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文档简介
2.4.1 抛物线的标准方程,第2章 2.4 抛物线,学习目标,1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 3.明确抛物线标准方程中p的几何意义,能解决简单的求抛物线标准方程的问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 抛物线的标准方程,思考1 在抛物线方程中p有何意义?抛物线的开口方向由什么决定? 答案 p是抛物线的焦点到准线的距离,抛物线方程中一次项决定开口方向. 思考2 已知抛物线的标准方程,怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向? 答案 一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上.若系数为正,则焦点在正半轴上;若系数为负,则焦点在负半轴上.焦点确定,开口方向也随之确定.,梳理 抛物线的标准方程有四种类型,1.抛物线y22x(p0)的焦点坐标为(1,0).( ) 2.到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.( ) 3.抛物线的方程都是y关于x的二次函数.( ) 4.方程x22py是表示开口向上的抛物线.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 求抛物线的标准方程,解答,例1 分别根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,2);,解 因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,,所以所求抛物线的标准方程为x28y.,解答,解 因为抛物线的准线平行于x轴,且在x轴上面,,解答,(3)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5;,解 由焦点到准线的距离为5知,p5. 又焦点在x轴负半轴上, 所以所求抛物线的标准方程为y210x.,解答,(4)过点A(2,3).,解 由题意知,抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0).将点A(2,3)的坐标代入,,反思与感悟 求抛物线方程,通常用待定系数法,若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0),焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0).,解答,跟踪训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点(3,4);,解 方法一 点(3,4)在第四象限, 设抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22p1y(p10). 把点(3,4)分别代入y22px和x22p1y, 得(4)22p3,322p1(4),,方法二 点(3,4)在第四象限, 设抛物线的方程为y2ax(a0)或x2by(b0).,解答,(2)焦点在直线x3y150上,且焦点在坐标轴上; 解 令x0,得y5;令y0,得x15, 抛物线的焦点坐标为(0,5)或(15,0). 所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.,解答,(3)焦点到准线的距离为 .,类型二 求抛物线的焦点坐标及准线方程,例2 已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程: (1)y26x; 解 由方程y26x知,抛物线开口向左,,解答,(2)3x25y0;,解答,(3)y4x2;,解答,(4)y2a2x(a0). 解 由方程y2a2x(a0)知,抛物线开口向右,,解答,引申探究 若将本例(4)中条件改为yax2(a0),结果又如何?,解答,反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标、准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.,跟踪训练2 若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0),则p_,准线方程为_.,答案,解析,2,x1,类型三 抛物线定义的应用,解答,其方程应为y22px(p0)的形式,,故点M的轨迹方程为y22x(x0).,反思与感悟 满足抛物线的定义,可直接利用定义写出轨迹方程,避免了繁琐的化简.,跟踪训练3 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程. 解 由题意知,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1. 由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x0时,直线y0上的点适合条件; 当x0时,原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x1的距离相等, 故点P的轨迹是以F为焦点,x1为准线的抛物线,方程为y24x.,解答,解答,命题角度2 利用抛物线定义求最值 例4 设P是抛物线y24x上的一个动点,F为抛物线的焦点. (1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值;,解 如图,易知抛物线的焦点坐标为F(1,0), 准线方程是x1. 由抛物线的定义知, 点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离, 于是问题转化为在曲线上求一点P, 使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小. 显然,连结AF, AF与抛物线的交点即为点P,故最小值为 即点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为,解答,(2)若点B的坐标为(3,2).求PBPF的最小值.,过点B作BQ垂直于准线, 垂足为点Q,交抛物线于点P1,连结P1F. 此时,由抛物线定义知,P1QP1F. 所以PBPFP1BP1QBQ314, 即PBPF的最小值为4.,反思与感悟 解决最值问题:在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线来解决最值问题.,跟踪训练4 已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1,抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_. 解析 由题意知,直线l2:x1为抛物线y24x的准线. 由抛物线的定义知,点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离, 故所求最值可转化为在抛物线y24x上找一个点P, 使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小, 最小值为F(1,0)到直线l1:4x3y60的距离,,2,答案,解析,达标检测,答案,1,2,3,4,5,解析,y1,1,2,3,4,5,答案,解析,2.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是_. 解析 抛物线y28x的准线方程为x2,则点P到准线的距离是6. 由抛物线的定义可知,点P到抛物线焦点的距离是6.,6,3.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程为x1._.,1,2,3,4,5,答案,解析,y24x,又焦点在x轴上,则抛物线的标准方程为y24x.,(2)焦点在x轴的负半轴上,焦点到准线的距离是2._. 解析 焦点到准线的距离为p2,且焦点在x轴的负半轴上, 抛物线的标准方程为y24x.,y24x,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.若抛物线y22px(p0)上有一点M,其横坐标为9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和M点的坐标.,解答,由题意
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