质点动力学的基本方程1.ppt

,Theoretical Mechanics,第十章 质点动力学的基本 方程,主讲教师 陈云信,返回首页,Theoretical Mechanics,引 言,第三篇 动 力 学,动力学研究物体的机械运动与作用在该物体上的力之间的关系。 在研究动力学问题中一般选取牛顿的运动三定律作为动力学的基础，并称之为牛顿定律或动力学基本定律。,Theoretical Mechanics,力学模型质点、刚体和质点系,质点：只有质量而无大小的物体。,刚体：有质量、不会变形的物体。,质点系：由若干个质点组成的、有内在联系的系统。,在下面两种情况下，可以把物体视为质点： 物体作平移的时候； 当物体的运动范围远远大于它自身的尺寸、忽略其大小对问题的性质无本质影响的时候。,引 言,第三篇 动 力 学,返回首页,Theoretical Mechanics,动力学主要研究以下两类基本问题,已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力； 已知作用于物体上的力，求此物体产生什么样的运动。,引 言,第三篇 动 力 学,返回首页,动力学正问题已知运动的原因，求运动的结果。 动力学反问题已知运动的结果，求产生运动的原因。,即,Theoretical Mechanics,第十章 质点动力学的基本方程,目 录,返回首页,10-1 牛顿定律 10-2 质点的运动微分方程 10-3 质点动力学的两类基本问题 10-4 质点系的基本惯性特征,Theoretical Mechanics,10.1 牛顿定律,10.1.1 牛顿定律,牛顿定律，是牛顿在自然哲学的数学原理中建立的描述物体机械运动的运动学三定律，亦称为动力学基本定律。,第一定律 任何质点如不受力作用，将永 远保持其静止或匀速直线运动状态。,定律定义了惯性参考系。涉及到了静止和匀速直线运动，也就涉及了参考系。,返回首页,Theoretical Mechanics,第二定律 质点作用时将产生加速度，加速度的方向与作用力的方向相同，其大小则与力的大小成正比，与质点的质量成反比。,质点的质量与其加速度的乘积等于作用在此质点上诸力的合力。 该定律表明， 质量是质点惯性的度量。,如果在质点上同时作用了几个力，该质点所产生的加速度则取决于这些力的合力的大小和方向。式为,10.1 牛顿定律,10.1.1 牛顿定律,返回首页,Theoretical Mechanics,第三定律 任何两个质点间的相互作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且分别作用在这两个质点上。该定律也称为作用与反作定律。,该定律说明两个质点不论是静止平衡的，还是运动的，它们之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反。 牛顿定律的结论只有在惯性参考系才是正确的。,10.1 牛顿定律,10.1.1 牛顿定律,返回首页,Theoretical Mechanics,10.1 牛顿定律,10.1.2 惯性参考系,惯性参考系：以太阳为原点，三个坐标轴指向三个恒星的日心参考系是惯性参考系。,如果在地球的引力场内，研究人造地球卫星、大气流动、洲际导弹等等的机械运动，忽略掉地球公转的加速度，只考虑地球自转的影响。选择以地心为原点，三个坐标轴指向三个恒星的地心参考系是惯性参考系。,返回首页,Theoretical Mechanics,如果只限于地球表面及其邻近范围的机械运动，对于绝大多数的工程问题来说，研究对象的加速度一般都要比地球自转而使之产生的附加的加速度大很多，倘若要求的精度不很高，为了计算简便，可选择地面参考系。忽略掉地球自转，选择地球参考系为惯性参考系。地球参考系有时也叫地面参考系。 如不特别指明，均采用地球参考系作为分析计算的标准。,10.1 牛顿定律,10.1.2 惯性参考系,返回首页,Theoretical Mechanics,10.1 牛顿定律,10.1.3 单位制和量纲,牛顿力学涉及了许多物理量，每个要用一个对应的单位来度量。,统一约定某几个物理量的单位是独立确定的，这几个物理量称为基本量，它们的单位称为基本单位；,基本单位,其余的物理量称为导出量，它们的单位由基本单位推演出来，称为导出单位。,导出单位,返回首页,Theoretical Mechanics,量纲：为了表明导出量与基本量的关系，通常将各导出量用基本量的组合形式表示出来，这种基本量的组合形式称为导出量的量纲。,在国际单位制中 长度、质量、时间是基本量，它们的量纲分别用 L、M、T表示，,量纲与其单位是物理量的两个方面，物理量的量纲是一定的，它的大小却可以用不同的单位来度量,量 纲,加速度、力是导出量，它们的量纲分别是,10.1 牛顿定律,10.1.3 单位制和量纲,返回首页,Theoretical Mechanics,10.2 质点的运动微分方程,设一质量为m 的质点受到力F1，F2，Fn作用,沿某曲线轨迹运动。根据牛顿第二定律，得三种形式的微分方程,自然坐标形式,直角坐标形式,矢径形式,返回首页,Theoretical Mechanics,10.3 质点动力学的两类基本问题,质点动力学的第一类基本问题，是已知质点的运动，求解此质点所受的力。 质点动力学的第二类基本问题，是已知作用质点上的力，求解此质点的运动。,返回首页,Theoretical Mechanics,10.3 质点动力学的两类基本问题,例 题,解：这是典型的动力学第一类基本问题。从运动方程中消去时间，得此质点的轨迹方程：,例10-1 质点M的质量为m，运动方程是， 其中b、d、为常量，求作用在此质点上的力。,返回首页,Theoretical Mechanics,力F与矢径r共线、反向，这表明，此质点按给定的运动方程作椭圆运动.,作用在此质点上的力在轴上的投影为,10.3 质点动力学的两类基本问题,例 题,返回首页,Theoretical Mechanics,例10-2 在均匀的静止液体中，质量为m的物体M从液面处无初速下沉。设液体阻力FR = ，其中 为阻尼系数。试分析该物体的运动规律及其特征。,解：为建立质点 M 的运动微分方程,将参考坐标系的原点固结在该点的起始位置上，x 轴铅直向下。该质点的受力图如图，则质点M的位移、速度、加速度均设为沿x 轴的正方向。则运动微分方程为,FR,10.3 质点动力学的两类基本问题,例 题,返回首页,Theoretical Mechanics,FR,令,这就是该物体下沉的运动规律。,运动的起始条件为：t = 0时，v0 = 0，x0 = 0,10.3 质点动力学的两类基本问题,例 题,返回首页,Theoretical Mechanics,该物体下沉速度将趋近一极限值,这个速度称之为物体在液体中自由下沉的极限速度,讨论：由此可以看出在阻尼系数基本相同的情况下（即物体的大小、形状基本相同时），物体的质量越大，它趋近于极限速度所需的时间越长。工程中的选矿、选种工作，就是应用了这个道理。,10.3 质点动力学的两类基本问题,例 题,返回首页,Theoretical Mechanics,运动的起始条件为,FR,选择原点O在液体底部，x 轴铅直向上坐标系。 仍按 x 轴的正向画出。运动微分方程为,在任一瞬时，该物体的速度v为负值，即沿x轴的负向- 铅直向下，与第一种解法是一致的。至于运动规律，通过坐标变换，这两种解法也是一致的。,10.3 质点动力学的两类基本问题,例 题,返回首页,例10-3 小球质量为m，悬挂于长为L 的细绳上，绳重不计。 小球在铅垂面内摆动。小球在最低处时速度为vo ， 摆到最高处时小球的速度为零，且绳与铅垂夹角为o 。 求：1 小球在最低处A和最高处B时绳子的拉力。 2小球在绳子与铅垂成任意夹角时的速度。,10.3 质点动力学的两类基本问题,例 题,10.3 质点动力学的两类基本问题,例 题,10.3 质点动力学的两类基本问题,例 题,10.3 质点动力学的两类基本问题,例10-4 图示套管A的质量为m, 受绳子牵引沿铅直杆向上滑动.绳子的另一端 绕过滑轮而缠绕在鼓轮上.当鼓轮转动时, 其边缘