曲线的极坐标方程的意义.ppt

曲线的极坐标方程的意义,1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义？ 3、求曲线方程的步骤。,复习回顾,1. 情境：以极点O为圆心, 1为半径的圆上任意一点极径 为1，反过来，极径为1的点都在这个圆上。,知识探究,2. 问题：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？,因此, 以极点为圆心, 1为半径的圆可以用方程=1来表示.,3、定义：一般地, 如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (r , q )0 ； 反之, 极坐标适合方程 f (r , q )0的点在曲线上, 那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程, 这条曲线称为这个极坐标方程的曲线.,在直角坐标平面上,曲线可以用 x、y的二元方程f (x , y)=0来表示，这种方程也称为曲线的直角坐标方程。,同理，在极坐标平面上, 曲线也可以用关于r、q 的二元方程f (r , q )0来表示, 这种方程称为曲线的极坐标方程。,由于点的极坐标表示不唯一，因此，在极坐标系中，曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方程的坐标，但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都满足方程。,由于点的极坐标表示不唯一，导致曲线的极坐标方程也不唯一。,如：以极点O为圆心，1为半径的圆可以用方程r =1表示，也可以用方程r =-1表示.,说明：,例1、求过点A(2,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程,解：如图所示，在所求直线 l 上任取一点P( r , q )， 连结OP,则 OPr ，POAq,在RtPOA中，由于OPcosq =OA，,所以 r cosq =2,所以 r cosq =2为所求直线的极坐标方程。,求曲线的极坐标方程：,类似于曲线直角坐标方程的求法，可以求曲线的极坐标方程。,变式训练1：已知点P的极坐标为(1,)，那么过点P且垂直于极轴的直线极坐标方程。,例2、求圆心在C(r,0),半径为r的圆的极坐标方程。,解：如图所示，,则|OP|OA|cosPOA,所以，所求圆的极坐标方程为r 2rcos q,设P ( r , q )为圆上任意一点，由于OPAP,即 r 2rcos q,|OA|=2r，POA q,变式训练2：求圆心在C(r,/2), 半径为r的圆的极坐标方程。,解：,如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于极轴上方的射线上，而圆周经过极点。,设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A，则A点的极坐标为（r, /2)。,设圆上任意一点为P（，），连结PA，则,OP，POx,在RtPOA中，由于cosPOA=|OP|/|OA|，,所以 2rsin为所求圆的极坐标方程。,特别地,我们知道,在直角坐标系中，x=k(k为常数)表示一条平行于y轴的直线；y=k(k为常数)表示一条平行于x轴的直线。,我们可以证明（具体从略），在极坐标系中，rk(k为常数)表示圆心在极点、半径为k的圆；,k(k为常数)表示极角为k的一条直线（过极点）。,第一步 建立适当的极坐标系； 第二步 在曲线上任取一点P( r , q ) 第三步 根据曲线上的点所满足的条件写出等 式； 第四步 用极坐标r 、q表示上述等式，并化简 得极坐标方程； 第五步 证明所得的方程是曲线的极坐标程。,求曲线极坐标方程的基本步骤：,例3、 （1）化在直角坐标方程x2+y2-8y=0为极坐标方程； （2）化极坐标方程=6cos(q -/3) 为直角坐标方程。,数学运用,1、把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程： (1) r cosq=4 (2) r = 5 (3) r = 2r sinq,（1）解：把代入上式，得它的直角坐标方程 x=4,把r 2=x2+y2代入上式，得它的直角坐标方程x2+y2=25,变式训练3：,（2）解：两边同时平方，得r 2=25,（3）解：两边同时乘以r，得r 2=2rr sinq，把r 2=x2+y2, r sinq =y代入上式，得它的直角坐标方程x2+y2=2ry 即x2+(y-r)2=r2,1. 在极坐标系中,我们可以用一个角度和一