0序列在正、负间摆动,思考：a-nun的波形？,（6）正弦序列,式中， 是正弦序列包络的频率。,说明：1）周期性条件,若 为整数，周期为,若 不是有理数，不具周期性,2）与连续系统正弦 关系：,，0为正弦序列频率，单位是弧度；0为连续正弦频率，单位是弧度/秒。,（7）复指数序列,1.对自变量进行的运算： 移位、反褶与尺度,序列移位：,序列反褶：,7.1.3 序列的运算,序列尺度倍乘：,压缩时，要按规律去除某些点； 扩展时，要补足相应的零值。 又称为序列的“重排”。,序列相加（减）：两序列同序号的数值逐项对应相加（减）。,序列相乘：两序列同序号的数值逐项对应相乘。,2.对因变量进行的运算,序列的差分：相邻两样值相减。,一阶前向差分：,一阶后向差分：,序列的累加：,例1：,任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。即：,任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。,7.2 离散时间系统的数学模型,7.2.1 线性时不变离散时间系统,时不变性,7.2.2离散时间系统的数学模型, N 阶线性常系数后向差分方程,（1）差分方程, 2 阶线性常系数前向差分方程,差分方程的阶数：响应 的最大序号与最小序号之差。,(b) 加法器,离散时间系统的基本运算单元：单位延时、相加、倍乘。,(a) 单位延时器,(c) 数乘器,（2）仿真框图,例：,例：,常系数一阶后向 差分方程,围绕加法器建立差分方程：,后向差分方程:未知序列的序号自n以递减的方式给出。 差分方程阶数：未知序列的变量序号的最高与最低之差。,7.2.3差分方程的建立,即,解：,用迭代法求解此差分方程,例1：如果在每 个月初向银行存款x(n)元，月息为a，每月利息不取出，试用差分方程写出第 n 个月初的本利和y(n)。设xn=1000元， ，y(0)=0，求y(12)=?,解：,例2： 列写求第 个结点电压 的差分方程。,差分方程的解法, 迭代法：, 时域经典法：, 零输入响应+零状态响应：,概念清楚，但只能给出数值解，不容易给出通式。,7.3 常系数线性差分方程的时域求解,一.经典解法,（1）求齐次解,例： yn-ayn-1=0, 且已知y0。,则 y1=ay0 y1=ay0 y2=a2y0yn=any0 yn=any0un,解：yn=ayn-1,（）一阶齐次差分方程,特征方程,特征根,特征方程为：,上式中方程的根 称为特征根。,（2）N 阶齐次差分方程,齐次解为：,总结：,特征方程,特征根,二重根,（a）特征根为单根，则,例1：yn+yn-2=0, y1=1, y2=1, 试求解方程。,代入初值 y1=1, y2=1 解得：,其中：,例7-7：求差分方程yn+6yn-1 +12yn-2+8yn-3=xn 的齐次解。,() 求特解,步骤： 1、根据自由项形式确定特解函数 2、将特解代入左端求出待定系数,解：,齐次解形式,(3) 完全解=齐次解+特解,特解由自由项的形式决定。,特征根为单根时：,特征根为K重根时：,例7-9：求某线性时不变系统：yn+2yn-1=xn-xn-1的完全响应, 其中 xn=n2, y-1=-1。,(2) yn+2yn-1=2n-1 因此特解为D1n+D2,(3) 代入初值y-1=-1,例：如果在第n个月初向银行存款xn元，月息为a，每月利息不取出，试用差分方程写出第n个月初的本利和yn。设xn=10元，a=0.003, y0=0, 求y12=?,齐次解为：,特征根为：,设特解为D，将D代入原方程：,全解为：,根据初始条件y0=0求得：,解：根据题意可得：,7.4 零输入响应与零状态响应,7.4.1 零输入响应与零状态响应,当激励xn=0时，由系统的起始状态y-1, y-2,. y-N所产生的响应。它是齐次解的形式，即它是自由响应的一部分。,当起始状态y-1=y-2= .=y-N =0时，由系统的激励xn所产生的响应。它是自由响应的另外部分+强迫响应。,起始状态或者条件：对于N阶离散时间系统而言称y-1、y-2 . y-N为系统的起始状态。,解:（1）系统的特征根为0.9，因此齐次解为：c(0.9)n,由y-1=0可求出c= -0.45,所以， yn=-0.45(0.9)n+0.5 n0,设特解为D,所以yn=c(0.9)n+0.5,（2） 先求零状态响应，此即为（1）的结果,再求零输入响应，此时方程右侧为0，只有齐次解。令,由y-1=1可求出,所以，,完全响应,所以， yzsn=-0.45(0.9)n+0.5 n0,7.4.2 单位样值响应hn,hn的求法： 1.迭代法 2. 等效法-将输入转化为初始条件,hn ：当激励为n时系统的零状态响应；换句话说：系统当起始状态为零时，由n作用于系统时 的响应。,一. 系统的样值响应及其求解,解：由题意可得： h-1=0 , x-1=-1=0,yn 0.5 yn-1 = xn,hn 0.5hn-1 = n,- 齐次解的形式,h(0)=0.5h(-1)+ (0)=1,h(1)=0.5h(0)+ (1)=0.5,h(2)=0.5h(1)+ (2)=(0.5)2,h(n)=0.5h(n-1)+(2)=(0.5)n,例7-12：已知yn-0.5yn-1=xn, 试求其单位样值响应 hn。,1. 迭代法,2. 等效法-将输入n转化为初始条件,yn 0.5 yn-1 = xn,由 h-1=0 通过上述差分方程可迭代出h0=1,将 h0=1作为边界条件,特征根为,由h0=1可求出 C = 1,利用线性时不变特性，,解：,这样，,求齐次解，写出特征方程,齐次解为,由 迭代出,将 作为边界条件，可求出,（1）先求,（2）系统的单位样值响应,阶跃响应与样值响应关系 ： n=un-un-1,由系统的线性是不变性可得： hn=gn-gn-1即系统的样值响应与阶跃响应之间存在差分关系： 样值响应等于阶跃响应的差分,系统的稳定性：如果系统输入是有界的，输出也有界的系统。 如果系统是稳定系统充分必要条件：,二. 系 统的因果性及稳定性,系统的因果性：系统的响应yn只与此时及此时以前的激励有关。,如果系统是因果系统充分必要条件： 当n0时，hn=0。,例：是判断下列系统的稳定性及因果性。,2. yn=3en-3,3. yn=3en+3,7.5 卷积,7.5.1 卷积和定义,7.5.2 推导求零状态响应的离散卷积公式,设,则,1、交换律、结合律和分配律,1）交换律,7.5.3 卷积的性质,2）结合律,3）分配律,2、移位性质,3、其它性质,解法1：对位相乘求和法,即：,将序列样值以各自n的最 高值按右端对齐,7.5.4 卷积的计算,解法二：矩阵法,例(补充)：某系统hn=