2018_2019学年高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案新人教A版.docx

四渐开线与摆线学习目标1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤知识点一渐开线思考把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数答案根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y)显然，点M由角惟一确定梳理圆的渐开线及其参数方程(1)定义把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆(2)参数方程设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是(是参数)知识点二摆线思考当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？答案摆线梳理摆线及其参数方程(1)定义当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做旋轮线(2)参数方程设圆的半径为r，圆滚动的角为，那么摆线的参数方程是(是参数)类型一圆的渐开线例1求半径为4的圆的渐开线的参数方程解以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OAAM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为(以弧度为单位)，则|AM|4.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得(4cos ，4sin )由几何知识知，MAB，(4sin ，4cos )，得(4cos 4sin ，4sin 4cos )(4(cossin)，4(sin cos)又(x，y)，因此所求的参数方程为反思与感悟圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角跟踪训练1已知圆的渐开线方程为(为参数)，则该基圆半径为_，当圆心角时，曲线上点A的直角坐标为_答案解析即(为参数)基圆半径r.当时，x，y，A的直角坐标为.类型二平摆线例2已知一个圆的参数方程为(为参数)，那么圆的摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为_答案解析由圆的参数方程知，圆的方程为x2y29，圆的圆心为(0,0)，半径r3，圆上定点M的摆线的参数方程为(为参数)当时，x33，y3(10)3，A，|AB|.反思与感悟(1)摆线的参数方程摆线的参数方程为(为参数)，其中r：生成圆的半径，：圆在直线上滚动时，点M绕圆心作圆周运动转过的角度ABM.(2)将参数的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离跟踪训练2已知一个圆的摆线的参数方程是(为参数)，则该摆线一个拱的高度是_；一个拱的跨度为_答案66解析当时，y33cos 6为拱高；当2时，x323sin 26为跨度.1圆(为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()AB3C6D10答案C2当2时，圆的渐开线(为参数)上的点是()A(6,0) B(6,6)C(6，12) D(，12)答案C3.如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是()A3B4C5D6答案C解析根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2.所以曲线AEFGH的长是5.4已知一个圆的摆线方程是(为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程解首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4，所以面积为16，该圆对应的渐开线的参数方程是(为参数)1圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角2由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程3由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示一、选择题1已知圆的渐开线的参数方程是(为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是()AB2C3D4答案B2摆线(t为参数，0t2)与直线y2的交点的直角坐标是()A(2,2)，(32,2) B(3,2)，(33,2)C(，2)，(，2) D(22,2)，(22,2)答案A3给出下列说法：圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点其中正确的说法有()ABCD答案C4圆的渐开线(t为参数)上与t对应的点的直角坐标为()A.B.C.D.答案A5已知圆的渐开线的参数方程为 (为参数)，点A是此渐开线上的一点，则渐开线对应的基圆的周长是()A.B3C4D6答案B解析由点A在渐开线上，得易知0，则r，故基圆的周长为3.6圆的渐开线方程为(为参数)，当时，渐开线上的对应点的坐标为()A(2,2) B(2，)C(4,2) D(4,2)答案A解析将代入可得即二、填空题7基圆直径为10，则其渐开线的参数方程为_答案(为参数)8有一标准的齿轮，其齿廓线的基圆直径为22mm，则齿廓所在的摆线的参数方程为_答案(为参数)解析因为基圆直径为22 mm，所以基圆半径为11 mm，所以摆线的参数方程为(为参数)9已知圆的渐开线的参数方程是(t为参数)，则该渐开线的基圆的半径为_，参数t对应的点的直角坐标是_答案6(32，32)解析由参数方程，得基圆的半径r6.把t代入参数方程，得即参数t对应的点的直角坐标是(32，32)10已知圆的方程为x2y24，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为_答案(，2)解析由题意知，圆的半径r2，其渐开线的参数方程为(为参数)当时，x，y2，故点P的坐标为(，2)三、解答题11给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程解以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程为(为参数)以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为(为参数)12已知圆的参数方程是(为参数)，求此圆的摆线中，参数对应的点A与点B之间的距离解由圆的参数方程，得圆的半径r3，则其摆线的参数方程为(为参数)把代入摆线的参数方程，得故点A与点B之间的距离|AB|.13已知一个圆的平摆线方程是x22sin，y22cos(为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标解由平摆线方程知，圆的半径为2，则圆的周长为4.当时，y有最大值4，平摆线具有周期性，周期为4.平摆线上最高点的坐标为(24k，4)(kZ)四、探究与拓展14.如图，ABC是正三角形，曲线ABCDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD，弧DE，弧EF的圆心依次按A，B，C循环，它们依次相连接，如果AB1，那么曲线CDEF的长是()A8B6C4D2答案C解析CAD，DBE，ECF是等边三角形的外角，CADDBEECF120.又AC1，BD2，CE3，弧CD的长21，弧DE的