概率论习题第四章答案.doc

第四章 大数定律与中心极限定理4.1 设D(x)为退化分布：D(x)=讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？(1)D(x+n); （2）D(x+); (3)D(x-)，其中n=1,2,。解：（1）（2）不是；（3）是。4.2 设分布函数列Fn(x)如下定义：Fn(x)=问F(x)=Fn(x)是分布函数吗？解：不是。4.3 设分布函数列 Fn(x)弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则Fn(x)在()上一致收敛于F(x)。证：对任意的0,取M充分大，使有1-F(x)， F(x), 对上述取定的M，因为F(x)在-M，M上一致连续，故可取它的k分点：x=Mxxx=M，使有,1,则有，0iN时有，0ik+1 （2）成立，对任意的x()，必存在某个i（0ik）,使得,由(2)知当nN时有, (3), (4)有(1)，(3)，(4)可得+,即有2成立，结论得证。4.4 设是只取非负整数值的离散型随机变量，又弱收敛于分布函数F(x)也是只取非负整数值的离散型随机变量的分布函数。证：只要证明对任意的非负整数k，若x,x（k,k+1），必有F(x)=F(x)成立即可。设，总能够找到，使有，且是F(x)的连续点。这时Fn(x)=F(x)（i=3,4）成立，已知仅在非负整数点上有跳跃，所以对任意的n有=，从而=Fn(x)= Fn(x)=，由此知，结论得证。4.5 设随机变量序列同时依概率收敛于随机变量与，证明这时必有P(=)=1。证：对任意的0有即对任意的0有P()=0成立，于是有从而成立，结论得证。4.6 设随机变量序列，分别依概率收敛于随机变量与，证明：(1)+；(2) 。证：（1）因为，故即+成立。(2)先证明这时必有。对任给的取M足够大成立，对取定的M，存在N，当nN时有4.7设随机变量序列，证：不妨设0，对任意的0a，当时有，因而。于是有0结论成立。48设随机变量序列依概率收敛于随机变量，结论为真。现在证明一般情形。对任意的 P成立，又 当n且因为而 所以从而有4.9证明随机变量序列依概率收敛于随机变量的充要条件为： 证：充分性，令 对任意的必要性，对任给的充分大的N,使得当由4.10设随机变量按分布收敛于随机变量 ，又数列，证明也按分布收敛于。证：先证明按分布收敛于。时为显然，不妨设（时的修改为显然），若，的分布函数分别记作，与，则，当x是的连续点时，是的连续点，于是有=成立，结论为真。由4.12题知，再由4.6（1）题知，于是由前述结论及4.11题知按分布收敛于，结论得证。4.11设随机变量序列 按分布收敛于随机变量，随机变量序列 依概率收敛于常数，证明 + 按分布收敛于。证：记 的分布函数分别为，则的分布函数为，设x是的连续点，则对任给的，存在，使当0时有 现选取00，b 0足够大，使-a,b是的连续点且1-,因为，故存在，使当时有1-2,令M=max(a,b),因为，故存在，使当时有P0,有= 故结论得证. 4.14 设为一列独立同分布随机变量,其密度函数为 0 ,其它 其中0常数,令,证明:. 证:对任意的n,0为显然，这时有，；，；，对任意的，有，故成立，结论得证，4.15 设为一列独立同分布随机变量，其密度函数为，令，证明：证：设的分布函数为，有，这时有，对任意的，有，故，结论得证4.16 设分布函数列弱收敛于分布函数，且和都是连续，严格单调函数，又服从（，）上均匀分布，证明，其中表示的反函数证：对任给的，存在充分大的，使有，对取定的，可选取正整数k和，使有对取定的，存在，使有，对取定的，因为关于x是一致的（见4.3题），因而存在，使当时有成立，这时有，由的任意性知成立，结论得证417 设 为独立同分布随机变量序列,都服从(1,0)上的均匀,若,证明 (c为常数),并求出c.证: 这时也是独立同分布随机变量序列,且,由新钦大数定律知服从大数定律,即有,令f(x)=,则f(x)是直线上的连续函数,有题4.8题知 结论成立。418 设为独立同分布随机变量序列，每个随机变量的期望为a,且方差存在，证明 。证：已知E=a,记D=，令，则 ，对任给的，由契贝晓夫不等式有故 ，结论得证。4.19 设为独立同分布随机变量序列，且D=存在，数学期望为零，证明。证： 这时仍为独立同分布，且，由辛钦大数定律知结论成立。4.20 设为独立同分布随机变量序列，且存在，令 证明。证：不妨设E=0，否则令并以代替，这时，均保持不变，易知=，由4.19题知，又=，4.6（2）题知，由4.6（1）题知，结论得证。4.21 设随机变量序列按分布收敛于随机变量，又随机变量序列依概率收敛于常a(a0),0,则（）按分布收敛于a。证明：由4.7题知-0，于是由4.12题有（-）0，而按分布收敛于（见4.10题的证明），因而由4.11题知 =（-）+按分布收敛于，结论成立。4.22 设为独立同N(0,1)分布的随机变量序列，证明n的分布函数弱收敛于N(0,1)分布。证明：这时也为独立同分布随机变量序列，且E=1,由辛钦大数定律知1，又服从N(0,1)分布，当然弱收敛N(0,1)分布，由4.21题知按分布收敛于N(0,1)分布，结论得证。4.23 如果随机变量序列，当n时有-D()0,证明服从大数定律。（马尔柯夫大数定律）证明：由契贝晓夫不等式即得。4.24 设为一个同分布的随机变量序列，方差存在。且当k-l2时，和独立，证明服从大数定律。证明：令D=,则cov(,),于是有D()=+n+2(n-1),这时D()0,n,由4.23题知服从大叔定律。4.25 设是方差有界的随机变量序列，且当|j-k|时，一致地有cov(,)，证明 服从大数定律。 证：令D=，由题意知存在常数C使得sup C ，这时有| cov(,)| |C。对任给的0，取N无穷大，使得当|I-J|N时有| cov(,)，对取定的N，存在足够大的N，使当nN时有 max(N,N) ，满足1I,jn的个数偶(i，j)中。满足条件|i-j|N的有n-(n-N)时服从大数定律。证：因为E=np，故E=0，又当a1/2时，对任意的n有1，于是D= E=C又cov(,)= 0,k关于n一致，于是由4。25题知服从大数定律，结论得证。428 设为独立同分布的随机变量序列，方差存在，又为绝对收敛级数，令，则服从大数定律。证：不妨设E=0，否则令 = -E并讨论即可。记E=，又c=。因为，（，故有 =由4。23题知a服从大数定律，结论得证。4.29 设为独立同分布随机变量序列，方差存在，若，又为一列常数。如果存在常数c0，使对一切n有，则服从大数定律。证：如同4.28题，不妨设，记，对任意的，有，因而如同4.28题之证明有成立，由4.23题知服从大数定律，结论得证。4.30 设为独立同分布随即变量序列，共同分布为P（）试问是否服从大数定理？答:因为E存在，由辛钦大数定理知服从大数定理。4.31 设为独立同分布随即变量序列，共同分布为P(),k=2,3,其中c（）,问是否服从大数定理？答：因为E存在，由辛钦大数定理知服从大数定理。4.32 如果要估计抛一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95以上的把握保证所观察到的频率与概率p的差小于p/10，向至少应该作多少次实验？解：令 据题意选取试验n应满足p（）,因为n比较大，由中心极限定理有P（）p（120，则公司亏本，（2） 若一年中死亡人数，则利润若一年中死亡人数，则利润，若一年中死亡人数，则利润，令 则P（1）0.006p，记，n10已足够大，于是由中心极限定理可得欲求事件的概率为（1） P（120）1P() 同理可求得（2）P（80）0.995 （对应的b 2.59），P（60） （对应的b0），P（40）0.005 （对应的b 2.59）。4.35有一批种子，其中良种占1/6，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与1/6相差多少？解：令i=则P（i=1）=1/6，记p=1/6,其中年，据题意即要求使满足。令q=1-p,b=因为n很大，由中心极限定理有。由N（0，1）分布表知当b=2.60时即能满足上面不等式，于是知，即能以0.99的概率保证良种的比例与1/6相差不超过。4.36若某产品的不合格率为0.005，任取100000件，问不合格品不多于70件的概率等于多少？解：令则记，由中心极限定理有。即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。4.37某螺丝厂的不合格品率是0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中包含有100只合格品的概率不小于0.95？解：令，则其中n尚待确定，它应满足，查N(0,1)分布表可取b=-1.65,由此求得n=103,即在一盒中装103螺丝钉时能使其中含有100只合格品的概率不少于0.95。4.38 某灯泡厂生产的灯泡的平均寿命原为2000小时，标准差为250小时，经过革新采用新工艺使平均寿命提高到2250小时，标准差不变。为了确认这一改革的成果，上级技术部门派人前来检查，办法如下：任意挑选若干只灯泡，如果这些灯泡的平均寿命超过2200小时，就正式承认改革有效，批准采用新工艺。若欲使检查能通过的概率超过0.997。问至少应检查多少只灯泡？ 解：设第只灯泡的寿命为，则独立分布，且=2250，记，据题意为要求确定n使满足P（）0.997，记，b=，则由中心极限定理有P（）=P()0.997查N（0，1）分布表知，由此得，故至少应检查189只灯泡，这时检查通过的概率超过0.997。4.39 用特征函数的方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”的普瓦松定理。证 ：设独立同二项分布，即的特征函数为，记，的特征函数记作，因为，故，于是有而是参数为的普哇松分布的特征函数，由特征函数的逆极限定理即知定理成立，证毕。4.40 设随机变量服从分布，其分布密度为证：当时的分布函数弱收敛于N（0，1）分布。证：的特征函数为，易知的特征函数为而，因而有故，所以相应的分布函数若收敛于N（0，1）分布，命题得证。4.41设为独立随机变量序列，且服从（-n，n）上的均匀分布，证明对成立的中心极限定理。证：易知E0，DE，于是，故，对任意的，存在N，使当n 时有，因而n，从而当n ，若k ，由此知即林德贝尔格条件满足，所以对成立的中心极限定理，结论得证。4.42 设，皆为独立同分布随机变量序列，且与相互独立，其中=0, =1; ,n=1,2,证明：得分布函数弱收敛与正态分布N（0，1）。证明：这时仍是独立同分布序列，易知有E0，D（）E，由林德贝尔格勒维中心极限定理知得分布函数弱收敛于N（0，1），结论得证。4.43 设为独立同(0,)上均匀分布的随机变量序列，又，其中，且，则对成立中心极限定理。证：易知， 这时， 当1时 这时有 由李雅普诺夫中心极限定理知对成立中心极限定理，命题得证。4.44 设是一个分布函数，存在密度函数p(x)，且 , 若独立随机变量与的分布函数都是，且的分布函数也是，证明必是（0 ，1）分布。证：设 ，为独立同分布随机变量序列，共同分布为，又与独立，令，则仍是独