圆板的轴对称弯曲.ppt

圆板的轴对称弯曲 现在考虑在轴对称荷载q=q(r)作用下圆板的塑性弯曲问题。假设材料为理想刚塑性的。这样，板在塑性极限状态到达之前始终是不变形的。板半径为b，厚度为2h，h与b相比是较小的。,考虑板的平衡条件，有,关于板的变形，仍保留弹性薄板的克希霍夫假设： 1、板中面上的各点只产生平等于中面的位移； 2、与中面垂直的法线在弯形后仍是直线，并垂直于弯形后的中面。,在轴对称的情况下，板的挠度 环向位移,而应变分量为,应变增量为,应变增量比值,注意不记弹性变形及,，有,则由刚塑性的利维-米塞斯流动法则,同理可知,忽略挤压应力和剪应力对屈服的影响，由Mises条件得,可得：,表明在材料屈服时， 的绝对值沿中面法线不变。,意味着：,将用弯矩表示的屈服条件代入平衡微分方程,若采用Tresca条件,边界条件： 1、自由边 2、简支边 3、固支边,采用Tresca条件，代入平衡微分方程，得出的是线性方程，但主应力的排序要根据边界条件作分析判断。,a,周边简支，半径为b，承受均布荷载q的圆板，求其塑性极限荷载问题。,解：因为弯矩的最大值在原点处，且,显然，根据Tresca屈服条件,首先从原点开始屈服。考虑到弯矩都是正的，则在塑性极限状态时，原点相当于屈服线上的A点。,但在板边上，,相当于屈服线上的B点，则从板圆心到半径边缘的相对应力空间为从A到B。即有,代入平衡方程，,积分得：,由边界条件和限值条件,计算得：,计算板的变形，按流动法则，在AB边上,则有,其解为,由,得,注意：c1不是确定的，表明在塑性流动状态时，板的变形是不受限制的。,其塑性极限状态时的变形如右图。,作业：4-4 一矩形载面梁（b*h），材料为理相弹塑性的，受纯弯曲作用，当加载到 时完全卸载，求卸载后残余曲率半径。,解：当弯矩大于弹性极限有值时，在纯弯曲的情况下，梁的横载面上有弹塑性两个区域，,由横截面上的应力组合，有,在纯弯曲状况下，梁处于单向受力状态，对弹性区,在弹塑性区交界处，,则：,或者,在卸载后，其曲率半径为,卸载后的曲率为,则,若按弹塑性时的曲率与弹性极限时曲率的比例关系,由卸载后恢复曲率关系,残余曲率关系,现在来分析梁在弹塑性状态下的挠度 对于理想弹塑性材料，当梁处于弹塑性状态时，其截面上有弹性区与塑性区两个区域，而梁抵抗变形的能力则由弹性区承担，所以在弹塑性区混合所在截面，有,在弹塑性区交界处,有,这就是弹塑性状态下，梁的挠曲微分方程。,试计算理想弹塑性材料、跨中受集中荷载作用的矩形（b*h)简支梁在达到塑性极限状态瞬时的挠曲线方程。,解：,由内、外弯矩条件,先确定纯弹性梁段（取右段分析）,可知弹塑性梁段在,内。,再确定弹塑性梁段的弹塑性交界线,将梁分为两段，求其挠度,在弹塑性段,在弹性段,分别积分,考虑边界条件和连续条件,由边界条件,得挠曲线,塑性极限时的最大挠度，在跨中,弹性极限时的最大挠度，在跨中,则,第六章 理想刚塑性体的平面应变问题,在前面分析的弹塑性力学问题是一些简单问题，对于许多具有重大实际意义的问题由于其复杂性，要获得准确解答非常困难，因此，不得不引入某些假设，使问题得到简化，然后找出近似解答。忽略弹性变形，而把材料视为刚塑性的，即把材料作了简化。当塑性变形可以自由发展时，这种简化是合理的。 如果不仅忽略弹性变形，而且不计硬化，这样的材料就是理想刚塑性材料。本章就是按照增量理论解决理想刚塑性体的平面应变问题滑移线理论的塑性问题求解。,6-1 平面应变问题的基本方程,1、应变状态及应力状态 平面应变状态问题，物体内的各点位移平行于xy平面，且与z无关,根据几何方程,则其应变张量为,相应的应变增量张量和应变率张量为,对于应力分量，根据理想的刚塑性体的(Levy-Mises)利维米塞斯关系,Levy-Mises流动法则,由此可见，不论是增量理论或是全量理论，增面应变问题引入体积不可压缩假定以后，都有,则塑性区应力张量为,这里，,是主应力之一。,其它两个主应力,由此，三个主应力为,而最大剪应力,作用在最大剪应力作用面上的正应力为,注意，在些单元体的Z方向的正应力也是平均应力,在xy平面上的主方向为,如右图所示,2、滑移线 在平面应变状态下，其上每一点皆与最大剪应力面相切的线叫滑移线。 由于剪应力成对且互相垂直，则过xoy平面内的每一点可以作两条这样的线。所以在整个xoy平面内滑移线是两族正交曲线，分别称为族和族。 规定：、的正方向成右手坐标系，并使在该坐标系内成正方向。 的切线与x轴的夹角用表示，由x轴的正方向按逆时针算起。不难看出，最大主应力1的方向在坐标系的第一及第三象限，所以1方向顺时针转过/4就是方向，逆时针转过/4就是方向。,对于曲线的几何方程，结合导数的几何意义，不难得到两滑移线的微分方程，为,滑移线以正交网络布满塑性区，称为滑移线场。由滑移线分割成的无限小单元体的应力如图。,3、基本方程 对平面应变问题，在不计体力的情况下，其平衡方程为,滑移线场,对理想刚塑性体，在塑性区的应力应该满足屈服条件。,如果边界上给定面力的边界条件，则问题可以不考虑变形而直接根据平衡方程和屈服条件求解。重点是要确定刚性区和塑性区的分界面。,6-2 滑移线的基本方程和滑移线的性质,若边界上面力给定，假设,则屈服条件被满足，代入平衡方程，有,如果在各点，使x和y的方向与和滑移线的方向重合，于是=0。这样x、y就成为流动坐标，而对x、y的导数就相当于对S 和S的导数。,改写为,上式中参数、分别沿同一条滑移线是常数，但沿不同滑移线，一般来说是不同数值的。其物理意义是表示了沿滑移线的静力平衡关系。 再由上式，改写为,只要知道滑移线场中每一点的参数、，则可确定各点的和值，整个滑移线场内的应力分量都可确定，由此即知滑移线对解题的重要性。,下面来介绍一些滑移线的重要性质。 （1）沿滑移线的平均应力的变化与滑移线和x轴的夹角的变化成正比。 （2）当一条滑移线沿着另一族滑移线的任一条过渡到同族的另一条滑移线时，所转过的角度和平均应力的变化都是相同的。,（3）如果已知滑移线场，并已 知场中任一点的值，则场中内 各点的均可算出。,（4）如果滑移线的某些线段是直引，则沿这些线段的、 、 、 以及应力分量x 、y、 x y和都是常数。,（5）如果族（或族）滑移线的某一线段是直线，则被族（或族）所切截的所有（或 ）线的相应线段皆是直线，并且它们的长度相同。,（6）一族滑移线沿另一族滑移线移动时的曲率半径变化等于沿另一族滑移线移动的距离。,6-3 简单的滑移线场,1、均匀场滑移线是由两组正交的直线族所组成。 其物理意义是应力为均匀状态。,2、中心场滑移线场是由部分同心圆族和在圆心共点的直线族所组成。 其物理意义是代表简单应力状态。,3、对数螺旋线形滑移线场（轴对称滑移线场）。 考虑边界面为圆，其上不受外力或仅作用均匀分布的法向面力的平面轴对称问题，则该边界附近产生塑性变形时，其滑移线场为对数螺旋线形。,例 用滑移线理论，计算外半径为b，内半径为a的理想刚塑性体的厚壁圆筒，在平面应变状态下承受内压力q，圆筒的塑性极限荷载。,解：第一主应力为,意味着在筒上任一点的滑移线与圆周线的方向成/4， 有,积分得：,图上所示的滑移线即为族线，其坐标表示为,在内边界上,在处边界上,由螺旋线的几何关系,沿同一条线,6-4 边界条件,若在边界上给定法向应力 和切向应力 ，基边界条件可写成,若边界处于塑性区域，则应力分量应满足屈服条件,代入边界条件式，可得,改写为,由此可以根据边界条件确定边界上各点的、 值，从而确定出滑移线场中的、 值。,6-5 速度场,对刚塑性材料，由利维米塞斯流动法则，沿滑移线的应变增量为,因,得,其物理意义是：沿滑移线方向的正应变增量为零，也就是塑性区的变形只有沿着滑移线方向的剪切流动。,将应变率方程改写为速度方程，得,此即Geiringer（哥瑞根）方程,6-6 应力和速度的间断面,采用刚塑性材料的假设，在物体的应力场和速度场中，常有应力或速度不连续现象，这种不连续的分界面称之为间断面。,1、应力间断面 设L为应力间断面，L的两侧分别为（1）、（2）区。N、T为L上任一点的法向和切向，则该点处的应力分量用 表示。,在两区的应力分量分别记为,和,注意：,和,是作用与反作用的关系，所以其值应相等，而作用于垂直于间断面L的微面上的应力分量 由1区过渡到2区时将有突变，所以，在应力间断面上的各点，只有应力分量 的间断。有人已证明：应力间断面与滑移线（面）不重合。,2、速度间断面 设L为速度间断面，为了保证材料的连续性，即不发生材料堆积或裂缝，L上各点的法向速度 必须保持连续。,2、速度间断面 设L为速度间断面，为了保证材料的连续性，即不发生材料堆积或裂缝，L上各点的法向速度 必须保持连续。所以速度不连续是指切向速度的不连续，且两侧切向速度的不连续量为,可以证明：速度间断面必为滑移线（面）或滑移线的包络线，且沿同一速度间断面各处切向速度的不连续量相等。,6-7 平冲头（上部结构）压入半平面的极限荷载,当冲头压力P增加时，在奇异点A、B处率先进入塑性，但A、B两点的塑性区没有连通时，按照刚塑性的假设，两个局部塑性区之间的刚性区将阻止塑性区的流动，即阻止冲头的压入，只有当P继续增加，直至两分部塑性连成整体，自由表面将处于要变形而还未来得及变形时，冲头荷载达到极限。,在此所述说的塑性流动是初始塑性流动。不计摩擦，现用滑移线理论来分析此塑性极限荷载。 在三角形BED中，BE面是自由表面，其法向为第一主应力方向，可知与x轴成45角的方向为族滑移线,由屈服条件，,平均应力,沿线，通过中心场到达部头下的均匀场，即三角形ABC区域， 经分析：,根据屈服条件,平均应力,由滑移线理论：,6-8 解的性质,1、完全解的条件,一理想刚塑性体V的总表 面为,在,上给定外力，在,给定速度。在某一时刻，物体形成两个区域，一部分塑性区、一部分刚性区。,完全解应满足下列条件： 1、应力在V内满足平衡方程； 2、在塑性区满足屈服条件 在刚性区内应 3、应力在SP上满足静力边界条件； 4、在塑性区内，速度及应变速度是连续的；在刚性区，速度为零或为常数； 5、体积是不变的； 6、在SV上满足速度边界条件； 7、外力在静力边界上外力功率为正功； 8、在塑性区内，应力和应变率满足L-M塑性流动法则。,满足前1-3三个条件的应力场称为静力可能应力场；满足后4-8五个条件的速度场称为运动许可速度场。 2、解的唯一性 3、极限荷载的下限和上限 满足静力许可应力场的极限荷载为真实解的下限，而满足运动许可速度场的极限荷载为真实解的上限。,这为结构塑性极限分析提供了一种实用方法，一般寻求多个下限解，取其最大值为近似真实解；寻求多个上限解，取其是最小值为近似真实解；或者以上、下限解的平均值作为近似解。,7-1 虚功率原理,设有一组应力分量 它们在物体V内满足平衡微分方程,在面力已知的边界 ，满足静力边界条件,这组应力分量，称为静力可能的应力。静力可能的应力未必是真实的应力，因为真实的应力还需满足以应力表示的应变协调方程。但反之，真实的应力，必然是静力可能的。为了 区别真实应力，用 表示静力可能的应力。,相同地，设有一组速度分量 和一组应变率分量 ， 它们在物体内满足几何方程,在速度已知的边界 上，满足速度边界条件,这组速度称为运动可能的速度。运动可能的速度未必是真实的，因为真实的速度，还需在体内满足以速度表示的平衡微分方程，在面力已知的边界上，须满足以速度表示的静力边界条件。但反之，真实的速度必定是运动可能的。,运动可能的速度和应变速度分别用 和 表示。,对于上述的静力可能的应力和运动可能的速度及其对应的应变速度，有以下的恒等式：,上式所揭示的功率关系，称为变形体的虚功率原理。它可以表述为：在物体上，外力在任意一组运动可能速度上作的功率，等于任意一组静力可能的应力在与上述运动可能速度所对应的应变速度上所作的功率。,若忽略体力，且考虑平面应变问题时，则上式虚功率原理就成为教材的式7-1a，如果存在速度间断面，则虚功率公式为,7-2 上、下限定理 可以证明：,下限定理，由静力可能的应力场求得的荷载 是真实解的一个下限近似值。,上限定理，由运动可能的速度场求得的荷载 是真实解的一个上限近似值。,下面就用静力法和机动法求解图示的一次超静定梁的塑性极限荷载。,材料为理想刚塑性的，梁为等直梁，塑性 极限弯矩为,解：先用机动法求解,对一图，外力功率为,内力功率为,由变形几何关系，,根据外力功率与内力功率相等条件,得,同理对二机动场,对三机动场,可得,静力法,解：将D点约束解除，代 之以约束反力R。,由力平衡条件,当,可得,达到极限弯矩时，,试采用虚功率原理，根据上、下限定理，用Tresca屈服条件，求半径为b，受均布荷载q作用，周边固支的圆板塑性极限荷载，材料假定为理想刚塑性的。,解：在周边固支的圆板中，板中心 部分的径向和环向弯矩都是正 值，在靠近边界支承部分的径 向弯矩