2018_2019版高中数学第四讲数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式课件新人教A版.pptx

二 用数学归纳法证明不等式,第四讲 用数学归纳法证明不等式,学习目标 1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式. 2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式. 3.体会归纳猜想证明的思想方法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 用数学归纳法证明不等式,思考1 用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？,答案 (1)归纳奠基：验证初始值nn0. (2)归纳递推：在假设nk(kn0，kN)成立的前提下，证明nk1时问题成立.,思考2 证明不等式与证明等式有什么不同？,答案 证明不等式需注意的是对式子进行“放缩”.,梳理 (1)利用数学归纳法证明不等式 在运用数学归纳法证明不等式时，由nk时命题成立，推导nk1命题成立时，常常要与其他方法，如 、 、 、 等结合进行. (2)贝努利(Bernoulli)不等式 如果x是实数，且x1，x0，n为大于1的自然数，则有 .,比较法,分析法,综合法,放缩法,(1x)n1nx,(3)贝努利不等式的推广 事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数时， 仍有类似不等式成立. 当是实数，并且满足1或者0时，有(1x)1x(x1)； 当是实数，并且满足01时，有(1x)1x(x1).,题型探究,类型一 数学归纳法与放缩法结合证明不等式,证明,(2)假设当nk(kN，k2)时，命题成立，,即当nk1时，命题成立. 由(1)(2)可知，不等式对一切nN，n2都成立.,反思与感悟 在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一.,左边右边，不等式成立. (2)假设当nk(k1，kN)时，不等式成立，,则当nk1时，,所以当nk1时，不等式成立.,由(1)(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立.,证明,类型二 利用数学归纳法证明数列不等式,当n2时，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.,解答,证明,证明 当n1时，,假设当nk(k1)时，不等式成立，,由可知，对任意nN不等式都成立.,反思与感悟 (1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识，这是解决这类问题的基础. (2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、猜想，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明.,证明,当nk1时，,达标检测,1.用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步验证 A.n1 B.n2 C.n3 D.n4,1,2,3,4,解析 由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立.,解析,答案,1,2,3,4,解析,答案,1,2,3,4,解析 当nk1时，目标不等式为,解析,答案,1,2,3,4,解答,1,2,3,4,又aN，正整数a的最大值为25.,(1)当n1时，不等式显然成立.,1,2,3,4,当nk1时，有,1,2,3,4,即nk1时不等式也成立.,数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时，由nk到nk1的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到nk时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.