任意角和弧度制及任意角的三角函数.ppt

,问题提出,1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？,答：一个是静的，一个是动的。用动的更合理，因为静止是相对的，运动是绝对的。,三、1、问有没有361角？与1有什么异同？能举出现实生活中的例子来理解吗？即它是有现实根据的，是来源于现实的。,2、能不能说361就是1即361=1？为什么要区分361、1？,答：361、1隐含的过程和意义是不同的，虽然这种过程和意义对事物的效果即结果都是一样也就是都回到原来位置，我们区分361、1并不是区分这种意义的效果即结果而是区分这种过程和意义。比如361是转了一圈又回到1的位置，我们要把这种区别区分开来，如果不区分那很不容易表达一些现象。这种区分有现实意义。 比如：过去我们学习了0360范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体1080”、“转体1260”这样的解说再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是0360范围内的角.因此，仅有0360范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广。,2、旋转有几个方向？既然旋转有方向，那我们可以规定。你能说出这种规定它的现实来源吗？即为什么要规定正角、负角？即规定正角、负角对现实世界的解释是不是更容易清晰？,答：规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角。还是体操、钟表、跳台等等的例子。 比如如果分负角正角当我们看到-300 就知道是顺时针旋转，300 就是逆时针旋转，如果不分正角、负交当看到300 我们就不知道是逆时针还是顺时针，即对现实世界的解释就不会这么清晰。,3、这样子角的范围变的多大？称做什么角？任意角的分类与实数的分类有什么关系？,答：负无穷到正无穷。任意角。相似。,思考6：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？,120，450.,2、旋转有几个方向？既然旋转有方向，那我们可以规定。你能说出这种规定它的现实来源吗？即为什么要规定正角、负角？即规定正角、负角对现实世界的解释是不是更容易清晰？,答：规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角。还是体操、钟表、跳台等等的例子。 比如如果分负角正角当我们看到-300 就知道是顺时针旋转，300 就是逆时针旋转，如果不分正角、负交当看到300 我们就不知道是逆时针还是顺时针，即对现实世界的解释就不会这么清晰。,1、为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，你想想角的顶点该在哪里，始边该在哪里？，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？,2、如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50，405，210, -200，450分别是第几象限的角？,3、锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？,4、第二象限的角一定比第一象限的角大吗？,答：象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.,1、终边相同的角比如与1角有多少个？他们有规律吗？能用符号把他们表达出来吗？,2、1还可以改为多少度？k360几何意义是什么？k180,k90几何意义是什么？,3、能从简单具体例子推广为一般吗？,4、写出终边在y轴上角的集合，有规律吗？ 先看书的解法，繁不繁？难不难？抽象不抽象？它是从代数角度来解的。有直观的几何角度的解法吗？,5、用上面直观的几何角度的解法解出终边在坐标轴上角的集合，有规律吗？。写出终边在直线y=x上的角的集合S，有规律吗？并把S中适合不等式-360到720的角找出来。,6、第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？,7、如果是第二象限的角，那么2、/2分别是第几象限的角？,3、换个角度看问题： 2010-1-17睡觉的时候想到了把0到360推广为任意角的一个形象的比喻，就是0到360对于任意角是个受精卵，任意角有这个受精卵发育生成，那到底是如何发育生成，就是逆时针旋转整数圈，顺时针旋转整数圈。 所以在解终边在y轴上角的集合时，这样的角有无数个，但有什么角发育生成，如何发育生成。即有90或270发育生成，那如何发育生成，就是逆时针旋转整数个半圈，或顺时针旋转整数个半圈。 同理，对于写出终边在坐标轴上角的集合，可以有0或90或180或270这个受精卵发育生成，如何发育生成就是逆时针或顺时针旋转整数个1/4圈。 对于终边在直线y=x上角的集合也一样。 还有就是没有时间写出终边在第一象限或第二象限或第三象限或第四象限的角的集合。这些集合也可以用上述思路来分析。比如终边在第一象限角的集合有0到90这个受精卵发育生成，那如何发育生成？就是旋转整数圈。 事物的发生发展可以有一个形象的比喻就是人有受精卵发育生成，如何发育生成学了生物就知道，道德经里的一句名言：“道”生一，一生二，二生三，三生万物。受精卵相当于“道”。,二、1、大家知道不知道度量一个物体的长短或路程的远近我们是怎么说的？,答：多少米，多少公里。,2、大家知道1米是多长？度量长度有几种单位制？相互之间转换知道吗？度量重量有几种单位制？相互之间转换知道吗？,答：米、英尺、码。千克、磅。可以百度。以下转换来自百度： 米：等于氪-86原子的2p10和5d5之间跃迁所对应的辐射在真空中的1,650,763.73个波长的长度。 1英尺(呎) = 12 英寸(吋) = 30.48 厘米。关于英尺的来历： 正如如同英尺的英文单词意义一样，foot,简称 ft ， 古英国时期因为没有国际公认的度量单位，所以人们往往使用自己的脚来测量实地的面积，久而久之，一种基于成年男子单脚的长度就被公认为英国等国家人可得标准度量衡。德国人出了一招，让最早从教堂出来的16个男子量出左脚的长度加在一起，再除以16，商就是一尺。 码：英制长度单位,美制码等于0.9144米,在英国,则1码等于保存在威斯敏斯特商务部标准局的青铜棒两个金塞子上横线标记之间的距离(在62癋时) yard (缩写yd) 磅：英美制重量单位，1磅等于0.45359237千克。,3、为什么会有多种单位制？单位制的本质是什么？,答：一是各个国家历史原因，二是每个单位制各有千秋。 为了度量物体的长短、轻重、大小我们只能先规定一个单位是什么东西，然后让物体跟这个单位比较看看有多少个单位，这就是单位制的本质。,4、角的单位制是什么？是如何规定的？这种规定有什么优劣？如果有劣该如何？,复习,1、1的角是怎样规定的？,2、什么叫角度制？,规定周角的1/360叫做1度的角。,用度作单位来度量角的单位制叫做角度制。,3、角度制的单位是什么？,“度”（即“ ”） 不能省略,4、弧长公式,思 考,由角度制的定义我们知道,角度是用 来度量角的, 它与圆的半径大小无关. 但 是角度制的度量是60进制的,运用起来不 太方便, 那么, 我们由弧长的计算公式是 否也能够找到一个与半径无关的量,从而 用来度量角呢?,1、1弧度的角长度为半径的弧所对的圆心角。,一、弧度制,2弧度：,当圆心角为周角时，它所对的弧（即圆周）长 ，所以周角的弧度数是,例如：sin ,sin2 。,2、推广：,正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数， 零角的弧度数是0；,角的弧度数的绝对值 （其中l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径。）,3、以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。,用弧度表示角的时候，“弧度”二字或“rad”可以省略。,但是要弄清其含义，不能混淆。,想一想,如果圆心角表示一个负值，且它所对的弧长为 ，这个圆心角的弧度数是多少？,(1). 弧长公式：,(2). 扇形面积公式,4、公式,类比于三角形面积公式,二、角度与弧度的换算：,1、把角度换成弧度：,总结,2、把弧度换成角度：,总结,带 者 常 可 用 来180 代 换； 不 带 者 可用 其 弧 度 数 乘 以57.30 来 求近似 值。,三、例题：,表2：,表1：,150,210,15,120,135,-36,-450,-240,这些是基础的基础还不算高中基础知识基本技能，知道这些是考不上专科的,例4、（1）写出终边在y轴上角的集合（用弧度制表示）,（2）设 是第三象限的角，试讨论 是哪个象限的角,注意：（1）用弧度制表示终边相同角的一般式,（2）在同一个问题求解过程中，两种单位不能混用,一、1、我们还记不记得在高中是如何重新学习函数的？ 同学们,我跟你们讲一件事情。就是著名教育家朱永新的故事。2009年暑假我到海门参加他的新教育实验会，我看了他的报告。朱老师把全国老师看的清清楚楚。朱老师为什么能把全国老师看的清清楚楚，因为他站的角度与他人不一样，站的高度很高很高。比如谁可以把温州人民看的清清楚楚，那这个人可以当温州市市委书记，把浙江人民看的清请楚楚，那这个人可以当浙江省委书记，把全国人民看的清请楚楚，那这个人可以当国家主席。人只有站在较高一个层次才能看清较低层次的事情。把国家看的清请楚楚的人一定可以把浙江人民看的清请楚楚，把浙江人民看的清请楚楚的人，一定可以把温州人民看的清请楚楚。反之不一定。我再举例子，你把高等数学看的清清楚楚，只要你愿意，你就可以把初等数学看的清清楚楚。但你把初等数学看的清清楚楚，高等数学也不一定看的清清楚楚。我在某一程度上可以把小学、初中、数学看的清清楚楚，但对高等数学看不清清楚楚。,我画一个图形给你们看。在你们面前有个正方形的盒子，没盖，里面有一只哈巴狗。当你的眼睛在盒子的面前，高度是你前面这个面的中位线中点，那你可以把这个盒子的前面看的清清楚楚，但这只哈巴狗你看不见。接下去我们这样，我们改变眼睛的角度与高度，把眼睛上升，上升到眼睛还是在前面这个面的前面，但高度上升到盒子上面那个面的上面，这时，我们依然把前面这个面看的清清楚楚，但发现了许多新东西，比如我们看到了盒子里有只哈巴狗。所以改变角度，上升高度，原来的事情依然可以看的清清楚楚，并且把发现的新东西也可以看的很清楚。我为什么要讲这些东西，因为我们今天学习函数的概念。比如浙江省委书记把温州看的清清楚楚，但同时发现了宁波、杭州的新东西。,a,答案,初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三角函数的呢？,y,x,思考1 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,o,a,r,换个角度看问题,以原点O为圆心，以单位,长度为半径的圆，称为单位圆.,高度一样，角度不同，即特殊情况。为什么对以后的后续学习有帮助。即让点P落在特殊的地方，这特殊的地方在哪里？,再换个角度看问题,设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,规定:（1） 叫做 的正弦，记作 ，即 ；,（2） 叫做 的余弦，记作 ，即 ；,（3） 叫做 的正切，记作 ，即 。,注意：正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.,推广为任意的象限,1、把全国人民看的清清楚楚难不难？我说有没有人把高一（3、4）班同学看的清清楚楚？看清楚了可以当班级的什么干部？,2、只有政治家把全国人民看的清清楚楚吗？文学大文豪曹雪芹把封建社会看的清清楚楚，他的红楼梦就是,3、有的同学可能会问，在每个象限三角函数的定义比如正弦、余弦、正切都是一样，那是不是每个象限三角函数值也一样。我们一个个分析下正弦、余弦、正切。,8、在对三角函数定义教学的时候你们可能提出，正弦、余弦、正切为什么要这样定义，那样定义不行吗？,回答：可以，数学的本质在於它的自由. 康扥尔(Cantor)。但数学上概念的定义不是胡来，而是要能跟现实吻合，能解决现实问题。,R,R,几个特殊角的三角函数值,这些是基础的基础还不算高中基础知识基本技能，知道这些是考不上专科的,探 究 2,+,-,-,+,-,-,+,+,-,+,-,数形结合,这些结论都不用死记硬背而是根据定义自然而然的得出。,思考6：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,？,思考6：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）,公式作用：可以把求任意角的三角函数值， 转化为求 角的三角函数值 .,？,三角函数线,1、同学们比较一下，代数与几何哪一种抽象？哪一种直观？直观有什么好处？,2、三角函数属于代数，今天我们就把三角函数直观化。如何直观化？我们先学习一个概念：有向线段。,3、顾名思义有向线段就是：,有方向的线段。,有向线段的概念: 坐标轴是规定了方向的直线，线段也可以规定方向，如x轴上线段AB，可以规定从A到B，也可规定从B到A这样两种相反方向，与y轴平行的线段CD也可以规定两种相反方向:从点C到D或从点D到C。如果线段的方向与坐标轴正向一致，就说它是正的，否则就说它是负的，并表示为AB=3，BA=-3。,5、有向线段特点与平时线段的异同，包括内含与记号的异同？符号是形象生动还是会混淆？同学们，这些符号是数学家创造的，数学家个个是天才,1+1=2也是数学家创造的。,答：即有方向又有大小，平时线段只有大小。AB=3,BA=-3,|AB|=3,6、为什么有向线段可以把三角函数直观化？,答：方向属于几何，大小属于代数。所以有向线段是代数连接几何的纽带。,3.公式 ， ， ( ).其数学意义如何？,终边相同的角的同名三角函数值相等.,思考2：若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 ， 都是负数，此时,还成立吗？,思考4：由上分析可知，当角为第一、三象限角时，sin、cos可分别用有向线段MP、OM表示，即MP=