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2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,1,数学物理方法,复变函数论,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,2,复变函数论,复数 复变函数 导数 解析函数 本章小结,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,3,复数,数的扩张（完善化） 自然数 减法不封闭整数 除法不封闭有理数 不完备 实数 方程可解性复数,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,4,复数,复数的表示 代数表示 z = x + iy x = Real(z), y = Imagine(z) 三角表示 z = r (cos + i sin) r = |z|, = Arg(z) 指数表示 z = r exp(i) exp(i) = cos + i sin,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,5,复数,几何表示,关系 x = r cos y = r sin r = (x2+y2) = Arctan(y/x) 特点 无序性 复数无大小 矢量性 复数有方向,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,6,复数,运算 加减法 (x1+ iy1)(x2+ iy2) = (x1x2) + i(y1y2) 乘除法 r1exp(i1) r2exp(i2) = r1r2 expi(1+2) 幂和开方 r exp(i)n = rn exp(in) r exp(i)1/n = r1/n exp(i/n) 复共轭 z = x + iy z* = x iy z = r exp(i) z* = r exp(-i),2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,7,复变函数,概念 定义 函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射 实变函数：f:xy 复变函数：f:zw 举例 f(n) = fn = (1+i)n, nN f(z) = zn f(z) = exp(z) f(z) = ln(z),2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,8,复变函数,更多的例子 w = az2 w = az2 + bz +c w = 1/(az + b) w = (az + b) w = Ln(az + b) w = sin z w = Arccos z w = an zn w = an sin(nz) w = (1-z2/n22) w = exp(-z2)dz,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,9,复变函数,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,10,复变函数,分析与比较 定义域和值域 相同点： 都是数集 不同点： 实数集是一维的，可以在(直)线上表示； 复数集是二维的，必须在(平)面上表示。 典型例子： |x|2 是连通的， 1|x|是不连通的； |z|2是单连通的， 1|z|是复连通的。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,11,复变函数,映射 相同点 在形式上：y = f(x), w = f(z) 不同点 在变量上：z = x+iy, w = u+iv 在描述上： 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示； 复变函数不能用一个图形完全表示。 联系 u = u(x,y), v = v(x,y) 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,12,复变函数,结构 相同点： 复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。 不同点： 基本实变函数 xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x) 基本复变函数 zn, z1/n,exp(z),ln(z) 原因 cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,13,复变函数,基本函数 二次函数 定义 w = z2 分析 u + iv = (x+iy)2 = x2 +2ixy -y2 u = x2 -y2 , v = 2xy 性质 对称性 无周期性 无界性 单值性,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,14,复变函数,三次函数 定义 w = z3 分析 u + iv = (x+iy)3 = x3 +3ix2y-3xy2 -iy3 u = x3 3xy2 , v = 3x2y - y3 性质 对称性 无周期性 无界性 单值性,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,15,复变函数,指数函数 定义 w = exp(z) 分析 u + iv = exp(x+iy) = exp(x)cosy +i siny u = exp(x) cos y , v = exp(x) sin y 性质 不对称性 周期性 exp(z+2i)= exp(z) 无界性 单值性,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,16,复变函数,对数函数 定义 w = Ln(z) 分析 u + iv = Ln r exp(i) = ln r + i u = ln r, v = 性质 对称性 非周期性 无界性 多值性：| ,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,17,复变函数,三角函数 定义 w = sin(z) 分析 u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y) u = sin(x)ch(y) , v = cos(x)sh(y) 性质 对称性 周期性 无界性 单值性,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,18,复变函数的导数,基本概念,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,19,复变函数的导数,可导条件 分析,C-R条件 ux = vy vx = -uy 充要条件 偏导数 ux ，vy ，vx ，uy 连续 满足C-R条件 意义 可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互紧密联系的。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,20,复变函数的导数,典型情况 初等函数在定义域内都可导； 函数Re(z),Im(z),|z|, Arg(z), z*不可导。 导数的计算 法则： 复变函数的求导法则与实变函数完全相同； 例子： (sin2z) = 2 sin z cos z exp(z2 ) = 2 z exp(z2 ) (z3)” = 6 z,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,21,复变函数的导数,导数的意义 微商表示 f(z) = dw/dz 模： |f(z)|= |dw|/|dz| 幅角： Argf(z) = Arg(dw) - Arg(dz),2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,22,解析函数,定义 点解析 函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导 区域解析 函数f(z)在区域B上每一点都解析 性质 调和性 解析函数的实部与虚部都是调和函数， 即 u=uxx + uyy = 0, v=vxx + vyy = 0 正交性 解析函数的实部与虚部梯度正交， 即 uv=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,23,解析函数,应用 例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。 分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。 解：设电力线为v(x,y)=C,由C-R条件得 vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy) v = 2xy 注意：电力线方程的一般形式为 f(2xy)=C,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,24,解析函数,例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势u(x,y)。 分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式，电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。 解：设电势为 u=f(x2+y2) ux=2xf, uxx=2f+4x2f” uy=2yf, uyy=2f+4y2f” uxx+uyy=4f+4(x2+y2)f”=0 令 t = x2+y2, g = f(t) g +t g = 0 g = -ln t +C f =,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,25,解析函数,例3：已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2，求热流量函数。 分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。 解：设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得 vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy) v = 2xy 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,26,本章小结,复变函数 定义：两个复数集合之间的映射； 特点：定义域和值域为2维； 定义域出现复连通现象； 不能用一个图形完全描述； 极限存在的要求提高； 分析：可以分解成2个二元实函数； 解析函数 满足CR条件； 实部和虚部都是调和函数，相互正交。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,27,数学物理方法,复变函数的积分,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,28,复变函数的积分,路积分 柯西定理 不定积分 柯西公式 本章小结,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,29,路积分,路积分的概念和性质,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,30,路积分,路积分的计算 思路 化复为实 公式I C f(z) dz = C(u +iv)(dx +idy) = C(udx-vdy)+iC(udy+vdx) 公式II C f(z) dz = C(u +iv)(eidr +i r eid) = C ei(udr-vrd)+i(urd+vdr),2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,31,路积分,例题1 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数Czdz从O到B的定积分。,解：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,32,路积分,例题2 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数C z2dz从O到B的定积分。,解：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,33,路积分,例题3 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数C Re(z) dz从O到B的定积分。,解：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,34,路积分,例题4 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数z-1dz从O到B的定积分。,解：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,35,柯西定理,积分规律的探究 归纳 如果函数f(z)在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点和终点决定。 猜想 如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭合曲线 l的路积分有：,证明（见教材）,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,36,柯西定理,推广 规律 闭复连通区域上的解析函数沿外边界线逆时针积分等于沿所有内边界线逆时针积分之和。 公式,统一表述 解析函数沿所有边界线正向积分为零； 起点和终点固定时，积分路径在解析区域中连续变形不改变路积分的值。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,37,柯西定理,例题 计算积分,解： 如a不在L内，I = 0 当a在L内时， 如 n 0，I = 0； 如 n 0，可以用柯西定理的推广,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,38,不定积分,不定积分原函数 概念 上限为变量的路积分称为不定积分 分析 如被积函数f(z)在单连通区域B上解析，则不定积分单值。 如被积函数f(z)在复连通区域B上解析，则不定积分多值； 原函数 概念 如f(z)在单连通区域B上解析，则不定积分,在B上定义了一个单值解析函数，称为f(z)的原函数，,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,39,不定积分,性质 设F(z)是f(z)的原函数，则 F(z)=f(z) 如果允许相差一个任意常数，则不定积分可以写成 F(z) = f(z)dz 求原函数 在原函数存在的情况下，复积分与实积分只是变量不同，形式上没有任何区别，其原函数的计算方法和结果与实数情况完全类似。 例如: zn dz = zn+1/(n+1) cos(z)dz = sin(z) sin(z)dz = - cos(z) exp(z)dz = exp(z),2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,40,柯西公式,柯西公式 公式 如f(z)在单连通闭区域B上解析，L为B的边界线，a为B内的任意一点，则,证明：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,41,柯西公式,变形,推广：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,42,柯西公式,意义 解析函数的整体性：边界值完全决定内部值； 解析函数的可导性：一次可导 =无限次可导。 应用 理论上 模数原理：f(z)在闭区域解析，|f(z)|在边界上取最大值； 刘维定理：全平面上有界的解析函数必为常数。 计算上 简化路积分的计算。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,43,柯西公式,应用举例 例1 问题：计算回路积分,分析：与柯西公式比较，可知f(z)=cosh(z),a = -1,解：由柯西公式,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,44,柯西公式,例2 问题：计算回路积分,分析：与推广的柯西公式比较， 可知f(z)=sinh(z)，a = 0，n = 1,解：由推广的柯西公式,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,45,柯西公式,例3 问题：计算回路积分,分析：与柯西公式比较， 可知f(z)= ，a =,例4 问题：计算回路积分,分析：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,46,本章小结,路积分 复变函数的路积分可分解为2个线积分； 一般情况下，路积分与积分路径有关； 柯西定理 在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点和终点决定； 在复连通区域内解析，则回路积分等于沿回路里所有内边界线积分之和。 柯西公式,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,47,数学物理方法,幂级数展开,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,48,幂级数展开,复级数 幂级数和泰勒展开 双边幂级数和罗朗展开 孤立奇点 本章小结,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,49,复级数,复数项级数 形式：i=1 ui 通项：ui 为复数 部分和：sn = n ui 和：s = lim sn 余项：rn = s - sn = un+1 + un+2 + 收敛：s 存在 0, N(), s.t. nN() = |s-sn|收敛,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,50,复级数,收敛性判别法 级数 i=1 ui 比值法 = limk|uk+1/uk| 1，发散。 根值法 = limk|uk|1/k 1，发散。,例： 判断几何级数的敛散性 n=0 a0 qn 解： 1.比值法 = |q| |q|1，发散。 2.根值法 =|q|limk|a0|1/k = |q| |q|1，发散。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,51,复级数,复函项级数 形式：i=1 ui(z) 通项：ui(z) 部分和函数：sn(z) = i=1n ui(z) 和函数：s(z) = lim sn(z) 收敛域： z|s(z)存在 定义：0, N(,z), s.t. nN(,z)|s(z)-sn(z)|0, N(), s.t. nN() |s(z)-sn(z)| 性质： 各项连续和连续，和的积分=各项积分之和； 各项可导和可导，和的导数=各项导数之和,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,52,幂级数和泰勒展开,幂级数 形式： s(z) = k=0 ak(z-b)k 收敛域： R = limk|ak/ak+1| = limk|ak+1(z-b)k+1 /ak(z-b)k|=|z-b|/R |z-b|R 1，发散。 一致收敛性： s(z)dz = k=0 ak(z-b)k dz s(z) = k=0 ak(z-b)k,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,53,幂级数和泰勒展开,泰勒展开 问题： 一个幂级数是其收敛圆内的解析函数，反之如何？ 泰勒定理： 一个在圆|z-b|=R 内解析的函数f(z)可以展开为幂级数 f(z) = k=0 ak(z-b)k 该幂级数在圆|z-b|=R内收敛； 以b为中心的展开式是唯一的； 系数 ak=f(n)(b)/n! 应用柯西积分公式，系数也可以表示为,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,54,幂级数和泰勒展开,展开方法 基本方法（用定理） f(z) = k=0 ak(z-b)k， an=f(n)(b) /n! 例1： 题目： 在b=0的邻域上把f(z)=exp(z)展开。 解答： f(z) = exp(z) f(n)(z) = exp(z) f(n)(0) = 1 an= 1/n! f(z) = k=0 zk/k! 该幂级数在圆|z|内收敛；,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,55,幂级数和泰勒展开,例2： 题目： 在b=0的邻域上把f(z)=1/(1-z)展开。 解答： f(z) = 1/(1-z) f(z) = 1/(1-z)2 f”(z) = 2/(1-z)3 f(n)(z) = n!/(1-z)n+1 f(n)(0) = n! an= 1 f(z) = k=0 zk 该幂级数在圆|z|1内收敛；,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,56,幂级数和泰勒展开,发散方法（用性质） 线性组合的展开 = 展开之线性组合。 和函数的积分 = 各项积分之和； 和函数的导数 = 各项导数之和； 例3： 题目： 在b=0的邻域上把f(z)=cosh(z)展开。 解答： cosh(z) = exp(z)+exp(-x)/2 exp(z) = k=0 zk/k! exp(-z) = k=0 (-z)k/k! cosh(z) = k=0 zk/k!+ (-z)k/k!/2 = k=0 z2k/(2k)! 该幂级数在圆|z|内收敛；,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,57,幂级数和泰勒展开,例4： 题目： 在b = 0 的邻域上把 f(z)=ln(1-z) 展开。 解答： ln(1-z) = -(1-z)-1dz (1-z)-1 = k=0 zk ln(1-z) = -k=0 zk dz = - k=0 zk+1/(k+1) 例5： 题目： 在b = 0 的邻域上把 f(z)= (1-z)-2 展开。 解答： (1-z)-2 = (1-z)-1 (1-z)-1 = k=0 zk (1-z)-2 = k=0 zk = k=0 k zk-1,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,58,双边幂级数和罗朗展开,负幂级数 形式： s(z) = k=0 ak(z-b)-k 收敛域： t = 1/|z-b| |t| = 1/|z-b| R = 1/R 双边幂级数 形式： s(z) = k=- ak(z-b) k 分析 双边幂级数 = 正幂级数 + 负幂级数 收敛域： R|z-b|R,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,59,双边幂级数和罗朗展开,罗朗展开 问题： 一个双边幂级数是其收敛环内的解析函数，反之如何？ 罗朗定理： 一个在环R1|z-b|R2内解析的函数f(z)可以展开为双边幂级数 f(z) = k= ak(z-b)k 该幂级数在环R1|z-b|R2内收敛； 同一环域中的罗朗展开式是唯一的； 罗朗系数为,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,60,双边幂级数和罗朗展开,罗朗展开举例 例1： 题目： 在|z|0的区域上把f(z)=cosh(z)/z展开。 解答： cosh(z) = k=0 z2k/(2k)! cosh(z)/z = k=0 z2k-1/(2k)! 例2： 题目： 在|z|0的区域上把f(z)=exp(1/z)展开。 解答： exp(t) = k=0 tk/k! exp(1/z) = k=0 z-k/k!,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,61,双边幂级数和罗朗展开,例3： 题目： 以b=0为中心把f(z)=1/z(z-1)展开。 分析 因为f(z)有两个单极点z=0和z=1, 所以它以b=0为中心的解析环有两个 0|z| 1和1|z|，需要分别展开 解答： 在环域0|z| 1中 f(z) = 1/z(z-1)= -1/z(1-z) = -1/z k=0 zk = -k=0 zk-1 在环域 1|z|中 f(z) = 1/z(z-1) = 1/z2(1-z-1) = 1/z2k=0 z-k = k=0 z-k-2,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,62,孤立奇点,概念 奇点： 定义：函数的非解析点； 举例：csc(z)在z=n, csc(1/z)在z=0，1/n ； 判断：初等函数在其定义域内解析； 孤立奇点： 定义：存在解析邻域的奇点； 举例：csc(z)在z=n为孤立奇点, csc(1/z)在z=0为非孤立奇点； 特点：本身无定义，对周围有影响； 判断：只有有限个奇点的函数不存在非孤立奇点；,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,63,孤立奇点,分类 原则： 根据函数趋向于孤立奇点时的极限行为的不同来分类； 分类： 极限为有限值，称为可去奇点，例如 sinz/z； 极限为(n阶)无穷大，称为(n阶)极点，例如 1/zn； 极限不存在，称为本性奇点，例如 exp(1/z) ； 性质 奇点 邻域罗朗展开式 可去奇点： 无负幂项； (n阶)极点： 有限个负幂项， (最高为n次) ； 本性奇点： 无限多个负幂项；,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,64,本章小结,双边幂级数 形式：s(z) = k=- ak(z-b)k 性质：在环域内一致收敛 罗朗展开 条件：在环R1|z-b|R2内解析的函数f(z) 定理：可以展开为双边幂级数 f(z) = k= ak(z-b)k 孤立奇点 可去奇点：极限有限， 邻域展开式无负幂项； (n阶)极点：极限无穷， 邻域展开式有有限个负幂项； 本性奇点：极限不存在，邻域展开式有无限多个负幂项。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,65,数学物理方法,留数定理,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,66,留数定理,留数定理 留数定理的应用 本章小结,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,67,留数定理,留数 引入 问题：如何高效地计算解析函数的围道积分？ 方法：由复连通域柯西定理，解析函数的围道积分等于沿围道内奇点邻域积分之和。 定性定义 复函数f(z)在z=z0的邻域围道积分的结果； 当z0为f(z)的解析点时，结果为零，什么都没留下； 当z0为f(z)的孤立奇点时，结果通常为一个非零值； 定量定义,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,68,留数定理,留数的计算 一般情况 孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负一次项的系数； Res f(z0) = a-1 证明,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,69,留数定理,极点情况 m阶极点的留数由下面的公式确定,证明,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,70,留数定理,单极点情况 单极点的留数由下面的公式确定,如果f(z)为分式，即f(z)=P(z)/Q(z), P(z0)0，则有,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,71,留数定理,例1 问题：计算函数 f(z) = z2 exp(1/z) 的留数。 解：f(z)有一个孤立奇点z=0, 是本性奇点，在该点罗朗展开,例2 问题：计算函数 f(z) = sin(z)/(z-1)2 的留数。 解：f(z)有一个孤立奇点z=1, 是2阶极点，应用公式,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,72,留数定理,例3 问题：计算函数 f(z) = exp(z)/z(z-1) 的留数。 解：f(z)有两个孤立奇点z=0,1, 都是1阶极点，应用公式,又解：也可以用单极点的简化公式,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,73,留数定理,留数定理 定理 设函数f(z)在回路L所围区域B内除有限个孤立奇点z1, z2,zn外解析，在对应的闭区域上除z1, z2,zn外连续，则,应用步骤 确定回路L内的孤立奇点； 判断留数定理的条件是否满足； 计算各孤立奇点的留数； 代入定理。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,74,留数定理的应用,基本应用 例题1：计算下列回路积分,解：奇点为,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,75,留数定理的应用,实变函数的定积分 基本思想 变形法：变线段为封闭曲线； 辅助线法：加辅助线使线段封闭。 类型一 被积函数是三角函数的有理式,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,76,留数定理的应用,解：作变量变换,例题2：计算下列定积分,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,77,留数定理的应用,类型二 被积函数是有理分式的广义积分,其中： 分母在实轴上没有零点； 分母比分子高两次或以上。 则：,证明：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,78,留数定理的应用,解：被积函数是有理式，分母比分子高4次，在实轴无零点， 满足定理的条件。 上半平面内有单极点z=i和z=2i，对应的留数分别为：,例题3：计算下列定积分,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,79,留数定理的应用,类型二的推广 I 被积函数是有理分式的广义积分,其中： 分母在实轴上有一阶零点； 分母比分子高两次或以上。 则：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,80,留数定理的应用,解：被积函数是有理式，分母比分子高3次，在实轴有一阶零点，满足定理的推广条件。 上半平面有单极点z=2i，实轴有单极点z=1，对应留数：,例题4：计算下列定积分,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,81,留数定理的应用,类型二的推广 II 被积函数是广义积分,其中：f(x)为有理式 分母在实轴上没有零点； 分母比分子高一次或以上。 则：,证明：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,82,留数定理的应用,解：上面的积分可以化为标准形式,例题5：计算下列定积分,被积函数满足定理的条件，上半平面内有单极点z=5i，对应的留数为：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,83,留数定理的应用,类型二的推广III 被积函数是广义积分,其中：f(x)为有理式 分母在实轴上有一阶零点； 分母比分子高一次或以上。 则：,例题6：计算下列定积分,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,84,本章小结,概念 留数：回路积分留下的数； 计算 单极点： 一般极点： 一般孤立奇点： 应用 直接应用 计算回路积分； 间接应用 计算三角有理式的积分； 计算有理式的广义积分及其推广。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,85,数学物理方法,傅立叶变换,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,86,傅立叶变换,傅立叶级数 傅立叶变换 狄拉克函数 本章小结,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,87,傅立叶级数,三角级数 定义 由周期为2的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数,基本函数族 组成：1，cos(nx)，sin(nx) 性质：任意两个在一个周期上的积分等于0，称为正交性；,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,88,傅立叶级数,傅立叶展开 傅立叶展开定理： 周期为2的函数f(x) 可以展开为三角级数， 展开式系数为,狄利克雷收敛定理 收敛条件 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； 在一个周期内至多只有有限个极值点。 收敛结果 当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值； 当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,89,傅立叶级数,展开举例 对称函数 对奇函数：,对偶函数：,典型周期函数(周期为2),2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,90,傅立叶级数,傅立叶展开的意义： 理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示； 应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。 例如：对称方波的傅立叶展开,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,91,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,92,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,93,傅立叶级数,重要推广 推广1： 问题：把周期为T=2L的函数f(t)的展开： 方法：对基本公式作变换xt/L，,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,94,傅立叶级数,推广2 问题：把定义在 -L, L 上的函数 f(t)展开； 方法：先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期 为2L的函数的一部分)， 再按推广1展开； 注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(t)一致。 延拓前 延拓后,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,95,傅立叶级数,推广3 问题：把定义在 0, L 上的函数 f(x)展开； 方法：先把它延拓为-L, L上的奇函数或偶函数， 再按推广2把它延拓为周期函数， 最后按推广1展开； 注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(x)一致。 公式：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,96,傅立叶级数,展开的复数形式 展开公式：,基本函数族：,正交性：,展开系数：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,97,傅里叶生平,1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数的级数表示” 1822年发表“热的分析理论”，首次提出“任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示”,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,98,傅立叶变换,非周期函数的傅立叶展开 问题： 把定义在（，）中的非周期函数 f (x)展开； 思路： 把该函数定义在（L，L）中的部分展开，再令L； 实施： 展开公式,展开系数：,困难 展开系数 cn 为无穷小； 幂指数 nx/L 不确定。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,99,傅立叶变换,解决方法： 把 n/L 作为新变量，即定义n = n/L ； 把 cnL/作为新的展开系数，即定义F(n)=cnL/. 公式的新形式： 展开公式：,展开系数：,取极限： 傅立叶变换：,傅立叶积分：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,100,傅立叶变换,例题1 矩形函数的定义为,求矩形脉冲 x (t) = rect(t/2T1)的傅立叶变换。 解：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,101,傅立叶变换,例题2 将矩形脉冲 f (t) = h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。 解： 先求出 f (t) 的傅立叶变换,代入傅立叶积分公式，得,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,102,例题3 求对称指数函数f(t)的傅立叶变换,傅立叶变换,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,103,傅立叶变换,傅立叶变换的意义 数学意义 从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射； f(x)称为变换的原函数(相当于自变量)，F()称为象函数。 应用意义 把任意函数分解为简单周期函数之和，F()的自变量为频率，函数值为对应的振幅。 物理意义 把一般运动分解为简谐运动的叠加； 把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加。 物理实现 分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪； 记录方式：(用照相底版)摄谱仪、(用光电探测器)光度计。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,104,傅立叶变换,傅立叶变换的性质 一般假定 f(x) F()， g(x) G() 奇偶虚实性 f(x)为偶函数，F()=f(x)cos(x)dx/(2)为实函数； f(x)为奇函数，F()=-if(x)sin(x)dx/(2)为虚函数 线性性质 k f(x) k F()； f(x)+g(x) F()+ G() 分析性质 f (x) iF()；,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,105,傅立叶变换,位移性质 f(x-a) exp(-ia)F() ； exp(ix)f(x) F(-) 相似性质 f(ax) F(/a)/a； f(x/b)/b F(b) 。 卷积性质 f(x)*g(x)f()g(x-)d 2F()G()； f(x)g(x) F()*G() F()G(-)d 对称性质 正变换与逆变换具有某种对称性； 适当调整定义中的系数后，可以使对称性更加明显。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,106,傅立叶变换,应用举例,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,107,傅立叶变换,验证,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,108,傅立叶变换,推广 推广1 问题：把定义在 0, ) 上的函数 f(t)展开； 方法：先把它延拓为(-,)上的奇函数或偶函数， 再按公式进行傅立叶变换； 注意： 偶函数满足条件f(0)=0，形式为 f(|t|)； 奇函数满足条件f(0)=0，形式为 sgn(t)f(|t|). 结果：所得到的傅立叶积分仅在原定义范围中与f(t)一致。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,109,傅立叶变换,推广2 问题：多元函数的傅立叶变换 公式：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,110,傅立叶变换,推广3 傅立叶变换的收敛条件:|F()|f(x)|dx 问题：最简单的函数如多项式不满足傅立叶变换的条件； 方法：对傅立叶变换中的参数进行延拓， 定义 p =+i，其实部为正数； 同时把变换的区域改成右半轴。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,111,狄拉克函数,概念 问题 质点的密度函数如何表示？ 思路 质点是物体在尺度趋于零时的理想模型； 一个位于原点的单位质点，可以看成一个线密度为h rect(hx)的物体在宽度d=1/h趋向零时的极限； 极限密度为(x)=lim h h rect(hx) 一般定义,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,112,狄拉克函数,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,113,狄拉克函数,性质 奇偶性质 (-x)=(x)， (-x)=(x) 分析性质,选择性质 f(x)(x-a)dx=f(a)，f (x)(x-a)dx=-f(a) 变换性质,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,114,狄拉克函数,狄拉克函数的应用 描述功能 位于x=a处质量为m的质点，质量线密度为m(x-a)； 位于x=a处电量为q的点电荷，电荷线密度为q(x-a)； 位于t=a时刻强度为I的脉冲信号，信号函数为I(t-a)； 分解功能 质量密度为(x)的物体，可分解为质点的空间叠加 (x) = (a)(a-x)da 电荷密度为(x)的带电体，可分解为点电荷的空间叠加 (x) = (a)(a-x)da 信号函数为(t)的信号，可分解为脉冲信号的时间叠加 (t) = (a)(a-t)da,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,115,狄拉克函数,计算功能 计算函数在间断点的导数； 计算特别函数的傅立叶变换。 例题1 计算f(x) = sgn(x)的导函数。 解： sgn(x) = 2 H(x) - 1 sgn(x) = 2 H(x) = 2(x) 例题2 计算 f(x) = |x| 的傅立叶变换。 解：,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,116,狄拉克函数,狄拉克函数的推广 问题： 三维空间中的质点的密度、点电荷的电荷密度。 三维狄拉克函数： (r)=(x,y,z)=(x)(y)(z) 应用 位于r=a处质量为m的质点，质量体密度为m(r-a)； 位于r=a处电量为q的点电荷，电荷体密度为q(r-a)；,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,117,本章小结,傅立叶级数 周期函数的三角展开公式； 基本三角函数的性质。 傅立叶变换 非周期函数的三角展开公式； 傅立叶变换的性质。 狄拉克函数 狄拉克函数概念； 狄拉克函数性质； 狄拉克函数功能。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,118,常微分方程,复习,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,119,常微分方程,微分方程的一般概念 线性常微分方程的性质 一阶线性常微分方程 二阶线性常系数微分方程 二阶线性变系数微分方程,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,120,微分方程的一般概念,例子 定义 联系自变量和未知函数及其导数的等式。 分类 按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程； 按未知函数及其导数的次数，分为线性微分方程和非线性微分方程； 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,121,线性常微分方程,一般形式 a0y(n)+a1y(n-1)+a n-1y+any=f(x) 其中未知函数的系数可以是常数，也可以是x的函数。 分类 按自由项f(x)是否为零，分为齐次和非齐次。 叠加原理 齐次方程任意两个解的线性组合也是解； 非齐次方程的任一个解和对应的齐次方程的解之和也是解。,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,122,一阶线性常微分方程,一般形式 a0 y+a1y= F(x) 或 y+ p y = f(x) 齐次方程的通解 y(x) = C exp-p dx 非齐次方程的特解 yp(x)= C(x) exp-p dx 其中 C(x) = f(x) exp(p dx) dx 非齐次方程的通解 y(x) = y(x) + yp(x) 例题,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,123,二阶线性常系数微分方程,二阶线性常系数微分方程的一般形式为 a0y”+a1y+a2y = F(x) 或 y”+ p y+q y = f (x) 特征方程： r2 + p r +q = 0 齐次方程的通解 特征根： r1 和 r2 通解 r1 r2 时 y(x) = A exp(r1x) + B exp(r2x) r1 = r2 时 y(x) = A exp(r x) + B x exp(r x) 例题 非齐次方程的特解 r1 r2 时 y(x) = A(x)exp(r1x) + B(x)exp(r2x) r1 = r2 时 y(x) = A(x)exp(r x) + B(x) x exp(r x),2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,124,二阶线性变系数微分方程,最常见的二阶线性变系数微分方程有欧拉方程等 欧拉方程的一般形式为 x2y”+ pxy+q y = f (x) 特征方程： s(s-1) + p s +q = 0 齐次方程的通解 特征根： s1 和 s2 通解 s1 s2 时 y(x) = A xs1 + B xs2 s1 = s2 时 y(x) = A xs + B lnx xs 例题,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,125,微分方程的一般概念,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,126,一阶线性常微分方程,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,127,二阶线性常系数微分方程,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,128,二阶线性变系数微分方程,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,129,数学物理方法,第七章 数学物理定解问题,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,130,数学物理定解问题,数学物理方程的导出 数学物理方程的分类 定解条件 达朗贝尔公式 本章小结,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,131,数学物理方程的导出,输运方程 一维热传导方程 推广 波动方程 均匀弦的微小横振动方程 推广 稳定场方程,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,132,输运方程,一维热传导 问题：一根长为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为。求杆内温度变化的规律。 分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段(代表)，其质量为dm= dx，热容量为cdm。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为 u(x,t)，则,由能量守恒定律 cdmdu=dQ =q(x,t)-q(x+dx,t)dt =-qx(x,t)dxdt 于是有 c ut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ut = k uxx ut = a2 uxx,2019/6/2,徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇,133,输运方程,推广1 情况：内部有热源(或侧面不绝热) 分析：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt 方程：c ut = k uxx+