正态分布及其性质.ppt

第四章 正态分布,第一讲 正态分布及其性质,概率论与数理统计课程教学团队,第一讲 正态分布及其性质,一、正态分布 二、标准正态分布 三、正态变量的线性组合 四、小结,一、正态分布,高斯资料,1、定义,2、正态概率密度函数的几何特征,决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,3、正态分布的分布函数,正态分布分布函数图形演示,4、 正态分布的期望与方差,则有,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.,5、正态分布的应用与背景,正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的. 事实上如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布. 正态分布可以作为许多分布的近似分布. 正态分布有许多其它分布所不具备的良好的性质.,各种测量的误差；人的生理特征指标； 工厂产品的尺寸；农作物的收获量； 海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度；学生们的考试成绩等等.,若随机变量 受到众多相互独立的随机因素的影响，每,则 服从正态分布. 例如：,一个别因素的影响都是微小的，而且这些影响具有加性特征，,正态分布所能刻画的随机现象：,正态分布是概率论中最重要的分布，体现在以下方面：,6、正态分布下的概率计算,原函数不是 初等函数,方法一:利用MATLAB软件包计算(演示),方法二:转化为标准正态分布查表计算,正态分布由它的两个参数和唯一确定， 当和不同时，是不同的正态分布。,标准正态分布,下面我们介绍一种最重要的正态分布,标准正态分布的概率密度表示为,二、标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,1、定义,标准正态分布的图形,2、标准正态分布的概率计算,分布函数,利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概率计算问题。,解 查表知,所以有,例 设XN(0, 1)，求P(1X2)，P(X2.5).,= 0.9772(10.8413) = 0.8185.,P X 2.5 = 1( 2.5 ),解 P( 1X2 ),= ( 2 )( 1 ),= ( 2 )1( 1 ),= 10.9938 = 0.0062.,(3)正态分布的标准化：,3、一般正态分布的概率计算,分布函数,在求解一般正态分布的概率计算问题时，先将其转化为标准正态分布问题，然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概率计算问题。,解,4、标准正态分布的分位数,标准正态分布双侧分位数的意义如图1所示 .,双侧分位数的计算方法：,查标准正态分布函数值表便可得,也可直接查依据上式编制的标准正态分布双侧分位数表。,由定义知,标准正态分布上侧分位数的意义如图2所示.,上侧分位数的计算方法： 由定义知,查标准正态分布函数值表便可得,也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位数.,例3,(1) 所求概率为,解,例4,正态随机变量的重要性质：两个或多个相互独立的正态随机变量的线性组合仍是正态随机变量。,三、正态随机变量的线性组合,例5 随机变量X和Y相互独立且XN(1,2), YN(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度.,故X和Y的任意线性组合是正态分布.,解: XN(1,2), YN(0,1)，且X与Y独立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9,E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5,即 ZN(E(Z), D(Z),ZN(5, 32),四、小结,1、正态分布 2、标准正态分布 3、正态随机变量的线性组合,相互独立正态随机变量线性组合的分布,正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量 误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常 情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度, 炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态 分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最 为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小 的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般 是一个正态随机变量.,4、正态分布是概率论中最重要的分布,另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布)的极 限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理 论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布.,二项分布向正态分布的转换,Born: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany) Died: 2