抛物线的简单几何性质(第一课时).ppt

2.3.2 抛物线的简单几何性质（1）,复习,你认为这个标准方程对应的抛物线还有什么几何性质呢?,标准方程,图形,结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质: (1)范围 (2)对称性 (3)顶点,类比探索,x0,yR,关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.,抛物线和它的轴的交点.,(4)离心率 (5)焦半径 (6)通径,始终为常数1,通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。,特点,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐 近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程.,例1 已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2, ),求它的标准方程.,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m0)(x2=2my (m0),可避免讨论,法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);,解这题,你有什么方法呢?,例2 斜率为l的直线经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长,法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);,法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.,法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.,还有没有其他方法?,例2 斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.,y2 = 4x,解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1,例2 斜率为l的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.,y2 = 4x,解法二:由题意可知,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷,变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切,证明：如图,所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切,设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，,则AFAD，BFBC,AB AFBF ADBC =2EH,练习: 1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y- 12=0上，那么抛物线通径长是_. 2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线 截得的弦长为_ 3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线 AB的方程.,y2 = 8x,X=3,例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.,x,O,y,F,A,B,D,例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。,x,y,O,F,A,B,D,小 结,1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性