2024-2025学年北师大版八年级数学（下）期末必考题型专项复习【40大考点】解析版

八下期末必考题型专项复习【40大考点】

【北师大版】

＞题型梳理

【考点1等腰三角形的性质】...................................................................2

【考点2等腰三角形的判定】...................................................................7

【考点3等腰三角形的判定与性质】...........................................................11

【考点4等边三角形的性质】..................................................................17

【考点5等边三角形的判定】..................................................................22

【考点6等边三角形的判定与性质】...........................................................25

【考点7含30度角的直角三角形】............................................................30

【考点8直角三角形全等的判定】.............................................................34

【考点9直角三角形的性质】..................................................................38

【考点10勾股定理】.........................................................................42

【考点11勾股定理的逆定理】..................................................................46

【考点12勾股数（树）】......................................................................51

【考点13勾股定理的应用】....................................................................54

【考点14四种命题及其关系】..................................................................58

【考点15线段的垂直平分线】..................................................................60

【考点16角平分线】..........................................................................65

【考点17不等式的基本性质】..................................................................71

【考点18解一元一次不等式（组）】..............................................................73

【考点19一元一次不等式（组）的解】............................................................76

【考点20一元一次不等式（组）的整数解】........................................................79

【考点21一次函数与不等式（组1.................................................................................81

【考点22一元一次不等式（组）的应用】..........................................................85

【考点23图形的平移】........................................................................89

【考点24图形的旋转】.......................................................................94

【考点25中心对称图形】.....................................................................98

【考点26中心对称】.........................................................................101

【考点27因式分解】.........................................................................103

【考点28利用因式分解进行简算】.............................................................106

【考点29利用因式分解求值】.................................................................107

【考点30因式分解的应用】...................................................................109

【考点31分式】.............................................................................113

【考点32分式的基本性质】...................................................................115

【考点33分式的运算】.......................................................................117

【考点34解分式方程】.......................................................................121

【考点35分式方程的应用】...................................................................125

【考点36平行四边形的性质】.................................................................128

【考点37平行四边形的判定】.................................................................133

【考点38平行四边形的判定与性质】..........................................................136

【考点39三角形的中位线】...................................................................142

【考点40多边形的内角和与外角和】..........................................................147

＞举一反三

【考点1等腰三角形的性质】

【例1】（24-25八年级•河北沧州•期末）如图，在△ABC中，AB=AC,/.BAC=120°,P是BC上一点，且

Z.BAP=90°,PC=4cm,贝"PB的长为（）

C.4cmD.8cm

【答案】D

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键.根据等腰

三角形的性质可得48=30。，再根据含30。角的直角三角形的性质可知PB=2P4再根据

^PAC=ZC=30°,可得24=PC,进一步可得PB的长.

【详解】解：-AB=AC,ZB^C=12O°,

:.乙B=Z-C=30°,

vZ-BAP=90°,

PB=2AP,Z.PAC=30°,

・•・PA=PC=4cm,

・••PB—8cm,

故选：D.

【变式1-1］（24-25八年级•安徽亳州•期末）如图，AD,CE分别是△ABC的中线和高.若4B=AC,

NACE=32。，则NBA。的度数为（）

A

【答案】B

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据直角三角形的性质求出N84C=58。，再根据“等腰三角形

底边上的中线、顶角平分线重合”求解即可，熟知三线合一性质是解题的关键.

【详解】解：「CE是△ABC的高，

•••CE1AB,

•••/.BAC+/LACE=90°,

•••ZXCF=32°,

/.BAC=58°,

•••4D是△ABC的中线，AB=AC,

1

・•・乙BAD=Z,CAD=-/-BAC,

/-BAD=29°,

故选：B.

【变式1-2]（24-25八年级•四川成都・期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，^ABC=90°,AB=2,点、D

在CB延长线上，连接4D,以4。为边作等腰直角△anE/IME=90。，连接CE交4B于点=&4F,贝I」

BD=_____.

【答案】|

【分析】过点E作B4的垂线，交B4延长线于点H过点C作CGII4E交49于点G,证明三△E/M,

得到4B=EH.AH=BD,进而证明△CBG三△EHA,得到BG=AH=BD,CG=AD=AE,再证明△CFG三

△EFA,得到GF=4F,进而推出GF+BG=AF+力H,即点尸是中点，即2BF=2HF=BH,由

DC=4AF,得到=从而得出FH=8F=24F,即点/是FH中点，推出4H=4F==|,即

可求出BD.

【详解】解：过点E作84的垂线，交B4延长线于点X,过点C作CGII4E交于点G,

____DB

A一，C

乙DAE=4ABD=AHE=90°,

・•・乙BAD+Z.EAH=^BAD+Z.ADB=90°,

・•・乙ADB=Z.EAH,

vAE=AD,

AABD=AEHAf

・•・AB=EH,AH=BD,

•・•AB=BC,

・•・BC=EH,

vZ.CBA=乙AHE=90°

・•・BCWEH,

2LFEH=乙FCB

•・•CGWAE,

•••Z-FCG=Z.FEA,

••・Z-AEH=乙BCG,

•••EH=BC/CBA=乙AHE=90°

・•・ACBG三4EHA,

・・・BG=AH=BD,CG=AD=AE,

•••（CFG=乙EFA,乙FCG=/.FEA

・•・ACFG三AEFA,

・•・GF=AF,

・•・GF-^rBG=AF+AH,即点尸是中点，即2BF=2"F=B”，

•・•DC=471F,BH=AH+AB=BD+BC=CD,

・•・BH=4AF,

：,FH=BF=2AF,即点4是尸H中点,

•••AH=AF==l，

2

BD=AH=

故答案为：

【点睛】本题考查三角形全等的综合问题，等腰三角形的性质，平行线性质，正确作出辅助线构造三角形

全等时解题的关键.

【变式1-3］（24-25八年级•山东泰安・期末）在△ABC中，AB=AC.

图1图2图3

⑴4D是BC上的高，AD=AE.

①如图1,如果AB4D=20°,则NEDC=°；

②如图2,如果NB4D=50°,则NEDC=.

(2)思考：通过以上两小题，你发现NB4D与NEDC之间有什么关系？请用式子表示：.

(3)如图3,如果4。不是BC上的高，AD-AE,是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由.

【答案】⑴①10;②25。；

⑵NEDC=y84C；

(3)仍成立，理由见解析.

【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形“三线合一''和等边对等角的

性质是解题的关键.

(1)①等腰三角形三线合一，所以ND4E=20。，又因为4。=4凡所以乙4DE=N4ED=80。，所以

乙EDC=10°.

②同理，证明乙4DE=65。，所以NEDC=25。.

(2)利用等腰三角形“三线合一”的性质得NB4D=NC4D,再根据=^ADE=AAEC=1

-11________1

(180°-/.DAE}=90。一5乙EME,再根据4EDC=90°-^ADE=-Z.DAE,从而可得出结论NEDC=-/.BAD.

(3)由于所以乙4DE=NHED,根据已知，证明乙BAD+NB=2/EDC+NC,而B=NC,所以

/.BAD=2乙EDC.

【详解】(1)解：①在△ABC中，AB^AC,4。是8C上的高，

Z-BAD=Z.CAD,

•・・Z.BAD=20°,

・•・4BAD=乙CAD=20°,

AD=AE,

•••乙4OE=^AED=80°,

•••40是8C上的高，

・•・乙EDC=90°-/.ADE=10°.

故答案为：10；

②•.•在△4BC中，AB=AC,4D是BC上的高，

Z.BAD=Z.CAD,

•・,Z-BAD=40°,

・•・4BAD=/.CAD=40°,

•・•AD—AE,

・•・乙40E=^LAED=70°,

・••乙EDC=20°.

故答案为：20；

(2)解：在中，AB=AC,40是上的高，

•••乙BAD=Z.CAD,

'.tAD=AE

11

：.^ADE=Z,AEC=-(180°-Z.DAE)=90°--/.DAE,

m是BC上的高，

.-.^ADC=90°

."EDC=90°-AADE=90°-(90°-亚。4E)=^DAE

：.4EDC=34BAD.

(3)解：仍成立，理由如下：

vAD=AE,

・•・Z.ADE=Z-AED,

•••Z-BAD+乙B=Z-ADC=Z.ADE+乙EDC=Z.AED+Z-EDC=(乙EDC+Z.C)+Z-EDC

=2/.EDC+ZC,

又・・・/B=4C,

•••Z-B—Z-C,

：.^BAD=2乙EDC,即NEDC=^BAD.

【考点2等腰三角形的判定】

【例2】（24-25八年级•浙江金华・期末）如图，在RtA43c中，zJCS=90°,NC=3,BC=4,点、E,尸在

斜边48上，将边NC沿CE翻折，使点N落在N3上的点。处，再将边8c沿CF翻折，使点8落在CD延

长线上的点所处，则线段夕F的长为（）

c

【答案】B

【分析】先利用勾股定理可得=5,再根据折叠的性质可得N&EC=乙DEC=90°,乙4CE=乙DCE/B'

CF-Z.BCF,B，F=BF,利用三角形的面积公式可得CE=9，利用勾股定理可得然后根据角的和

差可得NECF=45。，根据等腰直角三角形的判定可得EF=CE=S最后根据线段和差可得BF=也由此

即可得.

【详解】解:/-ACB=90。,"=3,BC=4,

・•・AB—7AC?+BC2—5,

r

由折叠的性质得：BF=BFf^AEC=乙DEC=90。,乙4CE=乙DCE,乙B'CF=乙BCF,

•••SAABC=^AB-CE=14C-BC,即：X5CE=!X3X4,

17

解得CE=y,

_o

・•・AE=Vi4C2—CE2=g,

又vAACE=乙DCE,乙B'CF=乙BCF,乙ACB=90°,

Z.DCE+/.B'CF=%ACB=45°,即NECF=45°,

17

・•.Rt△CEF是等腰直角三角形，EF=CE=

4

・•・BF=AB-AE-EF=

4

・・・B'F=BF=-,

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关

键.

【变式2-1］（24-25八年级•吉林松原•期末）如图，。为△ABC内一点，CO平分乙4CB,BELCD9垂足为

D,交4c于点E,若乙4=/ZBE,BD=1,BC=3,则ZC的长为.

【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性

质是解决问题的关键.

先证明△EOC和△BOC全等得DE=8D=1,EC=BC=3,贝ljBE=2,再根据乙4=4WE得

AE=BE=2,由此可得出4C的长.

【详解】解：・・・CD平分乙4C8,

•••Z.ECD=乙BCD,

vBE1CD,

・・.£EDC=4BDC=90。,

在△EOC和△BDC中，

（Z-ECD=乙BCD

］CD=CD,

IzEDC=乙BDC=90°

△EDC=△BDC（ASA）,

・•.DE=BD,EC=BC,

,:BD=1,BC=3,

DE=BD=1,EC=BC=3,

・•.BE=DE+BD=2,

•・•Z.A=Z.ABE,

・••AE=BE=2,

^AC=AE+EC=5.

故答案为：5.

【变式2-2］（24-25八年级•海南省直辖县级单位•期末）如图，在△ABC中，AD,2F分别是△ABC的中线

和高，BE是△4BD的角平分线.

A

(1)若/BED=60°,^BAD=40°,求NBAF的度数.

⑵若△ABC面积为40,AD=5,求力F的长.

【答案】(1)50。

(2)XF=8

【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式.本题的关

键是充分应用三角形的角平分线，高和中线的定义.

(1)先利用三角形的外角性质计算出乙4BE=20。，再利用角平分线定义得到N4BC=2N4BE=40。，然后

根据高的定义和互余两角的性质求出N84F的度数；

(2)先根据题意得到BD=OC=4。=5,然后利用三角形面积公式求4F的长.

【详解】(1)W：■.-^BED=^ABE+^BAE,

Z.ABE=60°-40°=20°,

•••BE平分乙4BC,

:./.ABC=24ABE=40°,

MF为高，

•••^AFB=90°,

•••Z.BAF=90°-/.ABF=90°-40°=50°.

(2)解：由(1)得NBA。=NABD=40。，

■■.BD=DC=AD=5,

.'.BC=5+5=10,

,：S&ABC=^BC-AF=40,

：.AF=8.

【变式2-3](24-25八年级•河南洛阳・期末)如图，在△2BC中，已知点。在线段48的反向延长线上，过江

的中点F作线段GE交ND4c的平分线于E,交BC于G,且4E||BC.若力E=8,AB=10,GC=2BG,求△ABC

的周长.

D,

AE

BGC

【答案】32

【分析】首先根据平行线的性质证明=ZC=ACAE,然后结合角平分线的定义可推得NB=NC,

根据等角对等边得出4B=AC,结合对顶角相等和全等三角形的判定证明△2EF三△CFG,根据全等三角形

的性质得出CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得△4BC的周长.

【详解】解：“EIIBC,

"B=Z-DAE,Z.C=Z.CAE.

•ME平分

：.Z-.DAE=Z.CAE.

"B=Z.C.

.-.AB=AC=10,

・・,F是ZC的中点，

：.AF=CF.

-AE||BC,

.,.zC=Z.CAE,

由对顶角相等可知：^AFE=AGFC.

在和△CFG中，

(Z-CAE—Z-C

]AF=CF,

i^AFE=ZGFC

.••△4FE三△CFG(ASA),

：.AE=GC=8.

vGC=2BG,

：.BG=4.

.・.BC=BG+GC=8+4=12,

・•・△/BC的周长=48+4C+BC=10+10+12=32.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，对顶

角的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

【考点3等腰三角形的判定与性质】

【例3】（24-25•山东淄博•八年级・期末）如图所示，在长方形A8CD的对称轴Z上找点P,使得△PAB、4PBC

均为等腰三角形，则满足条件的点P有（

AB

DC

A.1个B.3个C.5个D.无数多个

【答案】C

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键.利用

分类讨论的思想，当PB=P4AP=AB,BP=4B时分别找到点尸即可.

【详解】解：如图，/为长方形4BCD的对称轴，即/为BC的垂直平分线，

•・•当尸在/上时满足PC=PB,

作48的中垂线交/于Pi，满足P遇=PiB；

作2P=48与/交于P2、P3两点，满足P2^=48,P3A^AB；

作BP=AB与/交于P4、25两点，满足「6=43,P5B=AB；

.•・满足题意的点尸共5个，

故选：C.

【变式3-1]（24-25八年级•山东济宁•期末）如图，△ABC的两条高线相交于点F；点G是4C的中点,

连接DG交CE于点=DF=DH.

(1)求证：△ABDmACFD；

⑵求N/ICE的度数；

(3)若2E=3,求CF的长.

【答案】(1)见解析

(2)/.ACE=22.5°

(3)CF=6

【分析】本题考查了三角形的高，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，同(等)角的余

角相等，掌握全等三角形和等腰三角形的性质是解题关键.

(1)根据三角形的高和同角的余角相等，证明△力BD三△CFD即可；

(2)由全等三角形的性质和等边对等角的性质，得到ND4c=NDC4=45。，NDGC=90。，再根据等角的

余角相等，得至==即可求解.

(3)证明△4EC三△BEC(ASA),得到4E=BE=3,再结合△ABD三△CFD求解即可.

【详解】(1)证明：必。是△力BC的高线，

•••4ADB=4CDF=90。，

・•・乙B+乙BAD=90°.

•••CE是△NBC的高线，

・•・2B+乙FCD=90°.

・•・匕BAD=Z.FCD.

(Z.BAD=Z.FCD

在△480和△CFD^plZ.ADB=(CDF

IDB=DF

.*.△ABD=△CFP(AAS).

(2)解：由(1)可知△48。三△(?收).

・・・4。=DC.

ADAC=/-DCA=45°.

・・・G为4c中点,

；,CDGC=90°.

•・•DF=DH,

••・乙DFC=Z-DHF=乙GHC.

vZ.DFC+乙DCF=9O0ZGHC+/-ACE=90°,

ii

••・/.ACE=乙DCF=-^DCA=-x45°=22.5。.

(3)解：・・・。£是448。的高线，

・•・AAEC=乙BEC=90°,

在△NEC和△BEC中，

(Z.AEC=Z-BEC

]EC=EC

VZ.ACE=乙BCE

・•.△AEC=△BEC(ASA).

:.AE=BE=3.

由(1)可知△480三

CF=AB=2AE=2x3=6.

【变式3-2](24-25八年级•云南红河•期末)如图，在aABC中，AACB=90°,AC=BC,M是△ABC内

的一点，且乙4MB=120。，以MC为直角边作等腰直角△MCN,使NMCN=90。,MN交线段BC于点D,连

接BN.

(1)求证：AM=BN.

(2)求NMBN的度数.

(3)当乙4MC为多少度时，△BMN是等腰三角形？

【答案】(1)见解析

(2)30°

(3)75。或120。或165。

【分析】本题考查了等腰三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思

想解决问题.

(1)利用等腰三角形性质证明△ZCMwZkBCN,结合全等三角形性质求解，即可解题；

(2)利用全等三角形性质得到=进而求出+4引VC,再结合四边形内角和得到

乙MBN=360°-乙BMC-乙BNC-4MCN进行求解，即可解题；

(3)设乙4MC=%时，△BMN是等腰三角形，结合全等三角形性质得到NBNC=4AMC=%,进而得到

匕BNM=x-45。,再根据aBMN是等腰三角形，分三种情况①当MN=MB时，②当8M=8N时，③当

MN=BN时,结合等腰三角形性质讨论求解，即可解题.

【详解】(1)证明：•・•乙ACB=90。=乙MCN,

・•・乙ACB-Z.MCB=乙MCN一乙MCB,

・•・乙ACM=乙BCN,

••△MCN为等腰直角三角形，

・•.MC=NC,

-AC=BC,

.-.△i4CM=A^CN(SAS),

.t-AM=BN；

(2)解：•・・AACM三ABCN,

・•・AAMC=乙BNC,

v乙AMB=120°,

Z.BMC+Z.BNC=乙BMC+4AMC=360°一乙4MB=240°,

•・,乙MCN=90°,

・"MBN=360°一乙BMC-(BNC-乙MCN

=360°-(/BMC+乙BNC)-90°

=360°-240°-90°=30°；

(3)解：设乙4MC=%时，△BMN是等腰三角形，

・・•AACM三ABCN,

••・乙BNC=Z-AMC—x,

；.4BNM=X—45°,

①当MN=MB时，有4BNM=乙MBN=30°,

x-45°=30°,

解得x=75。,即NAMC=75。；

②当BM=BN时，有乙BNM=4BMN=泮=75°,

•••x-45°=75°,

解得x=120°,即乙4MC=120°；

③当MN=BN时，有乙BMN=乙MBN=30°,

：.KBNM=180°-2X30°=120°,

•­•x-45°=120°,

解得比=165°,即乙4MC=165°；

综上所述，乙4MC=75。或120。或165。，△BMN是等腰三角形.

【变式3-3］（24-25八年级•吉林松原•期末）如图，在等腰三角形4BC中，AB=AC,。为BC延长线上的一

点，过点。作DEII4B,与4C的延长线交于点E.

⑴求证：△CDE是等腰三角形；

(2)在BC上截取力9=CE,连接FB,FD,判断FB,FD的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)BF=DF,见解析

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等

三角形的判定和性质是解题的关键.

(1)根据等腰三角形的性质得到=N4CB,根据平行线的性质得到乙4BC=NCDE,于是得到

乙DCE=4CDE,即可得出结论；

(2)根据平行线的性质得到2力=NE,再证明△力BFW△EFD(SAS),根据全等三角形的性质即可得到结

论.

【详解】(1)证明：-：AB=AC,

Z-ABC=Z.ACB,

・・・DEWAB,

•••乙ABC=Z.CDE,

•・,乙DCE=乙ACB,

:•乙DCE=Z-CDE,

・•.CE=DE,

CDE是等腰三角形.

(2)解：BF=DF,

理由：-.-DEWAB,

Z.A=Z-E,

■.■AF=CE,由(1)知：CE=DE,

：.AF=DE,

AF+CF=CE+CF,即EF=AC=4B,

在△力FB与中，

(AB=EF

UF=ED

.••AT1BF=A£'FD(SAS),

BF=DF.

【考点4等边三角形的性质】

【例4】（24-25八年级•浙江金华•期末）如图，在等边三角形ABC的2C,BC边上各取一点P,。（均不与端

点重合），且4P=CQ,4Q,BP相交于点。下列结论一定成立的是（）

A.4ABp=20°B.BO=3OPC.乙BOQ=60°D./-BAQ>/.QAC

【答案】C

【分析】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，根据“SAS”证明△BAP三△4CQ,

得N4BP=NC4Q,推导出NB0Q=NB4C=60。，可判断C符合题意，证明△BAP三△4CQ是找到符合题

意的选项的关键.

【详解】解：根据题意可得乙4BP=20。不一定成立，

故A不符合题意；

如图1,P、Q分别是4C、BC的中点，△ABC为等边三角形，

贝ijBPlAC,

•••^APO=90°,

•••/.OAB=/.OAP=l^-BAC=30°,4OBA=乙OBC=jzXBC=30°,

■.AO=2OP,BO=AO,

■■.BO=2OP,

故仅仅满足4P=CQ时，8。=3。尸不一定成立，

故B不符合题意；

在和△/相中，

(BA=AC

｛乙BAP=ZC,

IAP=CQ

・•・△B/P三△ACQ(SAS),

•••Z.ABP=Z-CAQ,

••・乙BOQ=乙ABP+(BAQ=Z.CAQ+^BAQ=^BAC=60°,

故c符合题意；

根据题意，NB4Q>NQ4C不一定成立，

故D不符合题意，

故选：C.

图1

【变式4-1](24-25八年级•浙江台州•期末)如图，在等边三角形4BC中，BC=8,点。是AB的中点，过点

。作DF12C于点尸，过点尸作EF18C于点E,贝l]8E的长为()

【答案】C

【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30。角的直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键.

由△ABC是等边三角形，则4B=BC=4C=8,乙4=NC=60。，又。是的中点，贝U4D=/B=4,然

后根据30。角所对直角边是斜边的一半得4F=1AD=2,CE=1CF=3,最后由线段和差即可求解.

【详解】解：•・•△4BC是等边三角形，

.,.AB=BC=AC=8,Z.A=Z.C=60°,

・•力是48的中点，

.-.AD=^AB=4,

-DFLACf

.•ZAFD=90°,

：,/.ADF=180°—90°-60°=30°,

：.AF=^AD=2,

'.CF=AC-AF=8-2=6,

同理，CE=1CF=3,

；,BE=BC-CE=8—3=5,

故选：c.

【变式4-2]（24-25八年级•广东广州•期末）如图，已知等边△4BC的边长为a,中线=6,点E在BD上

运动，连接2E,在4E的右侧作等边△AEF,连接DF,则△4DF周长的最小值是

【答案】|a+b

【分析】本题考查了全等三角形的性质和等边三角形的性质.证明N4CF=30。,作点4关于直线CF的对称

点、M,连接OM交CF于N,此时4V+DN的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可.

【详解】解：如图，•••△ABC,△4EF都是等边三角形，

.・.AB=AC=a,AE=AF,乙BAC=Z-EAF=/-ABC=60°,

•••Z.BAE=Z.CAF,

尸(SAS),

Z-ABE=Z.ACF,

AD=CD=1a,BD=b,

/.ABE=Z.CBE=AACF=30°,BD1AC,

作点a关于直线CF的对称点M,连接。M交CF于N,此时4V+DN的值最小，

•・•CA=CM,Z-ACM=60°,

・・•△/CM是等边三角形，

・•・AM=AC,

vBD1AC,

・♦.DM=BD=b,

.,•△4尸。周长的最小值=AD+DN+AN=AD+DM=^a+b.

故答案为：^a+b.

【变式4-3](24-25八年级•四川绵阳•期末)如图，△A8C为等边三角形，点。为BC延长线上一动点，连

接4D,将线段4。绕点A顺时针旋转120。得到AE,直线CE与4B交于点F.过点E作EGIIAC交力B的延长线

于点G.

G

(1)若AB4E=45。，求AD的度数；

(2)求证：BD=2AF.

【答案】(1)45。

(2)见解析

【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键.

(1)根据等边三角形的性质得到48=AC,然后根据NB4E+乙乙4。=60。，+/乙40=60。得至lj

乙D=4B4E角星题即可；

(2)先根据AAS证明即可得到EG=4B,然后证明△EFGw△C凡4即可得到结论.

【详解】(1)证明：・・•△4BC为等边三角形，

：.Z-BAC=(ABC=60°,AB=AC.

-/.DAE=120°,

：./.BAE+ACAD=60°.

又ZD+Z/L4O=60°,

・・/D=乙BAE=45°.

(2)-EG||AC,

..ZG=ABAC=/-ABC=60°.

在△瓦4G和△408中，

(Z.BAE=乙D,

］乙G=cABD,

IAE=AD9

△EAG=△ZDB(AAS).

；,EG=AB,GA—BD.

.'-EG=CA.

在△EFG和△CF4中，

(Z.G—Z,CAF,

1/.EFG=/.CFA,,

IEG=CA,

••.△EFG三△CFZ(AAS).

：.AF=GF.

；.BD=AG=2AF.

【考点5等边三角形的判定】

【例5】（24-25八年级•广东深圳•期末）下列推理中，不能判断△4BC是等边三角形的是（）

A.Z-A=Z-B=Z-CB.AB=AC,Z-B=60°

C./-A=6O0ZB=60°D.AB=AC,且=Zf

【答案】D

【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断.

【详解】A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断aABC是等边三角形，故本选项不符合题意；

B、由“有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形”可以判断AABC是等边三角形，故本选项不符合题意：

C、由2A=60。，48=60。”可以得至1]“乙\=48=4©=60。”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可

以判断aABC是等边三角形，故本选项不符合题意；

D、由“AB=AC,且NB=NC"只能判定aABC是等腰三角形，故本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题.（1）由定义判定：三条边

都相等的三角形是等边三角形.（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）判定定理

2：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

【变式5-1]（24-25八年级•江苏连云港•期末）已知：如图，在△48C中，AB=BC,乙48c=120。，BELAC

于点D,且=则△CEB是—三角形.

CE

【答案】等边

【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到=4。，再证明

△CDE=△4DB可得到CE=AB=BC,进而证明△为等边三角形.

【详解】解：•••△ABC中，AB=BC,^ABC=120°,8E_L4C于点。，

.-.CD=AD,ACBE=^ABC=60°,

•；DE=DB,Z-CDE=乙ABD,

△CDE=△ADB

：.CE=AB,

-AB=BC

：.CE=BC

MCBE=60°,

.•.△CEB为等边三角形.

故答案为：等边

【变式5-2]（24-25八年级•河南信阳•期末）如图，/-AOB=120°,OP平分乙4OB,且。P=2,PELOB.

0E的长是,若点M、N分别在射线。4、0B上，且ARMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有

个.

o

A

【答案】1无数

【分析】(1)先在Rt^OPE中，证明NOPE=30。，再利用30。角所对直角边是斜边的一半即可得答案；

(2)先作辅助线，再利用三角形全等证明只要NMPN=60。，△PMN就是等边三角形，这样就得到满足条

件的三角形有无数个

【详解】(1)-：^AOB=120°,OP平分N40B

:/POE=^-/.AOB=：x120°=60°

22

••ZOPE=90°一乙POE=90°-60°=30°

又YPE10B

：.OE=1x2=1

故填：1

(2)解：如图在04、。8上截取。E=OF=OP,作Z_MPN=60。.

O

•••OP平分NAOB,

:/EOP=4POF=60°,

'.,OP=OE=OF,

・•.△OPE,AOPF是等边三角形，

.'.EP=OP,Z.EPO=(OEP=乙PON=乙MPN=60°,

"PM=")PN,

在和△PON中，

(乙PEM=^PON

]PE=PO,

(乙EPM=^OPN

MPEMmAPON.

：.PM=PN,

•.2MPN=60°,

△PNM是等边三角形，

二只要Z_MPN=60°,△PMN就是等边三角形，

故这样的三角形有无数个.

故答案为：无数

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，综合应用以上判定和性质是解题

的关键

【变式5-3](24-25八年级•河南商丘・期末)如图，在△力BC中，DE\\BC,NEDF=".

(1)求证：/-BDF=Z.A；

(2)若立力=60。，DF平分乙BDE,求出△48C的形状.

【答案】(1)见解析；

(2)△力BC是等边三角形

【分析】本题考查平行线的判定与性质，等边三角形的判定，正确理解题意是解题的关键.

(1)先根据平行线的性质得出〃ED=NC,再得出“ED=NEDF,推出DFII4C,根据平行线的性质即可

得出结论；

(2)先求出4BDF=44=60°,再根据平分线的定义得出NBDF=乙FDE=60。，根据平行线的性质得出

AAED=AFDE=60°,进而得出NC=N4ED=60。，根据三角形内角和定理得出

NB=180。一乙4—NC=60。，推出NA=NB=NC=60。，即可得出结论.

【详解】(1)证明：DEWBC,

.1.Z.AED—Z.C,

•■•Z.EDF=ZC,

■■.Z-AED=Z.EDF,

：.DF\\AC,

：.Z.BDF=Zi4；

（2）解："=60°,

.,ZBDF=^A=60°,

•・・OF平分乙BOE,

"DF=乙FDE=60°,

-DFWAC,

：,Z-AED=乙FDE=60°,

-DEWBC,

.,.zf=Z.AED=60°,

"B=180°-AA-AC=180°-60°-60°=60°,

=Z-B=Z.C=60°,

.•.△28C是等边三角形

【考点6等边三角形的判定与性质】

【例6】（24-25八年级•浙江杭州•期末）如图（1）是一把折叠椅实物图，支架4B与CD交于点0,

0D=0B.如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面MN与地面水平线1平行,

(1)(2)

A.42B.21V3-21C.21V3D.42—21遮

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题

的关键.过点2作4尸，8£>,垂足为点F,从而可得41FB=90。，再利用平行线的性质可得

"BD=^CAO=60°,从而可得△ODB是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得=60°,

0D=OB=BD=28cm,再根据平行线的性质可得：N4C。=NODB=60。，从而可得

^CAO=^ACO=60°,进而可得。4=OC,最后根据等边三角形的判定可得：△A。。是等边三角形，从而

可得4。=4。=14cm,再利用直角三角形的两个锐角互余可得：4R4尸=30。，从而RtZkZBF中，利用含

30度角的直角三角形性质可得BF=21,再利用勾股定理求出4尸的长，从而进行计算即可解答.

【详解】解：过点/作”18。，垂足为点F,

/.AFB=90°,

•・•MN||Z,

•••乙ABD=Z.CAO=60°,

•・•OD=0B,

・•・△。。8是等边三角形，

・•・Z,ODB=60°,OD=OB=BD=28cm,

•・•BD=2AC,

AC=^BD=14(cm),

•・•MN||/,

Z.ACO=Z.ODB=60°,

・•・Z.CAO=Z.ACO=60°,

OA=OC,

・•.△ZOC是等边三角形，

・•・AO=AC=14cm,

AB=AO+OB=42(cm),

v/-AFB=90°,乙OBD=60°,

・•・匕BAF=90°-(OBD=30°,

；.BF=3AB=21(cm),

•••AF=7AB2一BF2=V422-212=21V3(cm),

•••AB-AF=(42-21V3)cm,

折叠后椅子比完全打开时高（42-21⑨cm,

故选：D.

【变式6-1]（24-25八年级•河南新乡•期末）如图，等边△48C纸片的边长为12,E,尸是边8c的三等分

点，分别过点E,尸沿着平行于R4,C4的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（）

【答案】C

【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识点，证明出△DEF是等边三角形是解

题关键.

由等边三角形的性质可得NB=4C=60。、BC^12,由三等分点可得£尸=4,再由平行线的性质可得

乙DEF=4DFE=6Q°,进而得出△DEF是等边三角形且边长为4,即可求出△DEF的周长.

【详解】解：「△ABC是等边三角形，且边长为12,

."=NC=60°,BC=12,

■■E,尸是边3c的三等分点，

•••BE=EF=CF=|fiC=4,

■.■DE\\AB,DF\\AC,

:/DEF=4B=60°,Z.DFE=Z.C=60°

:/DEF=乙DFE=60°,

・•.△DEF是等边三角形，且边长为4,

的周长是12.

故选：C.

【变式6-2]（24-25八年级•湖北武汉•期末）如图，在△ABC中，^BAC=60°,以BC为边作等边△BCD,

AD

E,F分别为4B,AC延长线上的点，5.DE1AB,DFVAC,CF=kBE,则击；=（用含k的式子表

示）

【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在力B延长线上取点G,使得

/.AGD=60°,延长GD交4C于点证明三△GBD,AACB=AHDC,AGBD=AHDC,设

BE=1,贝UCF=k,设FH=x,根据含30度角的直角三角形的性质，分别求出4B/C的长，进行求解即可.

【详解】解：在延长线上取点G,使得N4GC=60。，延长GD交AC于点H.

因为乙4=60°

则△力GH为等边三角形.

贝I」：乙4=乙4GH=Z.AHG=60°,

•・・△BCD为等边三角形，

：.BC=CD=BD,乙BCD=乙BDC=乙CBD=60°,

vZ.GBC=Z.DBC+Z.GBD—Z.A+Z.ACB,Z.A—Z.CBD=60°,

.•■Z-GBD=Z.ACB,

△ACB^△GBD,

同理：AACB三AHDC,AGBD=AHDC,

.-.DH=BG=AC,CH=AB=DG,

设8E=1,贝i]CF=k,设FH=x,

则DH=BG=AC=2x,CH=AB=DG=k+久，

•1•EG=2x—1,

乙EDG=30°,

DG