2018_2019版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式复习课学案新人教A版.docx

第一讲 不等式和绝对值不等式复习课学习目标1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式1实数的运算性质与大小顺序的关系：abab0，abab0，abab0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可2不等式的基本性质(1)对称性：abba.(2)传递性：ab，bcac.(3)可加性：abacbc.(4)可乘性：如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc.(5)乘方：如果ab0，那么anbn(nN，n2)(6)开方：如果ab0，那么(nN，n2)3基本不等式(1)定理1：如果a，bR，那么a2b22ab(当且仅当ab时，等号成立)(2)定理2：如果a，b0，那么(当且仅当ab时，等号成立)(3)引理：若a，b，cR，则a3b3c33abc(当且仅当abc时，等号成立)(4)定理3：如果a，b，cR，那么(当且仅当abc时，等号成立)(5)推论：若a1，a2，anR，则.当且仅当a1a2an时，等号成立；(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求4绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式去绝对值符号常见的方法(1)根据绝对值的定义(2)分区间讨论(零点分段法)(3)图象法5绝对值三角不等式(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|ab|的几何意义表示数轴上两点间的距离(2)|ab|a|b|(a，bR，ab0时等号成立)(3)|ac|ab|bc|(a，b，cR，(ab)(bc)0时等号成立)(4)|a|b|ab|a|b|(a，bR，左边“”成立的条件是ab0，右边“”成立的条件是ab0)(5)|a|b|ab|a|b|(a，bR，左边“”成立的条件是ab0，右边“”成立的条件是ab0).类型一不等式的基本性质的应用例1“acbd”是“ab且cd”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析易得当ab且cd时，必有acbd.若acbd，则可能有ab且cd.反思与感悟利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想跟踪训练1如果aR，且a2a0，那么a，a2，a，a2的大小关系是()Aa2aa2aBaa2a2aCaa2aa2Da2aaa2答案B解析由a2a0知，a0，故有aa20,0a2a.故选B.类型二基本不等式及其应用例2已知abcd，求证：.证明abcd，ab0，bc0，cd0，(ad)(ab)(bc)(cd)339.反思与感悟不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式跟踪训练2设a，b，c均为正数，证明：(abab1)(abacbcc2)16abc.证明(abab1)(abacbcc2)(b1)(a1)(bc)(ac)222216abc，所证不等式成立例3若x，y，zR，x2y3z0，则的最小值为_答案3解析由x2y3z0，得y，则3，当且仅当x3z时取“”反思与感悟利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”跟踪训练3当0x时，函数f(x)的最小值为()A2B2C4D4答案C解析f(x).x，cos x0，sin x0.故f(x)2 4，当且仅当cos x2sin x0时，等号成立故选C.类型三含绝对值的不等式的解法例4解下列关于x的不等式(1)|x1|x3|；(2)|x2|2x5|2x.解(1)方法一|x1|x3|，两边平方得(x1)2(x3)2，8x8，x1.原不等式的解集为x|x1方法二分段讨论：当x1时，有x1x3，此时x；当1x3时，有x1x3，即x1，此时1x3；当x3时，有x1x3，x3.原不等式的解集为x|x1(2)分段讨论：当x时，原不等式变形为2x2x52x，解得x7，不等式的解集为.当x2时，原不等式变形为2x2x52x，解得x，不等式的解集为.当x2时，原不等式变形为x22x52x，解得x，原不等式无解综上可知，原不等式的解集为.反思与感悟含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解这种方法通常称为零点分段法跟踪训练4已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值解(1)当a2时，f(x)|x4|x2|x4|当x2时，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x1；当2x4时，f(x)4|x4|，得24，无解；当x4时，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以解得a3.类型四恒成立问题例5设函数f(x)|x1|x4|a.(1)当a1时，求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x4|1|x14x|14，f(x)min4.(2)f(x)1对任意的实数x恒成立|x1|x4|1a对任意的实数x恒成立a4.当a0时，上式成立；当a0时，a2 4，当且仅当a，即a2时上式取等号，此时a4成立综上，实数a的取值范围为(，0)2反思与感悟不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题当然，根据题目特点，还可能用变更主次元；数形结合等方法跟踪训练5已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集为x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范围解(1)由|ax1|3，得4ax2，f(x)3的解集为x|2x1，当a0时，不合题意又当a0时，x，a2.(2)令h(x)f(x)2f|2x1|2x2|，h(x)|h(x)|1，k1，即k的取值范围是1，).1给出下列四个命题：若ab，c1，则algcblgc；若ab，c0，则algcblgc；若ab，则a2cb2c；若ab0，c0，则.其中正确命题的个数为()A1B2C3D4答案C解析正确，c1，lg c0；不正确，当0c1时，lg c0；正确，2c0；正确，由ab0，得0，故.2设6a10，b2a，cab，那么c的取值范围是()A9c30B0c18C0c30D15c30答案A解析因为b2a，所以ab3a.又因为6a10，所以9,3a30.所以9ab3a30，即9c30.3不等式4|3x2|8的解集为_答案解析由4|3x2|8，得2x或2x.原不等式的解集为.4解不等式3|x2|4.解方法一原不等式等价于由得x23或x23，x1或x5.由得4x24，2x6.原不等式的解集为x|2x1或5x6方法二3|x2|43x24或4x235x6或2x1.原不等式的解集为x|2x1或5x61本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式的解法2重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式3重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题一、选择题1若ab，则下列不等式中一定成立的是()Aa2bB1C2a2bDlg(ab)1答案C解析y2x是增函数，又ab，2a2b.2设a，b为正实数，以下不等式恒成立的为()；a|ab|b；a2b24ab3b2；ab2.ABCD答案D解析不恒成立，因为ab时取“”；恒成立，因为a，b均为正数；是恒成立的，因为ab22.3若ab，b0，则下列与ba等价的是()Ax0或0xBxCx或xDx或x答案D解析ba，当x0时，bx1ax，解得x；当x0时，bx1ax，解得x，故选D.4不等式|x3|x3|3的解集是()A.B.Cx|x3Dx|3x0答案A解析由无解；由得x3；由得x3.综上，不等式的解集为.5“a4”是“对任意实数x，|2x1|2x3|a成立”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案B解析|2x1|2x3|2x1(2x3)|4，当a4时|2x1|2x3|a成立，即充分条件成立；对任意实数x，|2x1|2x3|aa4，不能推出a4，即必要条件不成立二、填空题6若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围为_答案解析令f(x)，x0，x2，f(x)，当且仅当x，即x1时等号成立，即f(x)的最大值为.若使不等式恒成立，只需a即可7已知不等式|x2|x|a的解集不是空集，则实数a的取值范围是_答案2，)解析|x2|x|x2x|2，2|x2|x|2，不等式|x2|x|a的解集不是空集，a2.8定义运算“”：xy(x，yR，xy0)，当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_答案解析因为xy，所以(2y)x.又x0，y0，故xy(2y)x，当且仅当xy时，等号成立9不等式(3|x|1)|x|3的解集为_答案x|13x13解析当x0时，不等式为(3x1)x3，解得13x0，当x0时，不等式为(3x1)x3，解得0x13，不等式的解集为x|13x1310若f(x)2|x1|x1|且f(x)2，则x的取值范围是_答案解析f(x)2x是增函数，f(x)2，即|x1|x1|，x1，x1，无解综上x.11已知函数f(x)|xa|，若不等式f(x)3的解集为x|1x5，则实数a的值为_答案2解析由f(x)3，得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2，所以实数a的值为2.三、解答题12已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)|x3|x2|当x2时，由f(x)3，得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3，得2x53，解得x4；所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|，当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a，由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,013(2017全国)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围解(1)f(x)当x1时，f(x)1无解；当1x2时，由f(x)1，得2x11，解得1x2；当x2时，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x，而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2.当且仅当x时，|x1|x2|x2x，故m的取值范围是.四、探究与拓展14已知关于x的不等式|2x1|x1|log2a(其中a0)(1)当a4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a的取值范围解(1)令f(x)|2x1|x1|，当a4时，f(x)2，当x时，f(x)x22，得4x；当x1时，f(x)3x2，得x；当x1时，f(x)x22，此时x不存在所以不等式的解集为.(2)设f(x)|2x1|x1|故f(