闭区间上连续函数的性质.ppt

高 等 数 学,电子教案,郑州轻工业学院数学教研室,二00一年七月,黄松奇,绪论,课程名称,高等数学,计划学时,56+108=164,考核形式,考试（4+7=11学分）,课堂纪律,作业问题,答疑辅导,学习方法,真、苦、巧、活,课前预习、重点听讲、简记笔记、 整理咀嚼、后作练习,参 考 书 目,工科数学分析基础,马知恩 等编 （高教出版社）,高等数学释疑解难,工科数学课委会编（高教出版社）,高等数学辅导,盛祥耀 等编（清华大学出版社）,高等数学解题方法及同步训练,同济大学编（同济大学出版社）,高等数学习题课教程,黄松奇 等编 （气象出版社）,我们这门课程叫高等数学，它的内容包括一元 和多元微积分学，无穷级数论和作为理论基础的极限理论，以及作为一元微积分学的简单应用常微分方程。由于构成它的主体是一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。,17世纪（1763年）Descartes建立了解析几何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础。,高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。,由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学 有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：,概念更复杂,理论性更强,表达形式更加抽象,推理更加严谨,因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研 教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。,学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅 是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我 们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该 仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学 好了数学。,高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。,极限是研究在指定的过程中某变量的变化趋势，这 里所讲的变化趋势有其明确的含义：不管所指定的变 化过程多么复杂，我们所关心的仅仅是变量变化的终 极目标，若这个终极目标存在，就称之为变量的极限,本章我们首先介绍极限理论的基本概念、运算和性 质，然后讨论函数的连续性,重点,极限概念，无穷小与极限的关系，极限运算法则， 两个重要极限，连续概念，初等函数的连续性，间断点及其分类,难点,极限概念及求极限的方法技巧,基本要求,能准确叙述并深刻理解极限定义，明确其几何意 义，会用定义验证极限,正确理解无穷小量及其与极限的关系,牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函 数 极限的保号性质,理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明 方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限,正确理解连续概念，理解间断点的分类,理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数 的性质,闭区间上连续函数的性质,闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。,一、最大值和最小值定理,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,二、介值定理,定义:,几何解释:,证,由零点定理,几何解释:,例1,证,由零点定理,例2,证,由零点定理,例3,证,由零点定理知,总之,注,方程f(x)=0的根,函数f(x)的零点,有关闭区间上连续函数命题的证明方法,10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理,20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数， 再利用零点定理,辅助函数的作法,（1）将结论中的(或x0或c)改写成x,（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x) 则F(x)即为所求,区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出， 余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。,三、小结,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意 1闭区间； 2连