2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质学案新人教B版.docx

2.2.2双曲线的几何性质学习目标1.掌握双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.了解直线与双曲线相交的相关问题知识点一双曲线的性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中ca，b，c间的关系c2a2b2(ca0，cb0)特别提醒：(1)已知双曲线方程为1(a0，b0)，可知双曲线的渐近线方程：令1为0可得0yx，这样便于记忆(2)双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交(3)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的双曲线的方程可表示为(0)知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是yx，离心率为.1双曲线1与1(a0，b0)的形状相同()2双曲线1与1(a0，b0)的渐近线相同()3等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e.()4椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同()5双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点()题型一由双曲线方程研究其几何性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a，b，c，渐近线解将9y24x236化为标准方程为1，即1，所以a3，b2，c.因此顶点坐标为A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yxx.引申探究求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程解把方程nx2my2mn(m0，n0)化为标准方程为1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e，顶点坐标为(，0)，(，0)，所以渐近线方程为yx，即yx.反思感悟由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值(3)由c2a2b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质跟踪训练1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a，b，c，渐近线解把方程9y216x2144化为标准方程为1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)；离心率e；渐近线方程为yx.题型二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以直线2x3y0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M(3，2)；(3)过点(2,0)，与双曲线1离心率相等；(4)与椭圆1有公共焦点，离心率为.考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程解(1)方法一由题意可设所求双曲线方程为4x29y2(0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得32.因此所求双曲线的标准方程为1.方法二由题意可设所求双曲线方程为1(mn0)由题意，得解得因此所求双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为(0)由点M(3，2)在双曲线上，得，2.故所求双曲线的标准方程为1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得0，b0)因为e，所以a2，则b2c2a25，故所求双曲线的标准方程为1.方法二因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(160，b0)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b20)，将点(5,4)代入双曲线方程，得9，双曲线方程为1.题型三双曲线离心率问题例3设F1和F2为双曲线1(a0，b0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率等于()A.B2C.D3考点题点答案B解析设O为原点，则有|PO|2b，|OF1|c，又因为PF1F2为等边三角形，所以|PF1|2c.而POF1F2，所以c2(2b)2(2c)2，即4b23c2，即4c24a23c2，于是c24a2，因此e24，故e2.反思感悟求双曲线的离心率时，可以求出a与c的值，然后根据离心率的定义求得但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能根据题目条件获得关于a和c的关系式，进而求得，这时关键是利用图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，再结合c2a2b2，化简为参数a，c的关系式进行求解跟踪训练3过双曲线1(a0，b0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM，垂足为M，并且交y轴于E，若M为EF的中点，则该双曲线的离心率为()A2B.C3D.考点题点答案D题型四直线与双曲线的位置关系例4已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为4，且经过点(3,2)(1)求双曲线C的方程和其渐近线方程；(2)若直线l：ykx2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的k的取值考点题点解(1)由题意可知，双曲线的焦点为(2,0)和(2,0)，根据定义有2a2，a1，由以上可知，a21，c24，b23，所求双曲线C的方程为x21.渐近线方程为yx.(2)由得(3k2)x24kx70.当3k20，即k时，此时直线与双曲线相交于一个公共点，符合题意当3k20，即k时，由0得k，此时直线与双曲线相切于一个公共点，符合题意综上所述，符合题意的k的所有取值为，.引申探究本例条件不变，若直线y2xm被双曲线C截得的弦长为2，求实数m的值解设直线y2xm与双曲线C的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，得x24mxm230，16m24(m23)0，得m1，x1x24m，x1x2m23，|AB|2，解得m，适合m1，故m.反思感悟(1)直线与双曲线位置关系的判定方法通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2bxc0的形式，在a0的情况下考查方程的判别式当0时，直线与双曲线有两个不同的公共点当0时，直线与双曲线只有一个公共点当0，b0)依题意可知c，方程可以化为1，将直线yx1代入，得(72a2)x22a2x8a2a40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，MN的中点的横坐标为，解得a22，此时0，曲线的方程为1.存在性问题需验证典例已知双曲线2x2y22，过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题解由题意知，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是双曲线上的两点，则x1x2，且x1x22，y1y22，由两式相减并变形得2，若存在，则直线l为y12(x1)，即y2x1，联立得2x24x30，而80，方程无实根，即直线与双曲线无交点，故不存在满足条件的直线素养评析(1)利用“点差法”解题，其过程是无法保证直线与双曲线相交的，因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证(2)确定好运算方法，形成运算程序的完备性，有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养.1双曲线2x2y28的实轴长是()A2B2C4D4答案C解析双曲线的标准方程为1，故实轴长为4.2设双曲线1的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A4B3C2D1答案A解析方程表示双曲线，a0，b0)的实轴长为2，一个焦点的坐标为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，且|AB|4，求直线l的方程考点题点解(1)实轴长为2，一个焦点的坐标为(，0)，2a2，即a，c，b2c2a22，双曲线C的方程为1.(2)设直线l的方程为y2xm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得10x212mx3(m22)0，由24(m210)0，得|m|，又x1x2，x1x2，|AB|4，解得m，满足|m|，直线l的方程为y2x或y2x.1通过双曲线方程可以讨论双曲线的几何性质，通过双曲线的几何性质也可以得到双曲线方程2渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程1(a0，b0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2，再结合其他条件求得就可得双曲线方程3直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用来判断直线与双曲线的位置关系.一、选择题1下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是()Ax21B.y21Cx21D.y21答案A解析由双曲线渐近线方程的求法知，双曲线x21的渐近线方程为y2x，故选A.2双曲线1的焦点到渐近线的距离为()A2B2C.D1答案A解析双曲线1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为yx，点F(4,0)到xy0的距离为2.3已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则双曲线C的方程是()A.1B.1C.1D.1答案B解析依题意得，c3，e，所以a2，从而a24，b2c2a25，故选B.4直线ykx1与双曲线1有且只有一个交点，则k的值为()AkBkCk或kDk答案C解析将直线方程代入双曲线方程，得(94k2)x28kx400.当94k20，即k时，直线与双曲线只有一个交点；当94k20，0时，k，此时直线与双曲线相切，只有一个公共点5若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等B虚半轴长相等C离心率相等D焦距相等答案D解析因为0k0，mb0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形答案B解析双曲线的离心率e1，椭圆的离心率e2，由e1e21，得(a2b2)(m2b2)a2m2，故a2b2m2，因此三角形为直角三角形7设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D3答案B解析不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|r1，|PF2|r2.根据双曲线的定义，得r1r22a.又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(负值舍去)故e，故选B.二、填空题8与双曲线x21有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是_答案1解析设所求双曲线方程为x2，将点(2,2)代入，可得3，双曲线方程为1.9过双曲线x21的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|_.考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形的面积答案3解析易得双曲线的左焦点F1(2,0)，直线AB的方程为y(x2)，与双曲线方程联立，得8x24x130.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|3.10已知双曲线1的一个焦点在圆x2y22x80上，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析由已知得一个焦点坐标为(4,0)，故双曲线方程为1，双曲线的渐近线方程为yx.11已知双曲线C：1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是_答案(4，)解析等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，双曲线C：1的离心率e，即2，m4.三、解答题12过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若PF1Q90，求双曲线的离心率解设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形F1PF2中，|PF1|2c，|PF2|2c，又|PF1|PF2|2a，故有e1.13已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，且双曲线C经过点(2，)(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，求m的值考点题点解(1)由题意有解得双曲线C的方程是x21.(2)由消去y得x22mxm220，4m24(m22)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22m，y1y2x1x22m4m，AB的中点坐标是x0m，y02m，又(m,2m)在圆x2y25上，m2(2m)25，解得m1.14已知F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_答案(1,2)解析要使ABE是锐角三角形，只需满足AEB为锐角又ABE是等腰三角形，其中|AE|BE|，所以只需满足AEF45.在RtAFE中，tanAEF1，即c2ac2a20，两边同除以a2，得e2e20，所以1e2.又e1，所以离心率e的取值范围是(1,2)15已知双曲线C1：x21.(1)求与双曲