江苏省2019届高考数学专题二立体几何2.3专题提能—“立体几何”专题提能课讲义.docx

第三讲 专题提能“立体几何”专题提能课失误1因不会构造适当的几何体而解题受阻例1已知三棱锥SABC的四个顶点S，A，B，C都是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SAABBC1，则球O的体积等于_解析如图，可把该三棱锥补成正方体，正方体的体对角线即为外接球的直径，所以半径为，所以体积为3.答案点评学生对于本题往往不知道球心的位置而导致不会解答把该三棱锥补成正方体来确定球心的位置是求解本题的关键之处，正方体的体对角线就是外接球直径.失误2因不会利用侧面展开图而解题受阻例2如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4 cm，AD2 cm，AA13 cm，则在长方体表面上连结A，C1两点的所有曲线长度最小值为_cm.解析将长方体的面分别展开平铺，当四边形AA1D1D和四边形DD1C1C在同一平面内时，最小距离为四边形AA1C1C的对角线，长度是；当四边形AA1D1D和四边形A1B1C1D1在同一平面内时，最小距离为四边形AB1C1D的对角线，长度是；四边形ABCD和四边形CDD1C1在同一平面内时，最小距离为四边形ABC1D1的对角线，长度是，所以最小距离是 cm.答案点评该题考查的是几何体的表面距离的最值问题，结合平面内连结两点的直线段是最短的，所以将长方体的侧面沿着不同的方向展开，使得两个点落在同一平面内，利用勾股定理来求解，选出最小的那个，容易出错的地方在于考虑不全面，沿着一个方向展开求得结果，从而出现错误，所以一定要注意应该有三条路径.失误3因定理表述不严谨而导致丢分例3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面BC1D平面AB1D1.证明BDB1D1，BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1.BD平面AB1D1，同理BC1平面AB1D1.又BDBC1B，BD平面BC1D，BC1平面BC1D，平面BC1D平面AB1D1.点评在证明面面平行时，有的同学喜欢跳步，直接由线线平行得到面面平行，少了由线线平行到线面平行的过程，在考试中是要被扣分的立体几何逻辑性非常强，证明时要严格按照定理的要求来进行书写，切不可漏条件策略1割补法：求不规则几何体的体积 例1如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_解析法一：如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连结DG，CH，容易求得EGHF.所以AGGDBHHC，SAGDSBHC1，VVEADGVFBHCVAGDBHC21.法二：如图所示，将该多面体补成一个斜三棱柱ADEMNF，点F到平面AMND的距离为，则VVADEMNFVFMNCB1211.答案点评本题中所用的两种方法实际上就是求不规则几何体体积的两种基本方法法一是对不规则几何体进行分割法二则是在原不规则几何体的基础上补上一个几何体，使之成为规则几何体.策略2等积法：求三棱锥的体积例2如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAA13，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为_解析三棱锥PABA1的体积为V三棱锥PABA1V三棱锥CABA1V三棱锥A1ABCSABCAA1323.答案点评等积法包括等面积法和等体积法利用等积法的前提是平面图形(或立体图形)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以求解几何图形的高， 特别是在求三角形的高(点到线的距离)或三棱锥的高(点到面的距离)时，通常采用此法解决问题1函数与方程思想解决立体几何中的最值问题例1如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_解析法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当ABC的边长变化时，设ABC的边长为a(a0)cm，则ABC的面积为a2，DBC的高为5a，则正三棱锥的高为，25a0，0a0，即x42x30，得0x2，则当x时，f(x)f(2)80，V4.所求三棱锥的体积的最大值为4.答案4点评处理此类问题的关键是结合图形条件建立适当函数，转化为求函数的最值问题2高维与低维的转化思想解决几何体的展开问题例2如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为_cm.解析将三棱柱沿侧棱AA1展开得如图所示(两周)因为正三棱柱底面边长为2 cm，高为5 cm，所以AA15 cm，AA12 cm，所以A1A13，即最短路线为13 cm.答案13点评将空间几何体中的距离之和的最值问题通过侧面展开图的运用转化为平面几何的最值，这正是降维转化思想的运用线面平行问题中的常见转化方法典例如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，CC14，M是棱CC1上的一点(1) 求证：BCAM；(2) 若N是AB的中点，且CN平面AB1M，求CM的长解(1)证明：因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为BC平面ABC，所以CC1BC.因为ACBC，CC1ACC，CC1平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，所以BC平面ACC1A1.因为AM平面ACC1A1，所以BCAM.(2)法一：如图，取AB1的中点P，连结NP，PM.因为N是AB的中点，所以NPBB1.因为CMBB1，所以NPCM，所以NP与CM共面因为CN平面AB1M，平面CNPM平面AB1MMP，所以CNMP.所以四边形CNPM为平行四边形，所以CMNPBB1CC12.法二：如图，设NC与CC1确定的平面交AB1于点P，连结NP，PM.因为CN平面AB1M，CN平面CNPM，平面AB1M平面CNPMPM，所以CNMP.因为BB1CM，BB1平面CNPM，CM平面CNPM，所以BB1平面CNPM.又BB1平面ABB1，平面ABB1平面CNPMNP，所以BB1NP，所以CMNP，所以四边形CNPM为平行四边形因为N是AB的中点，所以CMNPBB1CC12.法三：如图，取BB1的中点Q，连结NQ，CQ.因为N是AB的中点，所以NQAB1.因为NQ平面AB1M，AB1平面AB1M，所以NQ平面AB1M.因为CN平面AB1M，NQCNN，NQ平面NQC，CN平面NQC，所以平面NQC平面AB1M.因为平面BCC1B1平面NQCQC，平面BCC1B1平面AB1MMB1，所以CQMB1.因为BB1CC1，所以四边形CQB1M是平行四边形，所以CMB1QBB1CC12.法四：如图，分别延长BC，B1M，设交点为S，连结AS.因为CN平面AB1M，CN平面ABS，平面ABS平面AB1MAS，所以CNAS.由于ANNB，所以BCCS.又因为CMBB1，可得SMMB1，所以CMBB1CC12.点评线面平行无论是判定定理还是性质定理都是需要转化为线线平行常见的方式有构造三角形转化为线线平行，构造平行四边形转化为对边平行，构造面面平行再利用面面平行的性质定理进行证明课时达标训练A组易错清零练1设l，m表示直线，m是平面内的任意一条直线则“lm”是“l”成立的_条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)解析：由lm，m，可得l，l或l与相交，推不出l；由l，m，结合线面垂直的定义可得lm.故“lm”是“l”成立的必要不充分条件答案：必要不充分2在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABADa，AA12，四面体ACB1D1的体积为6，则a_.解析：如图，VACB1D1VABCDA1B1C1D1VAA1B1D1VB1ABCVD1ADCVCB1C1D12a2a2a26，所以a3.答案：33设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：若ab，a，则b；若a，则a；若a，a，则；若ab，a，b，则.其中正确命题的序号是_解析：中b可能在平面内；中a可能在平面内；中因为a，a，所以内必存在一条直线b与a平行，从而得到b，所以，故正确；因为ab，a，所以b或b，故内必有一条直线c与b平行，又b，所以c，故，所以正确答案：4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1平面AB1C1，AA11，底面ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为_解析：因为AA1平面AB1C1，AB1平面AB1C1，所以AA1AB1，又知AA11，A1B12，所以AB1，同理可得AC1，又知在AB1C1中，B1C12，所以AB1C1的边B1C1上的高为h，其面积S2，于是三棱锥AA1B1C1的体积VAA1B1C1VA1AB1C1SAB1C1AA1，进而可得此三棱柱ABCA1B1C1的体积V3VAA1B1C13.答案：B组方法技巧练1设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PAPB1，PC2，则球O的表面积是_解析：设球O的半径为R.由PA，PB，PC两两垂直，所以外接球的直径是以PA，PB，PC为棱的长方体的体对角线，即4R2PA2PB2PC21146，故S球表面积4R26.答案：62在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a，b，则ab.其中真命题的序号为_解析：根据公理知平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确；根据线面垂直性质定理知“同垂直一个平面的两条直线平行”，知正确；均不恒成立故选.答案：3.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥MAB1C的体积是_解析：法一：在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，从而AA1B1M.又因为B1M是正三角形A1B1C1的中线，所以B1MA1C1，所以B1M平面ACC1A1，则VMAB1CVB1ACMB1M22.法二：VMAB1CVABCA1B1C1VAA1B1MVCC1B1MVB1ABC2222.答案：4.如图，平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB1，AD2，ADC60，AF.(1)求证：ACBF；(2)求多面体ABCDEF的体积解：(1)证明：AB1，AD2，ADC60，由余弦定理：AC2CD2AD22CDADcos 60142123，于是AD2CD2AC2，ACD90，ABCD，ACAB.又四边形ACEF是矩形，FAAC，又AFABA，AC平面AFB，又BF平面AFB，ACBF.(2)令多面体ABCDEF的体积为V，VVDACEFVBACEF2VDACEF，又平面ABCD平面ACEF，DCAC，根据两平面垂直的性质定理：DC平面ACEF，DC为四棱锥DACEF的高，S矩形ACEF，VDACEF1，V2VDACEF，即多面体ABCDEF的体积为.5.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.(1)求证：平面AEC平面ABE；(2)点F在BE上，若DE平面ACF，求 的值解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以ABBC.因为平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，AB平面ABCD，所以AB平面BCE.因为EC平面BCE，所以ECAB.因为ECBE，AB平面ABE，BE平面ABE，ABBEB，所以EC平面ABE.因为EC平面AEC，所以平面AEC平面ABE.(2) 连结BD交AC于点O，连结OF.因为DE平面ACF，DE平面BDE，平面ACF平面BDEOF，所以DEOF.又因为矩形ABCD中，O为BD的中点，所以F为BE的中点，即.C组创新应用练1下列命题：若直线l平行于平面内的无数条直线，直线a在平面内，则la；若直线a在平面外，则a；若直线ab，直线b，则a；若直线ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数为_解析：对于，直线l虽与平面内的无数条直线平行，但l有可能在平面内，l不一定平行于a，是假命题；对于，直线a在平面外，包括两种情况：a和a与相交，是假命题；对于，ab，直线b，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面内，a不一定平行于，是假命题；对于，ab，b，那么a或a，a与平面内的无数条直线平行，是真命题. 答案：12.如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA圆O所在的平面，且PAAB2，过点A作平面PB，分别交PB，PC于E，F，当三棱锥PAEF的体积最大时，tanBAC_.解析：PB平面AEF，AFPB.又ACBC，APBC，BC平面PAC，AFBC，AF平面PBC，AFE90.设BAC，在RtPAC中，AF，在RtPAB中，AEPE，EF，VPAEFAFEFPEAF，当AF1时，VPAEF取得最大值，此时AF1，cos ，sin ，tan .答案：3.如图所示，等腰ABC的底边AB6，高CD3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EFAB，现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE，记BEx，V(x)表示四棱锥PACFE的体积，则V(x)的最大值为_解析：因为PEEF，PEAE，EFAEE，所以PE平面ABC.因为CDAB，FEAB，所以EFCD，所以，即，所以EF，所以SABC639，SBEFxx2，所以V(x)xx(0x3)因为V(x)，所以当x(0,6)时，V(x)0，V(x)单调递增；当6x3时，V(x)0，V(x)单调递减，因此当x6时，V(x)取得最大值12.答案：124.如图所示，在RtABC中，AC6，BC3，ABC90，CD为ACB的平分线，点E在线段AC上，CE4.如图所示，将BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点(1)求证：DE平面BCD；(2)若EF平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥BDEG的体积解：(1)证明：在题图中，因为AC6，BC3，ABC90，所以ACB60.因为CD为ACB的平分线，所以BCDACD30，所以CD2.又因为CE4，DCE30，所以DE2.则CD2DE2CE2，所以CDE90，即DECD.在题图中，因为平面BCD平面ACD，平面BCD平面ACDCD，DE平面ACD，所以DE平面BCD.(2)在题图中，因为EF平面BDG，EF平面ABC，平面ABC平面BDGBG，所以EFBG.因为点E在线段AC上，CE4，点F是AB的中点，所以AEEGCG2.过点B作BHCD交于点H.因为平面BCD平面ACD，BH平面BCD，所以BH平面ACD.由条件得BH.又SDEGSACDACCDsin 30，所以三棱锥BDEG的体积为VSDEGBH.5.如图，已知斜三