学案4一元二次不等式及其解法.ppt

开始,学点一,学点二,学点三,学点四,1.一般地， . 叫做一元二次不等式. 2.一元二次不等式的一般表达形式为 . ,其中a,b,c均为常数. 3.一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式： （1） (a0); （2） （a0）. 上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax2+bx+c=0的根确定.设=b2-4ac,则：,ax2+bx+c0 (a 0)或ax2+bx+c0(a0),ax2+bx+c0,ax2+bx+c0,含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式,0时，方程ax2+bx+c=0有两个 的实数根x1, x2,设x1x2,则不等式（1）的解集为 ,不等式（2）的解集为 ； =0时,方程ax2+bx+c=0有两个 的实数根,即x1=x2,此时不等式（1）的解集为 ,不等式（2）的解集为 ； 0时，方程ax2+bx+c=0无实数解，则不等式（1）的解集为 ；不等式（2）的解集为 .,不等,(-,x1)(x2,+),(x1，x2),相等,(-, )( ,+),实数集R,空集,空集,学点一 一元二次不等式的解法,求下列不等式的解集： （1）-2x2+x+ 2x-3; （4）x22x-1; （5）3x2+53x.,【分析】利用一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式的关系解不等式.,【解析】,【评析】一般地，解一元二次不等式，应先整理成ax2+bx+c0（或0，然后通过判别式判断相应方程ax2+bx+c=0的根的情况，求出方程的根，最后可在草稿纸上画出示意图，写出解集.,解：原不等式可变形为（x-a）(x-a2)0， 则方程（x-a）（x-a2）=0的两个根为x1=a，x2=a2. 当a0时，有aa2，xa或xa2, 此时原不等式的解集为x|xa或xa2； 当0a1时，有aa2,xa2或xa, 此时原不等式的解集为x|xa2或xa; 当a1时，有a2a,xa或xa2, 此时原不等式的解集x|xa或xa2； 当a=0时，有x0，,解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a30.,原不等式的解集为x|xR且x0； 当a=1时，有x1， 此时原不等式的解集为x|xR且x1. 综上可知当a0或a1时，原不等式的解集为x|xa或xa2； 当0a1时，原不等式的解集为x|xa2或xa; 当a=0时，原不等式的解集为x|x0； 当a=1时，原不等式的解集为x|x1.,学点二 一元二次不等式恒成立问题,已知不等式mx2-2x-m+10. (1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围； (2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立，求x 的取值范围.,【分析】(1)由于二次项系数含有字母，所以首先讨论m=0的情况，而后结合二次函数图象求解. （2）转换思想将其看成关于m的一元一次不等式，利用其解集为-2，2求参数x有范围.,【解析】,【评析】（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数. （2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在下方.,若关于x的不等式 2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.,解:,学点三 含参数的不等式的解法,解关于x的不等式x2-(a+1)x+a0.,【分析】由于涉及参数字母，要分类讨论.,【解析】原不等式整理得(x-a)(x-1)0. 原不等式可转化为下面两个不等式组来解：,当a1时，原不等式的解集为x|xa或x1或xa; 当a=1时，原不等式的解集为x|xR且x1.,【评析】当得出 后，由于a与1的大小不确定，为了使问题能够顺利解下去，应对a与1的大小关系进行讨论，讨论时，不要忽略“a=1”这种情况.,解关于x的不等式：2x2+ax+20.,解：,学点四 根的分布,【解析】,关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2，求实数m的取值范围.,图3-4-1,【评析】本题是一元二次方程的实根分布问题，充分反映了一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集三者之间的密切关系，是一个应用数形结合思想解题的典型实例。,设aR，关于x的一元二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两实根x1,x2,且0x11x22,求a的取值范围.,解：,1.一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系是怎样的？ 当a0时，一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的关系如下表：,x|xx2, xR|x ,2.如何解含参数的不等式？ 对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准.一般地，对于一元一次不等式，划分的标准是一次项系数大于0、等于0、小于0.对于形如ax2+bx+c0的不等式划分标准有几种类型： （1）a0,a=0,a0,=0,x2,x1=x2, x1x2. 以上三种都有可能作为解含参数的二次不等式分类讨论划分的标准.而对于含参数的绝对值不等式,讨论符号可以作为划分的标准.掌握划分标准后,就可以对不同范围的参数分别解不等式,但每一类参数对应的不等式的解都是原不等式的解的一种可能,它们之间是独立的,因而不能把不同参数下的解集求并集.这些一定要注意.,1.一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是使二次函数y=ax2+ bx+c的函数值为零时对应的x值;一元二次不等式ax2+bx+c0