2020版高中数学第三章利用导数研究函数的极值（第2课时）利用导数研究函数的最值学案.docx

第2课时利用导数研究函数的最值学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点一函数f(x)在闭区间a，b上的最值函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得特别提醒：(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念(3)函数yf(x)在a，b上连续，是函数yf(x)在a，b上有最大值或最小值的充分不必要条件知识点二求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值知识点三最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得如图是yf(x)在区间a，b上的函数图象，显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值最大值yMf(x3)f(b)分别在xx3及xb处取得，最小值ymf(x4)在xx4处取得1函数的最大值一定是函数的极大值()2开区间上的单调连续函数无最值()3函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得()题型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1求下列各函数的最值(1)f(x)4x33x236x5，x2，)；(2)f(x)xsinx，x0,2考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值解(1)f(x)12x26x36，令f(x)0，得x12，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2f(x)00f(x)57由于当x时，f(x)0，所以f(x)在上为增函数因此，函数f(x)在2，)上只有最小值，无最大值(2)f(x)cosx，令f(x)0，又x0,2，解得x或x.计算得f(0)0，f(2)，f，f.所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).反思感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值跟踪训练1已知函数f(x)lnx，求f(x)在上的最大值和最小值考点题点解易知f(x)的定义域为(0，)，f(x)lnx1lnx，f(x).令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x1(1,2)2f(x)0f(x)1ln2极小值0ln2在上，当x1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)0.又f1ln2，f(2)ln2，ff(2)2ln2(34ln2)ln0，ff(2)，f(x)在上的最大值为f1ln2，最小值为f(1)0.命题角度2含参数的函数求最值例2已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值考点含参数的函数最值问题题点含参数的函数求最值解(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k，当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上可知，当k1时，f(x)mink；当1k2时，f(x)minek1；当k2时，f(x)min(1k)e.反思感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值跟踪训练2已知函数f(x)lnx.(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在1，e上的最小值是，求a的值考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数解函数f(x)lnx的定义域为(0，)，f(x)，(1)a0，故函数在其定义域(0，)上单调递增(2)当x1，e时，分如下情况讨论：当a0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)a1，这与函数在1，e上的最小值是相矛盾；当a1时，函数f(x)在1，e上单调递增，其最小值为f(1)1，同样与最小值是相矛盾；当1ae时，函数f(x)在1，a)上有f(x)0，f(x)单调递增，所以，函数f(x)的最小值为f(a)lna1，由lna1，得a.当ae时，函数f(x)在1，e上有f(x)0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)2，这与最小值是相矛盾；当ae时，显然函数f(x)在1，e上单调递减，其最小值为f(e)12，仍与最小值是相矛盾综上所述，a的值为.题型二由函数的最值求参数例3(2018四川省雅安中学期中)已知函数f(x)ax36ax2b(a0)，问是否存在实数a，b，使f(x)在1,2上取得最大值3，最小值29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数解由题设知a0，由f(x)ax36ax2b，求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)当a0时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.反思感悟已知函数的最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值；(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决跟踪训练3设f(x)x3x22ax.当0a2时，f(x)在1,4上的最小值为，则f(x)在该区间上的最大值为_考点题点答案解析f(x)x2x2a，令f(x)0，得两根x1，x2.当x(，x1)(x2，)时，f(x)0，所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)又f(4)f(1)6a0，即f(4)0，得x2或x1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)的最小值是g(1)1.因此ag(x)ming(1)1，故a的取值范围为(，1已知最值求参数的范围典例(2018太原检测)已知函数f(x)3x21(x0)，g(x)x39x，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，则k的取值范围为_考点题点答案(，3解析f(x)g(x)x33x29x1.令F(x)f(x)g(x)，则F(x)3x26x93(x3)(x1)，令F(x)0，得x13，x21.当x1时，F(x)0；当3x1时，F(x)0.所以(，3)和(1，)为F(x)的单调递增区间，(3,1)为F(x)的单调递减区间，则F(3)28为函数F(x)的极大值，又F(2)3，结合函数图象(图略)，如果函数F(x)在区间k,2上的最大值为28，则该区间包含极大值点x3，所以k3.即k的取值范围是(，3素养评析(1)由函数的最值求参数的取值范围是利用导数求函数最值的逆向应用，一般先求导，利用导数研究函数的单调性和极值点，探索最值点，根据已知最值列不等式解决问题，其中注意分类讨论思想的应用(2)利用极值点与最值点的关系，以极值点假定为最值点为突破口，利用单调性进行严密的逻辑推理，从本例体现出逻辑推理的意义和价值.1下列说法正确的是()A函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值考点题点答案D解析由极值与最值的区别知选D.2函数f(x)exx在区间1,1上的最大值是()A1B1Ce1De1考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案C解析由题意得f(x)ex1.令f(x)0，得x0.当x1,0)时，f(x)0.所以f(x)在1,0)上单调递减，在(0,1上单调递增又因为f(1)1，f(1)e1，所以f(1)f(1)2e0，所以f(1)0对一切实数x恒成立，即f(x)min0.f(x)ex1，令f(x)0，解得x0，当x0时，f(x)0时，f(x)0，则f(x)在(0，)上单调递增，当x0时，f(x)取得极小值即最小值，为f(0)1a，1a0，即a1，故实数a的取值范围是(1，)5已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1处都取得极值(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间(2)若对任意x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，因为f(1)32ab0，fab0，解得a，b2，所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间为和(1，)；单调递减区间为.(2)由(1)知，f(x)x3x22xc，x1,2，当x时，fc为极大值，因为f(2)2c，所以f(2)2c为最大值要使f(x)f(2)2c，解得c2.故c的取值范围为(，1)(2，)1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值2已知最值求参数，用参数表示最值时，应分类讨论3“恒成立”问题可转化为函数最值问题.一、选择题1函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值考点函数最值的应用题点最值存在性问题答案D解析f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.2函数y的最小值是()ABeCe2D.考点题点答案A解析由y0，得xe，x(0，e)时，y0.故yminy极小值.3函数yx2cosx在上取最大值时，x的值为()A0B.C.D.考点题点答案B解析y12sinx，令y0，得sinx，x，x.由y0得sinx，0x；由y，x，原函数在上单调递增，在上单调递减由此可知，当x时，ymaxy极大值.4若函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为()A10B15C71D22考点题点答案C解析f(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0得x3或1，又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.5已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)考点利用导数求函数的最值题点抽象函数的最值答案A解析令F(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)0，F(x)在a，b上单调递减，F(x)maxF(a)f(a)g(a)6若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围为()A(0,1) B(，1)C(0，) D.考点函数最值的应用题点最值存在性问题答案D解析由题意得函数f(x)x36bx3b的导函数f(x)3x26b在(0,1)内有零点，且f(0)0，即6b0，0b0，即h(3)a0，所以a的取值范围是(0，)二、填空题9函数f(x)在区间2,4上的最小值为_考点题点答案解析f(x)，当x2,4时，f(x)0，解得x1；令f(x)0，解得x1.11设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x(0,1都有f(x)0成立，则实数a的取值范围为_考点题点答案4，)解析因为x(0,1，f(x)0可化为a，设g(x)，则g(x).令g(x)0，得x.当0x0；当x1时，g(x)0.所以g(x)在(0,1上有极大值g4，它也是最大值，所以a4.三、解答题12已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最大值和最小值考点含参数的函数最值问题题点含参数的函数求最值解(1)f(x)3x22ax3，当x1，)时，f(x)0恒成立，amin3(当且仅当x1时取等号)，a3，即实数a的取值范围为(，3(2)由题意知f(3)0，即276a30，a5，f(x)x35x23x，f(x)3x210x3.令f(x)0，得x13，x2(舍去)当1x3时，f(x)0，当3x0，即当x3时，f(x)取得极小值f(3)9.又f(1)1，f(5)15，f(x)在1,5上的最小值是f(3)9，最大值是f(5)15.13设f(x)lnx，g(x