2018_2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式2.2绝对值不等式的解法学案北师大版.docx

2.2绝对值不等式的解法学习目标1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c，|xa|xb|c.2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解知识点一|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法思考1|x|2说明实数x有什么特征？答案因为x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2，所以x2或x2.思考2若|2x3|5，求x的取值范围答案x|1x4梳理(1)含绝对值不等式|x|a与|x|a的解法|x|a|x|a(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc，|axb|caxbc或axbc.知识点二|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法思考如何去掉|xa|xb|的绝对值符号？答案采用零点分段法即令|xa|xb|0，得x1a，x2b，(不妨设ab)|xa|xb|梳理|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键(2)以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键(3)通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键特别提醒：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法类型一|axb|c(c0)与|axb|c(c0)型的不等式的解法例1解下列不等式：(1)|5x2|8；(2)2|x2|4.解(1)|5x2|85x28或5x28x2或x，原不等式的解集为.(2)原不等式等价于由得x22或x22，x0或x4，由得4x24，2x6.原不等式的解集为x|2x0或4x6反思与感悟|axb|c和|axb|c型不等式的解法(1)当c0时，|axb|caxbc或axbc，|axb|ccaxbc；(2)当c0时，|axb|c的解集为R，|axb|c的解集为；(3)当c0时，|axb|c的解集为R，|axb|c的解集为.跟踪训练1解下列不等式：(1)3|x2|4；(2)|x1|4|2.解(1)方法一原不等式等价于由得x23或x23，x1或x5，由得4x24，2x6.原不等式的解集为x|2x1或5x6方法二3|x2|43x24或4x235x6或2x1.原不等式的解集为x|2x1或5x6(2)|x1|4|22|x1|422|x1|65x1或3x7.不等式|x1|4|2的解集为x|5x1或3x7类型二|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法例2解关于x的不等式：|3x2|x1|3.解方法一分类(零点分段)讨论法|3x2|0，|x1|0的根，1把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的定义，代数式|3x2|x1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集因为当x时，|3x2|x1|23x1x34x，所以当x时，|3x2|x1|334x3x0.因此，不等式组的解集为x|x0因为当x1时，|3x2|x1|3x21x2x1，所以当x1时，|3x2|x1|3x2.因此，不等式组的解集为.因为当x1时，|3x2|x1|3x2x14x3，所以当x1时，|3x2|x1|34x33x.因此，不等式组的解集为.于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即x|x0.方法二构造函数f(x)|3x2|x1|3，则原不等式的解集为x|f(x)0f(x)作出函数f(x)的图像，如图它是分段线性函数，函数的零点是0和.由图像可知，当x(，0)时，有f(x)0.所以原不等式的解集是(，0).反思与感悟|xa|xb|c(c0)，|xa|xb|c(c0)型不等式的三种解法：分区间(零点分段)讨论法、图像法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况跟踪训练2解不等式|x7|x2|3.解方法一|x7|x2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到对应点7的距离与到对应点2的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x1.由图易知不等式|x7|x2|3的解为x1，即x(，1方法二令x70，x20，得x7，x2.当x7时，不等式变为x7x23，93成立，x7.当7x2时，不等式变为x7x23，即2x2，x1，7x1.当x2时，不等式变为x7x23，即93不成立，x.原不等式的解集为(，1方法三将原不等式转化为|x7|x2|30，构造函数y|x7|x2|3，即y作出函数的图像，由图像可知，当x1时，y0，即|x7|x2|30，所以，原不等式的解集为(，1类型三含绝对值不等式的恒成立问题例3已知函数f(x)|2x1|2xa|.(1)当a3时，求不等式f(x)6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)a恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a3时，f(x)|2x1|2x3|，f(x)6等价于|2x1|2x3|60，令g(x)|2x1|2x3|6，令|2x1|0，|2x3|0，得x1，x2.g(x)作出yg(x)的图像，如图，f(x)6的解集为1,2(2)f(x)|2x1|2xa|(2x1)(2xa)|a1|，f(x)min|a1|.要使f(x)a恒成立，只需|a1|a成立即可由|a1|a，得a1a或a1a，a，a的取值范围是.引申探究若f(x)|2x1|2xa|且f(x)a恒成立，求a的取值范围解f(x)|2x1|2xa|(2x1)(2xa)|a1|，f(x)max|a1|.f(x)a恒成立，|a1|a，当a0时，aa1，当a0时，|1|0，无解，当a0，且a2xa2，由|x24|1，得x或x.即0a2，或无解二、填空题6不等式1成立的充要条件是_答案|a|b|解析10(|a|b|)|ab|(|a|b|)0(|a|b|)而|ab|a|b|，|ab|(|a|b|)0.|a|b|0，即|a|b|.7若关于x的不等式|ax2|3的解集为，则a_.答案3解析|ax2|3，1ax5.当a0时，x，与已知条件不符；当a0时，xR，与已知条件不符；当a0时，x，又不等式的解集为，故a3.8已知函数f(x)|xa|a，g(x)4x2，若存在x0R使g(x0)f(x0)，则a的取值范围是_答案解析若存在x0R使g(x0)f(x0)，则x2|xa|a40有解当xa时，x2x40，显然有解；当xa时，x2x2a40，由14(2a4)0，解得a.9已知函数f(x)|2x1|x3，若f(x)5，则x的取值范围是_答案1,1解析由题意可知，|2x1|x35，即|2x1|2x，所以或解得x1或1x，故x的取值范围是x10已知集合Ax|x4|x1|5，Bx|ax6且AB(2，b)，则ab_.答案7解析|x4|x1|表示数轴上一点到1,4两点的距离之和，根据1,4之间的距离为3，可得到与1,4距离和为5的点是0,5，所以|x4|x1|5的解集是x|0x5，所以a2，b5.11已知函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3，则实数a_.答案4或8解析当a2时，f(x)当a2时，f(x)由可得f(x)minf()|1|3，解得a4或8.三、解答题12已知函数f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式|g(x)|5；(2)若对任意x1R，都存在x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解(1)由|x1|2|5，得5|x1|25，即7|x1|3，得不等式的解集为x|2x4(2)因为对任意x1R，都存在x2R，使得f(x1)g(x2)成立，所以y|yf(x)y|yg(x)又f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，所以|a3|2，解得a1或a5.故实数a的取值范围为1，)(，513已知ab1，对任意的a，b(0，)，|2x1|x1|恒成立，求x的取值范围.解因为a0，b0且ab1，所以(ab)59，当且仅当a，b时，等号成立，故的最小值为9，因为对任意的a，b(0，)，使|2x1|x1|恒成立，所以|2x1|x1|9，当x1时，2x9，所以7x1；当1x时，3x9，所以1x；当x时，x29，所以x11.综上所述，x的取值范围是7,11四、探究与拓展14(2018全国)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)5|x1|x2|可得f(x)0的解集为x|2x3(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当(xa)(x2)0时等号成立故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，)15设函数f(x)|x1|x2|.(1)