微分方程应用举例.ppt

,第六节 微分方程应用举例,一、微分方程的建立与应用,二、几何问题的简单方程模型,三、力学问题的简单方程模型,华南理工大学数学科学学院 杨立洪 博士,一、微分方程的建立与应用,1用微分方程解决实际问题的一般过程：,（3）利用求得的解说明它所反映的事实。,（2）求解微分方程；,相应的初始条件；,（1）建立微分方程，并根据实际问题提出,微分方程。,（2）间接法：通过微元分析或数学运算确定,微分方程；,（1）直接法：利用有关的科学定律直接写出,2建立微分方程的常用方法：,（3）电学问题：利用电学中的原理。,条件等；,（2）力学问题：利用牛顿第二定律，力的平衡,（1）几何问题：利用导数与积分的几何意义；,3分类,二、几何问题的简单方程模型,利用微分方程处理有关几何问题时，导数与积分的几何意义常常是建立微分方程的依据，具体表现在：在解决问题过程中，常常用到切线斜率、面积、体积、弧长等计算公式。,解,设所求曲线 ；在曲线上任取一点,令 ，得 ，故点 ；,由题设， ，即,例1 求过定点A (0,a)的曲线，使它的切线MT与X轴的交点T到切点M的距离等于切线在X轴上的截距OT的长。,；,M(x, y)，作切线,；,两边积分得,即 故 ，这是一族与X轴,再由 ，得 ，故所求曲线方程为,。,相切于原点的圆族。,化简得：,例2 试在第一象限中求一光滑曲线，使，并且使曲线上任一点处所作X轴的垂线，与两坐标轴以及曲线本身所围图形的面积值，等于这段曲线的弧长值。,设M(x,y)为曲线上任意点，A(0,1)为曲线y,解,两边对 求导，得：,轴的交点。,将 代入上式，得C1，故所求曲线为,即,这是可分离变量方程，解之得：,，,.,三、力学问题的简单方程模型,设降落伞的质量为 ，下落速度为 。降落,用。重力大小为 ，方向与 一致；阻力大小为,（ 为比例系数），方向与 相反。所以降落伞,所受总外力为,伞在空中下落时，受到重力P与阻力R的共同作,解,例3 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，若降落伞离开跳伞塔时（t=0）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。,该微分方程是可分离变量的方程，分离变量后，,根据牛顿第二定律，函数满足方程,整理后，得所求特解为,即,两端积分,按题意，初始条件为,（2） 是时间 的单调增函数；,（1）0 ；,（3）当 时， ，称为极限速度。,可见，在下落阶段，降落伞是加速运动，但随着,时间推移，而逐渐接近于匀速运动。,度有如下规律：,从特解的函数关系式可以看出，降落伞的下落速,设在海拔 米处每平方厘米的大气压力为P。,其中 为大气密度，又由于大气压力与大气密,（ 为比例常数），,例4 设在海平面上每平方厘米大气压力为9.8N，海拔高度为500m时，每平方厘米大气压力为9N，求大气压力与海拔高度的关系。,成正比，即,等于该空气柱的重量，即,根据力的平衡条件知，大气压力的改变量,解,，,_,_,取一底面积为单位面积，高为 的空气柱，,分离变量，并积分得,其中 。,由题设 ，代入上式得,。,因而得大气压力与海拔高度的关系为,于是，大气压力满足方程,1本节通过例题介绍微分方程在几何，力学,小结：,过程及建立微分方程的方法。,2要求掌握用微分方程解决实际问题的一般,问题中的应用；,重点：,压强、压力。,2力学问题：牛顿第二定律、力的平衡条件、,比例关系；,1几何问题：切线、面积、弧长、体积、距离、,主要题型：,建立微分方程所涉及到的其他知识。,难点：,微分方程在几何、力学中的应用。,课堂练习,1质量为100 的物体在力的作用下作直线运动，此力与时间成正比，与物体运动速度成反比，已知当 秒，速度为8米秒，力为 ，问什么时刻物体的速度为12米秒？,由牛顿第二定律知，Fma，,由得C63，特解为V2=t2+63，再令V12(米/秒),1解,故 ， 为通解。,课堂练习题解,代入得t9秒。,从而得,自测题,1解,由 得 ，故所求曲线为,自测题题解,。,这是一阶线性非齐次方程，其通解为,依题