误差分布与精度指标.ppt

空间数据误差处理,Surveying Adjustment,第二章 误差分布于精度指标,2-1 随机变量的数字特征 2-2 正态分布 2-3 偶然误差的规律性 2-4 衡量精度的指标 2-5 精度、准确度与精确度 2-6 测量不确定度 小 结,2-1 随机变量的数字特征,一、数学期望E(X) 表示变量集中位置 性质 E (C ) = C （ C 为常数） E (CX ) = CE (X ) 设X ，Y 是两个随机变量： E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ),2-1 随机变量的数字特征,二、方差D(X) 表示随机变量偏离集中位置的离散程度 性质 D (C ) = 0 (C 为常数) D (CX ) = C2D (X ) D (X + C ) = D (X ) 设X ，Y 是两个相互独立的随机变量 D (X + Y ) = D (X ) + D (Y ),计算方差的公式：DX=E (X2) - E(X) 2,定义式：DX=E X-E(X) 2 ,2-1 随机变量的数字特征,三、协方差 表示两两随机变量X,Y相关程度 性质 cov (X , Y ) =E(XY)- E(X) E(Y) cov (X , Y ) = cov (Y , X ) cov (aX ,bY ) =ab cov (X , Y ) cov(X1+X2 ,Y)= cov (X1 , Y )+ cov (X2 , Y ),2-1 随机变量的数字特征,四、相关系数 性质：|XY| 1,01 正相关 =0 不相关 -10 负相关,2-2 正态分布,一、一维正态分布 1.定义：若连续型随机变量x的概率密度函数为 其中参数是数学期望，是标准差，则称x服从正态分布，记作,2-2 正态分布,2.数字特征 E(X)= D(X)=2,2-2 正态分布,3.性质 曲线在x轴上方,与x轴不相交. 曲线关于直线x=对称 在x=时位于最高点,2-2 正态分布,当一定时， 曲线的形状由确定。越大，曲线越“扁平”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“尖陡”，表示总体的分布越集中 拐点横坐标： x = E(x) = ,2-2 正态分布,4.3原则 P(- X +) 68.3% P(-2 X +2) 95.5% P(-3 X +3) 99.7%,X 的取值几乎全部集中在-3,3区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%,一般的将2或3作为极限误差。这是判断粗差的依据。,2-2 正态分布,二、n维正态分布 1.定义：设随机变量X=(x1,x2,.,xn)T，若X服从正态分布，则X为n维正态随机向量。n维正态随机向量X的联合概率密度为：,2-2 正态分布,2.数学期望,协方差阵,2-3 偶然误差的规律性,一、几个概念 1.真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用 表示 2.观测值：对某一量观测所得的值，用Li表示。 3.真误差：观测值与真值之差，用i表示。,2-3 偶然误差的规律性,4.观测向量：若进行n此观测，观测值：L1,L2,.,Ln则有下列表示：,观测值,真 值,真误差,2-3 偶然误差的规律性,二、偶然误差的分布特性 1.引例 例1.在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。,2-3 偶然误差的规律性,1.误差的绝对值有一定限值 2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差多 3.绝对值相等的正负误差的个数相近,2-3 偶然误差的规律性,误差分布曲线,面积= (vi /n)/d* d= vi /n=频率,(vi /n)/d,2-3 偶然误差的规律性,例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。,2-3 偶然误差的规律性,1.愈接近于零的误差区间，误差出现的频率愈大 2.随着离零愈来愈远，误差出现的频率递减 3.出现在正负误差区间内的频率基本相等,2-3 偶然误差的规律性,面积= (vi /n)/d* d= vi /n=频率,误差分布曲线,2-3 偶然误差的规律性,表 1,表 2,观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。,2-3 偶然误差的规律性,2.偶然误差的规律性 界限性：P(| 限)=0 小误差占优性： P(|小|)P(|大|) 对称性 抵偿性：E()=0 或,2-3 偶然误差的规律性,3.的密度函数 P() = f()d,误差出现在某 一区间内的概率,面 积,的概率密度公式：,N ( 0, 2 ),2-4 衡量精度的指标,0.665,0.492,表1的误差更接近零的附近，这一组误差分布的较为密集，或者它的离散度小。,表 1,表 2,一、精度,2-4 衡量精度的指标,表 1,表 2,2-4 衡量精度的指标,1.定义 精度指误差分布的密集或离散的程度，也就是指离散度的大小。 2.要点： (1)精度是用来描述偶然误差的，主要是指观测结果与数学期望的接近程度。可以从曲线的陡峭程度看出精度的高度。,2-4 衡量精度的指标,(2)一组观测值对应一种分布，所以这组观测值精度相同；不同观测值，分布不同，精度也就不同。,表 1,表 2,2-4 衡量精度的指标,3.衡量精度的方法 （1）直观法：分布表、直方图、误差分布曲线图 （2）精度指标：方差和中误差、平均误差、或然误差、极限误差、相对误差,2-4 衡量精度的指标,二、方差和中误差 1.定义 （1）方差：设在相同的观测条件下得到一组独立的观测误差i，则其方差的定义为,？,（2）中误差：方差的算数平方根定义为中误差，即： （3）如何衡量精度,2-4 衡量精度的指标,拐 = ,越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。,2-4 衡量精度的指标,2.理论值（定义值） 方差： 中误差：,2-4 衡量精度的指标,3.估值 方差： 中误差：,2-4 衡量精度的指标,三、平均误差 1.定义：设在相同的观测条件下得到一组独立的观测误差i，则其平均误差的定义为,平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值之极限值。,2-4 衡量精度的指标,2.平均误差与中误差的关系,2-4 衡量精度的指标,3.平均误差的估值,2-4 衡量精度的指标,四、或然误差 1.定义：当观测误差出现在(-，+)之间的概率等于1/2 时，即 ， 则称为或然误差。,2-4 衡量精度的指标,2.或然误差与中误差的关系 3.或然误差的估值计算 将相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，当为奇数时，取位于中间的一个误差值作为，当为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为或然误差。 在实用上，通常都是先求出中误差的估值，然后关系式求出或然误差。,2-4 衡量精度的指标,中误差、平均误差、或然误差 当n不大时，中误差比平均误差更能灵敏的反映大误差的影响 中误差有明确的几何意义 平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系,世界上各国采用中误差作为衡量精度的指标， 我国也采用中误差作为衡量精度的指标。,分布曲线的拐点坐标,2-4 衡量精度的指标,例1.为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角= 450000，作12次观测，结果为： 450006 445955 445958 450004 450003 450004 450000 445958 445959 445959 450006 450003 设没有误差，试求观测值的中误差、平均误差和或然误差。,2-4 衡量精度的指标,2-4 衡量精度的指标,例2：为了比较两架经纬仪的观测精度，分别对同一角度进行了30次观测，观测结果见课本表2-3，。改角已预先用精密经纬仪测定，其值为764218.0。设将此值作为改角的真值。试计算这两架经纬仪的中误差、平均误差和或然误差。,2-4 衡量精度的指标,解：根据表2-3数据得： 12，12，12 第二台经纬仪的精度高,2-4 衡量精度的指标,四、极限误差 误差落在(-，+)，(-2，+2)，(-3，+3)的概率分别为 一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值限，并称为极限误差。,限 = 3,2-4 衡量精度的指标,中误差的统计意义 误差分布的离散度大小 对真误差做出区间估计,2-4 衡量精度的指标,五、相对误差 相对中误差，它是中误差与观测值之比 。在测量中一般将分子化为1，用 表示。 与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等称为绝对误差。,2-4 衡量精度的指标,例3：有一段距离，其观测值及其中误差为345.675m15mm。估计这个观测值的真误差的实际可能范围是多少？并求出它的相对中误差。 |3 |45mm，即-45mm45mm,2-4 衡量精度的指标,例4：观测了两段距离，分别为1000m2cm和500m2cm。问：这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？ 真误差不一定相等 中误差相等 相对精度不等,2-5 精度、准确度和精确度,一、精度（precious） 1.协方差 （1）XY =YX （2）当Y=X时， XY = 2X （3）独立性 XY = 0 时，X与Y不相关，也就是说X与Y相互独立。,2-5 精度、准确度和精确度,取值 理论值： 估值：,2-5 精度、准确度和精确度,2.观测向量的精度指标协方差阵,特点 对称矩阵 正定矩阵 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元素相等时，为等精度观测,为数量矩阵。,2-5 精度、准确度和精确度,例：观测向量 的协方差阵 试写出观测值L1,L2 和L3 的中误差以及协方差,2-5 精度、准确度和精确度,3.互协方差阵,两组观测值间精度指标,2-5 精度、准确度和精确度,（1）定义式 （2） （3）n = r = 1时，互协方差阵就是X关于Y 的协方差阵 （4）DXY = 0 时，X与Y是相互独立的观测向量,2-5 精度、准确度和精确度,二、准确度 1.描述系统误差和粗差 2.定义：观测值的真值与其数学期望之差 3.系统误差不存在： = 0,2-5 精度、准确度和精确度,三、精确度 1.描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，是一个全面衡量观测质量的指标。 2.衡量指标：均方误差 3.公式,2-5 精度、准确度和精确度,4.当 时 观测值中只存在偶然误差，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。,2-6 测量不确定度,一、测量数据的不确定性 广义的误差，包括偶然误差、系统误差和粗差。 范围：数据误差的随机性 数据概念上的不完整性及模糊性,2-6 测量不确定度,二、测量不确定度 衡量不确定性的指标（是标准不确定度） 1.定义： 真误差x绝对值的上界 U = SUP |x| 2.当x主要是系统误差影响时，定义为x的上下界： U1 x U2,2-6 测量不确定度,三、评定不确定度 1.已知x概率密度，利用估计： P( |x| U ) = p P( U1x U2 ) = p