《复变函数与积分变换》第三版课后习题及答案

1.1计算下列各式.

(1)(1+i)-(3-2i)；

解(1+i)-(3-2i)-(1+i)-3+2i=-2+3i.

(2)(a-bi)3i

解(a—bi)?—a3—3a2bi+3a(bi)2-(bi)3

=a3-3ab2+i(b3—3a2b).

⑶(i-l)(i-2);

i________________i____________i__

(i-O(i-2)=j2—2i—i+2二1一3i

=i(l+3i)_-3i

10—1010,

(4)ZJ(r=x+\y1);

2十I

姬zr1_x+i_y-1_(z_1+i_y)(_r+1~~iy)

Z+1+IJ+1(jr+l)2+y2

=工2+犷2-1+21y

(Z+1)2+)2

1.2证明下列关于共桅复薮的运算性质：

(1)(Z1±Z2)=Z1±Z2i

证(Z1土z2)-(X1+iyi)±(工2+i、2)

=(Xi±12)+i(》i±3»2)=(以±x2)-i(yi±y2)

=工1一"1土Z2千=©土乏2・

(2)Zi'Z2=Zl'Z2；

证Z1♦Z2=(X1+必)(工2+i>2)

=(工1工2--)+i(工1JV2+yi-^2)

=以*2-yiy2-i(Nl、2+”叫)，

至1•亳2=(工1+»1)(工2+02)=(21-41)(12-七2)

=7工2-也4-3%-yiyz-

即左边=右边，得证.

⑶自）=,（4=。）.

(£11="1+汕)_((孙+31)(牝一i》2)

\z2f\x2+iyzf\+yl

(叫-iji)(-^2+i？2)_(11-+赍)

2+

2（送+贤）（x2一电）

二以一=£1

工2-iV2五2'

2z[-z2=i,

13解方程组

(1+i)zj+\zz=4-31.

解所给方程组可写为

J2q+2i>i-J:2-iyz="

1(1+i)(^i+Ei)+i(x2+i/2)=4-3i.

即

121[-JC2+i(2?i-y2)=i,

〔工1~yi~yz+i(a'i+22+力)=4-3i.

利用复数相等的概念可知

2X£一22=0，

<2力-火=1,

比1一-»2=4，

,工1+22+=-3-

解得

17636

液=一5，*=一百，布=一5，6=一亍

故

36.617.

町=-5-51,z2="J-Ji-

1.4将直线方程az十切+c=0(〃+庐片0)写成复数形式.

[提示：记1+iy=z.]

解由z=工/，y=徐建代入直线方程，得

发(2+2)+21(z-Z)+C=0,

azaz-bi(z-z)+2c=0,

(a-ib)z+(a+ib)z+2c=0,

故Az+4-B—0,其中A=ci+ii?.£3—2c.

1.5将圆周方程++4=0(a=/=0)写成复

数形式(即用N与N表示，其中之=/卜I、).

解把才=三；，,y=N.',R2+,2=N・h代入圆周方程，

得

az・至十等(2+元)十克(之一左)+d=0,

2az•芝十(b-ic)z十(b+ic)w+2d=0,

故

Az♦W+BN+Bz+C=0.

其中A=2a,B—b-bic9C=2d.

16求下列复数的模与辐角主值.

(1)/3+i；

解|内+i|=V(5/3)24-I2=V4=2,

arg(V3+i)=arctan=乎.

V36

(2)-I-i;

解|-1-i|=八一1)2十(-1)2=

arg(-1-i)—arctan(=^)一底=号3

n=一彳七

(3)2-i;

解I2-i|=y22+(-1>2=75,

arg(2-i)—arctan=-arctan五.

(4)-1+3i.

解|-1+31i=，(-1)2+32=/R),

3

arg(〜1+3i)=arctan+TV=穴—arctan3.

1-7证明下列各式：

(1)|司-二hi|2+hzl2-2Re(zi•石)；

证|句一二(的一％2)(勺“Z2)

-(Z1-Z2)(%-助)

二3•为+Z2'52_Z2反1-为乏2

=[Z]F+卜2y-G1幼+z逐2)

=|zi|2+|?2产-2Re(z02).

(2)|轴+22|2+|町一22|2=2(|力|2+|物|2),并说明此式的

几何意义;

证I与+22产+I可一之2「

=（Z1+次乂町+z2）+（可一即）（2]-z2）

=（Zi+«2）（«1+«2）+（21-22）（爱]-^2）

=2|z（|2+2|12=2（|^1|2+|Zi\2）.

此式的几何意义是:平行四边形对角线平方和等于各边平方和.

⑶。（1比1+1^1X1I<I+\y\（其中z=x+iy）.

22

证显然有|z|=|力+1y|=A/x+y（|1]+11yl.而

（m-R）2>0,则2Hl<，+J.又

（1^1+II）2=Ix12+I3/12+2ITVI

<2（/+>2）=2|z|2,

（!J：I+\y\）.

I+R）4II+1^1.

将下列各复数写成二角表示式.

（1）-3+2i；

解I-3+2i|=-/13,ai^（-3+2i）=arctan+n,

-J

故

sin(n-arctanj

-3+2i=MBcosfx-arctanf+1

⑵sina+icosa;

解Isina+icosa!=1,

、・、cosa

arg(sina+)cosa)—arctan―—―

sina

=arctan(cotcr)=^-a,

sma+icosacosf-a)+isin(---0].

(3)—sin专—icos

兀

解argf-sin*一icos彳=arctan(cot专-7t

2

爹―石一7r一铲，

牧

sina一；cos*=cos-/江)+isin2

一3”

22

=cos3兀-isingn.

1.9利用复数的三角表示计算下列各式：

(1)(l+i)(l-i);

次工・・7t\

解1+i=72(cosT+isin—1

44/9

~IT,・•一加

1-i=cos-r~十ism

44

牧

jc__>r7Cn

(1+i)(l-i)=21cos+isin=2.

44J

(2)(-2+3i)/(3+2i)；

解因

_3_3”

[cos(arctan+冗)卜is)n(arctan—/)♦

3+2i=5/T3[cos(arctan仔)+isin(arctan,

故(-2+3i)/(3+2i)=i.

I_22

注:arg(-2+3i)/(3+2i)=arctan+冗-arctan可

—3/2-2/3KK

=

1+—3/2).(2/3)+':一爹+“=2.

⑶

解由乘藉公式知

(与叼=[cosS-f+isin3.1]=i.

(4)--2+2i.

解因|-2+2il=8,arg(-2+2i)=总n,所以由开方公式知

•V-,…垢/3+8^ir,..3+8为n\

V-24-21=V8(cos-~■+1siny—I,

k=0,l,2,3.

1.10解方程：2?+l=0.

解方程F+1=0,即/二一1,它的解是

z=(-1)3,

由开方公式计算得

2=[1,(oos“+isimr)]s

(21+1)-..Qk+1)K,C1C

-cos---3+ism—3J,k=0,1,2.

RC,..K1,V3.

NO=0095+1sin百=+51,

zt-cosit+isinz=-1,

5TT..5n173.

Z2=co8]+Tisin1=~2—2"i.

Ill指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界

的还是无界的?是单连通域还是多连通域？

(1)2<|z|<3;

解圆环，有界多连通域.

(2)-<3;

Z

解以原点为中心为半径的圆的外部，无界多连通域.

(3).<argz<生且1<Iz1<3;

解圆环的一部分，有界、单连域.

(4)Iniz>1且|z|<2;

解圆环的一部分，有界、单连域.

(5)Re^2<1;

解，-a2<1,无界单连域

(6)|z-l|+|z+l|44；

解椭圆的内部及椭圆的边界，有界、闭区域.

(7)[argz|<y;

解从原点出发的两条半射线所成的区域、无界、单连域.

(8)>a(a>0).

解分三种情况:0<a<1,区域为圆的外部；

a=1为左半平面;a>1为圆内.

112指出满足下列各式的点z的轨迹是什么曲线？

(1)1s：+i)=1；

解以(0,-i)为圆心,1为半径的圆周.

(2)\z-a\+\z+a\-b，其中a,b为正实常数；

解以土a为焦点，立为长半轴的椭圆.

a

(3)Iz-a|二Re(z-b),其中a,&为实常数；

解设z=*+iy,贝！||(外一口)+1“=Re(x-匕+iy).即

(x-a)2+jy2=(x一6)2,

£—b>0.

解椭圆周的参数方程为“"：008'‘。《力&2兀,写成复数形

,y=6s）nI,

式为z二acost+i6sint（04I（2冗）.

L14试将函数工2一？2一-N）写成Z的函数（Z=1

AJJ44^Z+NZ-%fixit_4日

解将1=-2-，y~~~2j~代人上式，得

（z+z）2.（.一芝）2.（Z+z）（z-z）..Z+Z

~4-+4-4i+|工

z2+2z•z+z2z2-2z-z-Vz2z2-22,.z+z

二s—--+.-

1.15试证lim&’不存在.

r-*0Z

lim-二km—―，令了=红，则上述极限为出I,随A

z-H）ZT+iv

iJ

变化而变化，因而极限不存在.

・、。一N*0

1.16设'试证/(z)在z=0处不连续.

Q,z=0,

证因

1•/*/、I>工'1•kjCk

蚓/⑴=呵/+2=㈣=9

即liRf(z)不存在，故/(Z)在Z=0处不连续.

⑴f(N)=十.

解因

]_1

lim*二&)=Um工工

Ar-*OdZ-UZ

=lim=-3(z关0),

f(z)=(-)/=--^2(zWO).

Zz

(2)f(z)=zRez.

AAm

解因

f〈N+XG一f(N)

lim

△s-K)△z

(N+△2)Re(N+qz)—zR?2

=lim

△之

zReAN+AzRgz+ANRC&N

—lim

Aa—H)△之

"蚂(Rez+ReiN%)

ReAz\

Z-T-----

△n/

Ax\

ZAjr+(△)卜

当NK0时,上述极限不存在,故导数不存在；当N=0时,上述极

限为。，故导数为0.

2.下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析？

(1)f(z)-Z*Z2.

解f(z)Z-Z'Z

2

二(I24-3»)(X+iy)

JC(T2+y2)十iy(j：2+y2),

这里N(z,y)=这/+»2),0(、r,y)=y(x2+>2).

22222

Uj.=x+y+21r2,Vy,-x+y+2yf

uy-2xy,vx-2xy.

要%=vy,%=Jq.，当JI仅当x=y=0,而ux,uy,vxtvy均连续,

故/(z)=兄•z?仅在z=0处可导，处处不解析.

(2)f(z)=z2+iy2.

22

解这里u=x—y.ua=2工，4=0,%=0,%=2y,四

个偏导数均连续，但ur=%，%=一%仅在1=v处成立，故/(z)仅

在j=y上可导，处处不解析.

(3)f(z)-JT3-3xy2+i(3x2y~9).

解这里“(z,Dnd-3xy2,&(彳,？)=3#2y一？3,%=3/

2

-3y,Mv=-6a:y,vx=,vy=3i~39，四个偏导数均连续且

g=%,%=-%处处成立,故f(z)在整个复平面上处处可导，也

处处解析.

(4)f(z)=sinxch+icosxsh>.

解这里w(x,>)-sinjcchytv(jcfy)=coszshy.

ux=oosxchy,uy=sinxsh,

vr=-sin*shy,%=cosnchy.

四个偏导均连续且ux=vy,uy=-vx处处成立，

故f(z)处处可导,也处处解析.

3,确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.

解f(z)=3三是有理函数，除去分母为0的点外处处解析,

Z-L

故全平面除去点2=1及N=-1的区域为.f(N)的解析区域,奇点为

z=±l,f(z)的导数为：

小)=(7^1)二(褐)2

则可推出含=翁=0,即〃=C(常数),故f(z)必为。中常数.

(3)设/(z)=M+M由条件知arg^-=C,从而

1+{v/u)2

求导得

化简，利用CR条件得

m-衿=0.

Ldxoy

所以,二,=°，同理器「需=°，即在D中4，。为常数，故f(z)

在。中为常数.

(4)设a工0,则u-(c-ba)/a,求导得

du_b3ydubdy

a*a3xfdy二一了可，

由C-R条件

dubdu迎_bdv

3工ady*2工a

故N必为常数，即f(z)在D中为常数.

设a=0,6卢0,。之0,则bv=c,知t为常数，又由CR条件知

u也必为常数，所以f(z)在。中为常数.

5.设了包)在区域。内解析，试证

(/+引八川2=4|f⑴艮

证设

f(z)=M+IV,If(z)|2="2+笠2,

人)=<-鸯，夕川2=(鼾+即1

而

居十为"GW=焉（/+V2）+飙2+/）

2d2u|2.心

=2+Ivdx2

2^2U\*

十十+v:

%

又八幻解析,则实部«及虚部0均为调和函数.故

+=+=

U二°,"(S&)0.

则

K+罚〃川』阎+(飘"32

6.试证CR方程的极坐标形式为患=+需，需=T舜并且

有

r（z）=:比+i匐・

证一x-rcos9,y-rsinO.GR条件：牛=孕，孕_dv

dxdyay3JC

因

du=票•票+黑宗…格+sin噜,

①

Oroxordydroxdy

du3u21,du碧舞,

---=—-♦—―-+——•--rsin8+rcosd②

ddedxdQdy

dpdjc3v力aHz/.口3"

=丁，刁~+丁•丁=cos0丁+sin夕丁，③

drdxdrdydrdxoy

dv3x<)vdy.r)v,q3z)

二石,源+t两'需=-endn五+rcos8西,④

30

利用/=器，=一器比较①、④和②、③即得

3u_X迪匹___L%

dr厂3。'3rrdO*

k,、

〃幻=石du+.|装

二(受8s1cfu13v.

6-sin+i丁coso---^sinau

738drrdu

iWsin8

=cos8+国+1湖

drIr

=cos喉3y\sin8/Sv.du

+一「五+"而

也.:匹(cos—isin6)

\dr3r

3力\1

a“4-，---1——(dIi>-.dIu

石+|<?r/zdeae

证二令zre'^,/(z)=/(re,fl)=u+iv,

人…*符+堂，

得

八幻=［僵+i票)=二(变+i孕).

drfz\ordr/

22

7.试证u=x-ytv=2),F都是调和函数，但u+iv不是

x+y

解析函数.

证因器=21,衿=2,票)-2>，*=-2,贝!!

0五dxdyJv

2

M3M-.,一、八

故“=/一/是调和函数.又

返_二2Hya2n__2.3+6j72.y

石二（3+02，.=（#+力2，

3y_，+丫2_2丫2_婷一92A2P_2y3—61.丫

%=（一+/）2=（工2十,2）2，斤=（/+/）2,

则去用+碧=°，故v=-2是调和函数.

dx£dyx+y

但:#赛居碧，故"+讪不是解析函数.

8.如果f(Z)=u+iv为解析函数，试证-”是〃的共舸调和函

数.

证只需证a-h为解析函数.因i,“+3均为解析函数，故

-i(M+M)也是解析函数，亦即-“是V的共扼调和.

9.由下列条件求解析函数/(z)=u+)v.

(1)M=(x-y)(/+4xy+y2);

解因含=患=3x2+62y-3y2,所以

v=j(3x2+6©-3丁)出

=3/2/+3xy2-丁+中(工)，

又亲—6xy+3y2+$<x｝，而票=37—6xy-3y所以,'(工)=

-3JC2,则3(1)=-Z3+c.故

f(z)=u+iv

=(工一、)(支2+4zy+y2)

+i(3x2y+3xy2-jy3-x3+C)

=(1-i)x2(x+iy)->2(1-i)(x+iy)

-212y(1+i)—21rly气1-i)十Ci

-z(l-i)(x2->2)—2xyi,iz(l-i)+Ci

=(1-I)Z(JC2—y2—2xy\)十Ci

=(1-i)/+Ci.

(2)v=2xy+3x;

解因肥=2y+3,用=2],由f(G解析，有

养=患=2i,u=2N±C—X1+<p(y).

又患=-二一2y-3,而言-山'6),所以W'(y)=-2y-3,则

蚁丫)=一y?-3'+C故

f(z)=〃一了2-3)+C+i(2xy+3x).

(3)M=2(JC-l)2，/(2)=-i;

解因爱=2y,言=2(x-1),由f(z)的解析性，有

强=*=-2(…)，

oxUy

v=J-2(J:-1)dx--(x-1产+叭y)、

又符=猾=2y,而—=〃6),所以

W'(y)=2»,"(y)=/十c,

则

v=-(X—I)2+y2+C,

故

f(z}=2(X-1)y十1(一(1-1)2+?2+0,

由f(2)=—i得F(2)=i(-1+C)=—i,推出C=0.即

22

f(z)=2(x—l)>+i(j^-Jr+2JC-1)

=i(—z2+2z-1)=-i(z—1)2.

(4)u—ex(xcosy-3；siny)"(0)=0.

解因

3_uT

—e(JSCOSy-j/siny)+e^cosy

3JC9

du

=ex(—xsiny-siny-yensy),

3y

由f（N）的解析性，有

dy__3_u

=-e^(—1rsiny-siny—ycosy),

HR3y

Oy__

e^Cxcosy-ysiny)+e^cosy.

dydjr

则

=1：:一却”+养出+c

XJ^[ex(a:cosy->siny)+excos+C

OdZ+

Jo

=excos'dy-ysin3d.y+0cosydjy)+C

Jo

=e#Ixsiny-ycosy-cos_yd>+cosydy+C

JoJo/

—e-siny-e勺cosy+C,

故

/(z)=ex(xcosy-jzsin»)+iex(j：siny->cosy)+iC.

由/(O)=0知C=0,即

f(z)=eJ(jrcnsy-ysiny)+ie*(zsiny-ycosy)=zez.

10.设〃=*siny,求p的值使〃为调和函数，并求出解析函数

f(z)—U+IV.

解要使v(x,y)为调和函数，则有%十%=0.即

p2*siny—评siny=0,

所以p=±1时遇为调和函数，要使f(z)解析，则有％=%,%=-%.

u(xfy)=J«xdj：=Je^cosydr=^e^cosy+1(y),

_।

uy=-^-e^siny+"'(y)—-p*siny.

所以

36)=b-~)湃cosy+C.

即-pe^cosy+C,故

eJ(cos3»+isiny)+C=ez+C,p=l,

f(z)=v

、-e-x(cosy+isiny)+C=-e~z+C,p-\.

11.证明:一对共施调和函数的乘积仍为调和函数.

证明设&是“的共扼调和函数，令f(z)=u+if,则/(z)是

解析函数，/(z)=f(z),f(z)=(w+iv)2=(u2—v2)+i2uv也

是解析函数，故其虚部2汹是调和函数，从而wu是调和函数.

12.如果f(z)=〃+沁是一解析函数，试证:i"也是解析函

数.

证因解析，则%=砥，留=-符，且〃，力均可微，从而

“也可微，而

if(z)=v—iu=v+i(—M)

又

dvdu3(—u)3vdu5(—u

dx3y'3y。支3]

即-〃与b满足CR条件,故万奇也是解析函数.

13.试解方程：

(l)e?=1+/3i;

解ez=1+-2(cos]+isin))=2e*蜡+”“)

J。

二小2*⑵/亨)，=0,±1,±2,

故

z=In2+i(2kn+-y),k-0,±1,±2.

=-T-ti♦

(2)Inz2，

解ze21—cos5+isin彳

(3)sinz=ish1;

解sinz=ish1=i(-i)sini=sini,所以z=2kiz+i或z

(2k-l)7r-i^为整数.

另解.见本节例24.

(4)sinz+cosz—0.

解由题设知tanz=-t,z=kn--^-,k为整数.

14.求下列各式的值.

(1)cosi;

.e'⑴4e'iG)e-1+e1

解cosi=------2------=—2—,

(2)Ln(—3+4i);

解Ln(-3+4i)=In5+iArg(-3+4i)

In5+i+it-arctan告).

(3)(1

([-j)l+i=(l+i)Ln(l-i)

解e

=e"巨+，2""[8S(ln7^-g)+isin(ln/2—•—)

(4)33T.

解33T-e(3T)53=e(3-i)(ln3f2^m)

--(3-i)ln3._3ln3+2Am.-iln3

=27e2*w(cosIn3—isinIn3).

15.证明

(1)sinz=sin彳chy+icosishy;

证sinz=sin(a:+iy)=sinxcosi»+cosj:sin13?

.eiiy+e-i®eUy-e-ii>

=sinx----2---+cosx----2(---

+/_a

=sinx---5—-i00sx---x-

〃a

—sinxchy+icosxshy.

(2)cos(a：i+Z2)=cosZicosZ2-sinzisinzi\

证

coszicosZ2—sinz^sinz2

(e/++6一%)_(e%——©一%)

4―4…

-Ke+)

=+ei*2+£-，+与)+~(勺-，)]

+2[邯2)

+e-i(zi+z2)-ei(-q+*2)-¥(*「”2》]

=+[8(，+与)+=cos(z£+N2).

（3）sin2z+cos2n=I;

证利用复数变量正弦函数和余弦函数的定义直接计算得

2is2

sin22：+oos2^去d-e*)]+~(e+e』)]

=-(e2,2r+e~2tx—2)++e-2t*+2)

*T4

sin2z—2sinzoosz

"-「）（产+e-a）

证2sinNCOSN=2-

4i

^7<e2ix+1-1-e-2iz)

1

e~2,x)—sin2N.

2i

（5）sinz\2=sin2J:+sh2y;

证sinz12=sinz♦sinz=sinz•sinz

e"-e』eis-e~^

2i2i

ei（工+W）（工+»）]—电一：（工一0>]

=-点+e~2ix-2+2-e2^-e-2y]

2

=sin21r+sh5»,

(6)sin(浮-n)=cosz.

证因

sin(zi-q)=sinzicosZ2—cos^jsin央，

./7t\-7T7T.

stn(-zj=sin-^*cosz—cos-sinz=cosz.

16证明:

(1)ch?z-sh2x；=1；

证因

故

,2.2咨+e-2s+2+广？'-21

cnz-shz=------------------:-----=1.

4T4

(2)ch2z~sh2z+ch2z；

,2e2'+ez-2,e?z+e-2z十2

证4Tsnz+clh2z=.+•.

44

0+e'2z

=------=ch2z.

(3)th(z+7ti)=tha;

ezE—e-zf

证th(z+rd)

ez+布+e-z-ni

1+2疝-e-z=e-e-8

=thz.

eZ+26+e=—e?+e=

(4)sh(zi+Z2)=shN1chZ2+chzjshzj-

证shZich22=•y

乙乙

=e、+.2—e-'——e-'-E+6%一々

=丁一一

1e0_e』

chzishw=项，=一F

/1+叼-e-*2%i-0-%-工2+e*2rl

4

shZjchZ2+chZjshzi-=ch(z)+Z2)

17.证明:chz的反函数Arcchz=ln(z+Vz2—1).

证设％工出皿,且“=Arccha:,由

z=chw=y(ett，+e-u，)知2z=e07+W*

即e2"-2zew+1=0.解方程得针=z土-1,故

zv-ln(z+Vz2—1).

注:工含有“土”两根.

18.由于In%为多值函数，指出下列错误.

(1)Lnz2=2Lnz.

解因

LnJ—In|z|2+i(28+24”)，k=0,±1,±2,,,>

而

2Lnz=2[ln|z\+i(04-2^ir)]

=ln|z|2+i(26+4%n),k=0,±1»±2,---

两者的实部相同,而虚部的可取值不完全相同.

(2)Ln1=Ln—=Lnz-Ln2=0.

z

解Ln1=In1+i(0+2k6

-24式i,k-0,±1,±2,…，

即Ln1=0仅当4=0时成立.

之I

注：Ln(・z。=Ln句+Lnn2及Ln晨=Ln之i-Lnz2两个

等式的理解应是:对于它们左边的多值函数的任一值，一定有右边两多

值函数的各一值与它对应,使得有关等式成立;反过来也一样.

19.试问:在复数域中(d)。与心儿一定相等吗？

解不一定，如：

<2=1+i,b=2,c=y,a*=1+i,(a»-V2i.

20.工列命题是否成立？

(1)ez=eL

解成立，因_____

ez=/+'，=ex(eosy+isiny)=e*(cosy-isiny)

=ex-1>=e土

(2)户(N)=p(z)(p(z)为多项式).

解不一定，如

p(z)=(a+ib)Zip(z)=(a-\b}z

而

p(z)=(a+ih)z.

(3)sinz=sinz.

解成立，因

--—立:e'iz]e-正e&._

(4)Lnz=Lnz.

解成立.因

Lnz=[ln|z|+i(^+24n〉

=ln|z|-i(8+2痴),A=0,±l,±2,….

Lnz=ln|z\+i(-0+2kn)

二ln|z|-i(8+2笈k)，A=0,±l,±2,….

1计算积分/；[（工一,）十匕2]<1与，积分路径（1）自原点至1+i的

直线段；（2）自原点沿实轴至1,再由1铅直向上至1+i;（3）自原点沿

虚轴至i,再由i沿水平方向向右至t+i.

解(1)J。[(工—、)+ijr2]dr

=Jit2(1+i)d?=i(l+i)g=----

注：直线段的参数方程为N=(1+i)£,0&2WL

(2)City=0,d、=0»dz=&r,

=1,drr=0,dz=idy.

l+irr

[(n-y)+irr2]dx

0

=f(

JC+L2T2)djr+o(l—'+i)idy-------+-g-i.

J。

(3)Zi：JC

0,dz=idyil2''=1,dz=<±r•

J。[(x-))+i充2]dz

=』:一*+1/+ijr2)djr

-----1-----i-----

26.

计算积分产

2.°亡~pdz的值，其中C为(1)|N|=2;(2)IzI=4.

解令Nre2则

；一

"itydz=J—rie*°d。=2兀ri,