矩阵的特征值总2.ppt

,1. 特征值与特征向量的基本概念,2. 特征值和特征向量的求法,复习,3. 相关结论：,2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍 是属于这个特征值的特征向量,1.阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能属于不同的特征值,4. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的,5. n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.,6.设n阶方阵A的n个特征值为,7.矩阵A可逆的充要条件是: 矩阵A的任一特征值不为零,相似矩阵及其性质 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件 关于约当形矩阵的概念,第二节 相似矩阵与矩阵对角化,一、相似矩阵的概念,定义4.3,（1）自反性： AA,（其中 k 是正整数）,（5）若AB ，,（2）对称性： 若AB，则BA,（3）传递性： 若AB，BC，则AC,是关于A 的多项式,二、相似矩阵的性质,若n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A与 B 有,相同的特征多项式，从而有相同的特征值.,证明: 因 A 与 B 相似,所以有可逆矩阵P,使,故,定理4.5,推论,若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵,相似,是A 的n 个特征值。,又特征值就是特征方程的根,从而有相同的特征值.,1）相似矩阵有相同的秩.,2）相似矩阵的行列式相等.,3）相似矩阵或都可逆，或都不可逆; 当它们可逆时，它们的逆也相似.,相似矩阵还具有以下性质:,问题：,1）是否所有的n阶矩阵能与对角矩阵相似？ 如不，相似需要何条件？,2)如n阶矩阵A能与对角矩阵相似，则相似的 变换矩阵P如何得到？,3)与n阶矩阵A相似的对角矩阵是怎样的矩阵？,4）对某些n阶矩阵不能与对角矩阵相似，则 能否有新的且较简单的矩阵与它相似？,三、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件,定理4.6,证明：如果A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵,把 P 用其列向量表示为,也即,因为 可逆，所以 故 都是 非零向量，且 线性无关,反之, 如果 n 阶方阵 A 有n 个线性无关的特征向量， 满足,那么令,则 P 可逆，且,如果n 阶矩阵A 的n 个特征根互不相同,则A 与对角矩阵相似.,推论,从上述定理的证明过程可知：,判断P169-171例1-例3中矩阵A是否与对角矩阵相似,并写出对角矩阵及相似变换矩阵,例3说明：A有n个相异特征值是A可以对角化的充分非必要条件.,定理4.7,例2 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解(1),得,因为 A 有三个不同的特征值，所以由推论知 A 可对角化。,解之得基础解系,故 不能化为对角矩阵.,解(2),解(3),解之得 基础解系,求得基础解系,例3 设,判断A是否可以对角化，,若可以对角化，,为对角阵，并求,求出可逆阵P，,解 （1）求特征值,求特征向量,将,代入,得,解得特征向量,再将,代入,得,解得特征向量,线性无关，故A可对角化,(2) 令,则有,可得,易求,例4：,问A能否对角化？若能对角,解,练习,解之得基础解系,所以 可对角化.,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,注意,四、关于约当（Jordan)形矩阵的概念,定义4.4,定理4.8,1.相似矩阵及其性质,小结,(其中 k 是正整数),(3)若AB ,(1)传递性:若AB，BC,则AC,是关于A 的多项式,(4)相似矩阵有相同的特征多项式和相同的特征值.,(5) 相似矩阵有相同的秩.,(6)相似矩阵的行列式相等.,(7)相似矩阵或都可逆,或都不可逆; 当它们可逆时,它们的逆也相似.,2. n阶矩阵与对角矩阵相似的条件,(2) 如果n 阶矩阵A 的n